虚功原理例题解答中的一个“佯谬”

（凯里学院，贵州凯里 556011）

分析力学是《理论力学》内容的一个重要部分，甚至有的教材或专著［1-3］把分析力学作为理论力学的主要内容，把以牛顿定律建立起来的力学体系作为普通物理，在理论力学中不再详细介绍牛顿定律.分析力学产生于18世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决约束反力未知的一类问题，这采用牛顿定律几何分析的方法来解决是很困难的.1788 年拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》，完全用数学分析的方法来解决所有力学问题，无需借助采用牛顿定律解决问题时常用的几何方法，全书没有一张图.它全新的、采用函数形式来分析力学问题的思想与方法，丰富了分析和解决物理问题的途径与技巧，同时也对物理现象与规律有了全新的理解，找到了一条探索未知领域的新的途径.特别是1834 年哈密顿采用坐标和动量作为独立变量，方程数量增加一倍，但都由二阶微分降为一阶，降低了求解微分方程的难度，并且把力学中的基本变量由原来的3个（时间、质量、矢径）变成了2个（矢径和动量），这在量子力学、统计物理等理论物理的其他分支中得到了广泛而重要的应用，甚至可以说没有独立变量的简化，就不可能对大量微观粒子系统进行有效的描写和研究.1843年还提出了哈密顿原理，对体系从初态到末态的变化从可能性与真实性角度进行分析描述，建立变分方程从可能中挑选出真实运动，使得分析力学变完整了.同时如达朗贝尔原理、虚功原理都是分析力学的重要原理，它们通过简单的操作，还把动力学问题转变成了静力学问题、把未知的约束反力给自动消去，从而对一些量的求解大大地简化了运算.当然对某一些量的求解，也会变得相对复杂.

在对学生讲授到虚功原理这节内容时，例题1［4］要求求出两根杆与水平线的夹角，教材中用虚功原理很方便地求出两个夹角，为了与以前学过的解题方法进行对比，要求学生用牛顿定律的分析方法进行解答，意外地出现了矛盾、不自洽的结果，初看似乎都有道理，然而通过仔细分析，才发现了导致错误的原因.这个原因有很强的隐蔽性，在这里提出来让学习者引起注意与重视.

1 例题解答

题目：如图1，均匀杆OA，质量为m1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O 转动，此杆的A 端，用铰链连另一质量为m2，长为l2的均匀杆AB.在AB杆的B 端加一水平力F.求平衡时此二杆与水平线所成的角度α及β.

图1 两杆连接图

其解析过程很简洁，思路很清晰，物理意义也十分明确.

2 错解及其隐蔽性

一学生利用隔离法，分别进行受力分析，如图2，得到关于合力和合力矩的方程.

图2 隔离法受力分析图

图2 中R1为铰链O 处对杆OA 的作用力，R2及R'2为两杆之间的相互作用力.

对OA杆受力分析后得到方程：

明显地得到两个结果不一致.解题过程依然首先是受力分析，然后再分解，再建立方程，求解也不复杂，似乎都很正确，看不出问题的所在，但结果是矛盾的，肯定至少有一个是错误的.

3 转换分析方法

这个问题中，对于约束反力，由于不知其大小以及方向，刚才的分析是假设它沿着杆，然后正交分解，建立方程求解.现在先采用分量形式表示，再求其合，如图3所示.

图3 分量形式隔离法受力分析较图

4 结论

比较上两种分析方法，可以发现只是分析上先后次序的不同，一种是先假设合力，后分力，另一种是先假设分力，后合力.先假设合力，还是先假设分力，没有本质上的不同，但是结果却完全不同、矛盾很明显.对未知力先做假设，这种方法在物理分析中是一种常用方法，具体到题目中用得很多.先假设合力的方法，在中学用得很多，所以许多学生一直习惯采用这种方法，这对于一些比较容易确定方向的力，是不会出现矛盾的.但是对铰链处的约束反力、或者连接杆处的约束反力，其方向不一定沿着杆的方向，具体方向向哪里，很难事先假定，对于这种方向不易确定的力，事先假设就容易出错了，这样的错误还具有非常强的隐蔽性.

因此，由于约束反力的方向不易确定时，应先假设分量，最后求合，不要被中学时的习惯给误导了.作为未来的中学物理教师，对中学物理教材中弹力的分析，尤其不能误导未来的中学生.并且由最终计算结果，发现此时的约束反力，既不沿杆，也不垂直于杆，对它的判断是比较困难的，所以当初在采用图2 方法假定约束反力时，不自觉地就出错了，可还觉得是正确的.但对约束反力分量的假定却十分简单，因为方向是确定的了，就剩下大小，可以通过建立方程来计算得出.然而采用虚功原理计算时，恰好避开了约束反力.

5 约束反力的方向不确定性

今后受力分析时，特别对于约束反力，为保万无一失，以分力表示为好.例如：有一涡轮可以看做是一个均质圆盘.由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角α=1∘，如图4所示.已知涡轮圆盘质量为20 kg，半径r=0.2 m，重心O在转轴上，O至两轴承A与B的距离各为a=b=0.5 m.设轴以12 000 r/min 的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力［4］.

图4 坐标系及受力分析图

如图4 建立坐标系，O-xyz 是固定坐标系，x'、y'，z'为涡轮的几何对称轴，并且yy'恰好重合时作为初始时刻.

因几何对称中心O在转轴上，位于转动中心则有xC=yC=0，圆盘相对于z'是对称的Iy'z'=Iz'x'=0，圆盘相对于x'z'或x'z是对称的Iyz=0但相对于不对称，则Izx≠0.

z'z轴向无窜动，且匀角速度转动：FNAz=0，ω˙=0，于是对x方向的合力得FNAx+FNBx-mg=0，y方向的合力为FNAy+FNBy=0，x 方向上的合力矩为aFNAy-bFNBy=0，y 方向上的合力矩为-aFNAx+bFNBx=-Izxω2.

为求Izx，用对称轴系Ox'y'z'来表示，如图5:

图5 涡轮盘坐标关系图

这种轴承问题，通过计算得出，轴承上的压力方向最终在x 方向上.一开始时是难以确定的，所以假设为分量形式，不失为一种最稳妥的方法.

对于固定杆的连接时，它的约束反力也随着运动而发生变化，有一简单问题，例如：一个小球被一轻质杆固定在小车上，如图6，小车在光滑水平面上静止或加速运动，试求小球的受力.

图6 小车与球

当小车静止时：Ny-mg=0，Nx=0，约束反力竖直向上，可见也不沿杆；当小车向右以a 为加速度的匀加速运动时，Ny-mg=0，Nx=ma，可见随着a的不同，Nx不同，从而约束反力大小与方向还与运动有关.所以对约束反力的分析，尤其要注意其方向，当不能确定时，最好的办法是用分量表示.