油藏渗流模型与数值模拟技术研究进展

李瑞轩，黄云龙，李 源

（西安石油大学石油工程学院，陕西西安 710300）

随着油气工业的快速发展，我国油气田开发已经进入瓶颈期，从世界经济环境来看，面对日益严峻的资源枯竭、能源危机等问题，国家正在加大对于油气资源的开发和利用。我国油气资源消费量与进口量逐年增加，这一现象表现出对国外资源依赖程度明显上升，这已经影响到国家的经济安全。与世界其他富油地区相比，中国的石油资源有限且开采技术难度大，面临许多世界级技术难题，若想实现我国油气自给自足，则必须加大技术投入，降低生产成本，增加经济效益。通过建立油藏渗流模型，可以预测未来开采时段油气水流动情况和储层变化情况，能够帮助油藏工程师合理的调整生产方案，经济高效的开采油气资源。

文章根据我国油藏数值模拟技术的发展历程，将国内应用于油藏的渗流模型划分为三类，总结前人在具体模型发展上做出的成果与贡献，旨在分析各自模型发展的内在联系与区别，探究我国油藏渗流基础理论与技术研究进展，把握未来油藏渗流模型发展趋势，为我国油藏的高效开发提供实际依据。

1 油藏渗流模型简述

根据国内学者研究的领域和得到模型所运用的数学方法，大致可以分为三类：解析模型、半解析模型和数值模型。每种模型的代表性成果总结如下：

1.1 解析模型

解析法通常采用一系列假设简化实际油藏，求解的模型较为理想，采用数学推导、演绎而求解油藏渗流模型的方法，可取得简化模型的精确解。

1989 年戴榕菁等[1]采用Weber 变换，得出了有越流的无限大、多层油藏定压生产的产量相关函数和油藏压力分布的解析解。1990 年张洪亮等[2]考虑了油井表皮系数，研究了层间越流现象的n 层恒定井底压力，考虑了层内垂向渗透率模型得出三层模型的解析解。1995 年伊晓东等[3]提出了均质油藏无限大N 层地层试井模型，得出Laplace 空间解和实空间函数的精确解，分别用拉普拉斯空间解和实空间解对结果进行验证。2000 年刘月田等[4]讨论了椭圆形区域含中心点源的位势流动，采用相似流动替换法得出解析解。文章采用位势叠加原理并考虑到相互平行的等压直线边界间的点源到边界直线的流动，方法具有其独创性。2001 年向开理等[5]引入分形几何理论，考虑到井筒续流、井筒相分布和油井表皮等的影响，建立了具有不稳定渗流效应的分形油藏有效井径模型，并采用Laplace 变换得到了该模型的解析解。2008 年吴小庆等[6]通过对溶洞型油藏的研究，并采用正交变换法建立了相关试井模型，同时得到其解析解，他们考虑到方程边界条件的特点，忽略掉重力作用效果将求解偏微分方程初值转化成求解常微分方程初值，对其模型进行了一系列完善和求解。

实际油藏研究中需要考虑的影响因素较多，较为复杂，而解析法通常不能考虑开发时间对油藏各项参数的影响，且求解方法较为单一；再者未能考虑天然裂缝网络对油藏渗流的影响，且只能解决稳态单相达西渗流问题，在实际油藏渗流中计算误差较大。由此油田工作者们引出了半解析模型和更为精确的数值模型，进一步精确刻画油田实际情况，对油藏开发做出更细致的模拟。

1.2 半解析模型

半解析法通常运用点源函数，将油藏划分成每一小部分，用函数描述每一小部分油藏的流动状态，之后对每一个划分的小部分进行叠加，所求出其方程的半解析解。但是半解析法不能很精准的描述油藏整体渗流。

1990 年虞绍永等[7]根据在双渗地层中的段塞流的压力特征分析，提出了相应的渗流模型，对相应的模型应用了Laplace 变换和数值反演的方法，并考虑几种极限状态，求出了相对应的半解析解。2004 年韩国庆等[8]建立了分支井的半解析产能预测模型。其中利用格林函数处理油藏压力模型响应，求解出三个瞬时点源解，之后沿油井轨迹进行积分，求出压力分布。2006 年郝斐等[9]针对低渗透油藏渗流规律，引入玻尔兹曼变换，考虑边界条件，求出了地层压力分布的函数。2008 年安永生等[10]根据油藏的各向异性，利用坐标变换的方法将油藏的参数转化成为同性空间进行求解，再与已有的半解析模型进行耦合，求出其新的预测模型。2009年邓玉珍[11]将不稳定渗流的过程划分成每个小时间点，再把每个小时间点的渗流看成稳定渗流状态。求出每个小时间点的渗流流量和压力，在同一累加就是总的流量和压力。以及2009 年吴晓东等[12]使用这种方法求出了多分支水平井半解析产能预测模型。2015 年杨万有等[13]针对各向异性蛇曲井的渗流规律，更新了井筒流动压力梯度计算方法，与已有的半解析模型进行更好的融合。2015 年孙玉豹等[14]根据纽曼乘积方法确定源函数，再利用Laplace 变换、数值反演等方法求解了油藏半解析解。2015 年贾品等[15]引用Laplace 空间源函数求得油藏流动解析解。2016 年任宗孝等[16]基于Valko体积源函数描述缝网的基础上，建立了致密油藏体积压裂水平井解析解模型，但此方法假设缝网太过理想，于是任宗孝[17]在2018 年更新了模型，基于Ozkan 体积源函数描述缝网的基础上，又利用“星-三角形”变换方法，建立了致密油藏体积压裂水平井解析解模型。2017年王家航等[18]利用内外边界Green 函数建立了致密油藏直井体积压裂非稳态压力分析半解析模型。2017 年王家航等[19]还是利用了之前的方法，建立了非均质油藏多段压裂水平井非稳态压力分析半解析模型。2018年侯绍继等[20]建立了径向低渗非Darcy 渗流模型，并利用Laplace 变换结合无穷级数法对模型进行了求解。

由此可见，国内大多数学者都是采用Laplace 变换对油藏渗流方程进行变换并求解。也有一些学者利用源函数对油藏渗流方程进行求解。但使用的源函数不能精准描述边界复杂油气层储层。但是半解析法不能用于油藏数值模拟。

1.3 数值模型

对于油藏数值模拟技术，通过文献调研发现，国内外基本都采用两类模拟油藏的渗流过程的方法，一种是基于多重连续介质渗流理论的方法，另外一种是基于离散裂缝模型的方法。第一种方法将真实裂缝处理成连续介质，将油藏的流动空间采用多重连续介质描述；第二种方法将裂缝处理为离散介质，形成离散裂缝模型，此方法的好处在于建立的裂缝能够最大程度还原真实状态。而且连续介质模型还具有处理微小裂缝的优点。

随着我国油气田开采技术的快速发展和对油藏的深入研究，越来越需要更加贴合实际情况的油藏渗流模型。采用的数值求解方法是将偏微分方程离散后进行计算，通过数学运算，进而计算出油藏区域上每个具体坐标点上的值。虽然数值模拟对方程进行近似处理的时候会存在一定的误差，得到的是近似解，但这种方法却比解析模型和半解析模型更能真实地反映出复杂条件下地层的渗流规律。早在1953 年，Peacema 等率先将数值模拟方法应用于气相流动的问题。在此之后，这种模拟方法便大量用于研究油藏渗流规律。时至今日，各国学者对于解析模型和数值模型及其求解方法都进行了大量的创新和改进，使得油藏数值模拟领域愈渐先进。

2003 年姜汉桥等[21]得出了油藏流体渗流的不完全可逆变形介质模型,考虑到Richtmyer 线性化和隐式处理状态方程，得出了其渗流模型的数值解。2004 年何书梅等[22]通过研究强非均质油藏板9 断块的各项开发特征，得出了该断块油藏的渗流模型，采用边界控制不规则网格系统优化网格系统和隐式差分方法对该断块进行了数值模拟研究。2004 年王正茂等[23]通过考虑骨架砂剥离情况、体积应变现象以及可动砂在孔隙中的沉积对储层各项物性参数的影响，导出了出砂储层物性参数的动态模型，随后采取有限差分法对模型进行求解，并采用有限方法求解了岩土平衡方程，将二者联合后求得了模型的数值解。2004 年刘伟[24]综合考虑了堵剂驱油过程中的物理特性，确定了冻胶类堵剂与地层以及储层内流体之间关系的局部加密网格多轮次调剖渗流模型，采用行索引存储方案和预处理双共轭梯度算法进行了模型求解。2006 年高慧梅、姜汉桥等[25]通过研究渗透率与压力的指数增长规律，利用边界元法得出油藏内相关点的压力，并采用正则摄动法处理方程，得出双重介质油藏的任意形状应力敏感性不稳定渗流模型。2012 年张允、薛亮[26]对其致密油藏数值模拟模型进行有限元离散，通过离散连续介质和采取三角形网格划分油藏区域，进而提高了其模型精度。2012年姚军、刘文超[27]对非达西渗流低渗透油藏动边界数学模型进行坐标变换，将其转变为定边界数学模型，随后采取有限差分法和全隐式求解法，得到了定流量内边界与定井底压力内边界的模型数值解。2013 年陈忠[28]通过全隐式差分对低渗透油藏油水两相非线性渗流模型方程进行离散，构造了非线性渗流数值模型，提出拟牛顿法讨论数值模型，并验证了算法的收敛性，此方法对于低渗透油藏中小规模数值模拟收敛速度较快。通过研究低渗透多孔介质渗流边界模型采取空间坐标变换法处理模型边界，并选择隐式有限差分得出模型的数值解。2015 年李威威[29]也应用隐式有限差分方法对模型进行求解，但应用本征正交分解法构造函数对微分方程进行降低方程维数求解。2018 年刘勇等[30]针对裂缝性油藏求解，针对非结构四边形网格的计算效率过低的现象，提出了三种提高计算效率的计算方法。2019 年黄迎松[31]对压裂井组非线性渗流模型进行有限差分求解，其中利用Taylor 公式展开对模型进行线性化处理，之后进行数值求解。

2 求解非线性偏微分方程的常见方法与研究

2.1 求解非线性偏微分方程的常见方法

近年来我国油藏数值模拟技术得到了广泛的研究和应用，各种成熟的商业软件不断推出，为我国油气田开发做出了显著贡献。而油藏数值模拟的重点问题在于处理非线性方程的数值解，现阶段常用于求解非线性偏微分方程的数值近似方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法。

有限差分方法（FDM）是采用最早的数值模拟方法，至今也仍被广泛应用。该方法将求解区域划分为性质单一的网格，每个网格用单一节点来表示，利用单一节点表示求解区域。有限差分法利用Taylor 级数展开等方法，每一个控制方程的导数用每一个节点的差商值来代替，对方程进行离散化处理，从而建立代数方程组。该方法直接将微分问题转变为代数问题的近似数值解法，表达形式简单，是发展较早且比较成熟的数值计算方法。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其求解思想是把求解区域划分为有限个单元，但每个单元形状不一，在每个单元内，选择合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程改写成插值函数的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

有限体积法（FVM）又称为控制体积法。利用计算流体力学中的思想，将计算区域划分为每个单一的控制体，每一个网格周围都是一个单一的控制体，对每一个控制体进行积分，得出一组离散方程。其中网格点上的因变量的数值是未知数。为了求出控制体积的积分，必须假定数值在网格点之间的变化规律。从而对方程进行求解。

通常主要用有限差分法求解微分方程。通过将有限差分网格的叠加，然后利用网格系统对方程进行离散，通常采用结构化网格，如块中心网格、点中心网格和径向网格等。其方法简单、概念明确，但存在网格取向性严重、处理复杂边界较为困难、求解精度低等缺点。

有限元方法在处理偏微分方程中计算精度高，且易于处理复杂边界，将连续的模拟油藏空间离散为有限多个单元的组合体，由于单元本身形状和相互间连接方式的变化，可以对几何形状复杂的储层进行模拟。并利用片分思想将全域上的未知场函数由每个单元内近似插值函数来表示，最后通过整体叠加思想进行组装求解。

为有效利用网格，充分考虑边界的复杂性，可见采用有限元方法建立流动方程的数值计算方式存在明显优势，其优点可概括为：（1）便于对含有复杂边界的油藏区域进行整体剖分；（2）避免了直接构建全域近似函数；（3）处理偏微分方程的计算精度较高。

2.2 有限差分法在油藏研究方面的应用成果

饶盛文等[32]考虑到低渗透油藏中存在启动压力梯度，故其渗流规律不再符合经典的达西定律，在结合了启动压力梯度和毛管力对渗流的影响因素，建立了径向水驱油两相渗流微分方程，并利用有限差分法进行数值求解。此外饶盛文[33]通过油水两相渗流理论和相关实验成果，推导建立了致密油藏油水两相渗流的一般微分方程，并介绍了低渗透油藏油、水两相渗流公式及求解方法，即采用隐式联立求解的方法进行求解。对低渗油藏油水两相模型的建立、计算方法等方面作了一定深度创新。

2.3 有限元法在油藏研究方面的应用成果

有限元法采用若干个互相连接不重合的小单元对求解区域进行空间离散，后在各个单元内选取结点，进而进行插值并获得近似函数，通常由未知场变量函数在各个单元节点上的数值或插值表达单元中的近似函数。这种方法将一个自由度为无限的连续区域转化为有限多个单元集合体，从而通过合并求解。

张允等[26]研究了致密油藏非达西渗流有限元数值模拟，考虑到有限单元法对复杂边界的适用性较好、计算精度较高等特点，研究了油藏非达西渗流数值模拟方法，并编程了对应的数模软件。

吕杭[34]把有限元方法应用于三维油、水两相裂缝性油藏，并编写相应的模拟软件。主要考虑了单渗透率双孔隙度裂缝模型，将油、水井处理成单元边界，并采用等参元坐标变换对其进行求解，拓展了有限元法在裂缝油藏数值模拟中的应用。

程林松等[35]采用六面体单元对三维直井模型中裂缝性油藏进行了空间离散，应用隐式压力隐式饱和度法和有限元法求解得出了数值结果。

蒋廷学等[36]考虑启动压力梯度、油-水两相流动、变裂缝导流能力等因素，对人工裂缝基于等效渗流阻力法应用有限元法进行了离散剖分。

2.4 有限体积法在油藏研究方面的应用成果

有限差分方法满足局部守恒原理，但是对于复杂边界储层问题灵活性较差，难以适用；有限元方法由于基于非结构网格，在空间离散上的灵活性增强，但仅符合全局网格内的物质守恒原则，不能实现局部区域内的流体物质守恒，极容易产生数值解的震荡现象。而有限体积法结合了有限差分和有限元法的优点，既可确保局部网格内的流体流动守恒，同时也能满足复杂边界储层的问题处理。

吕心瑞[37]在Delaunay 三角形基础上基于离散裂缝模型构建了有限体积控制单元，推导油-水两相流动控制方程的有限体积数值格式，对裂缝性油藏油-水两相流动进行了数值模拟研究。

张芮菡[38]通过研究有天然大型裂缝的非均质性强、尺度变化多的油藏，结合了有限元法和有限体积法，得出了离散型裂缝的网格模型的解，随后考虑到物质平衡、运动方程、状态方程以及连续性方程，进而得出了不混溶的微相可压缩油水两相渗流方程。

3 结论

（1）根据三种不同类型的渗流模型，列举了近年来我国学者所发表的代表性成果。它们大多数都致力于模拟最真实原油渗流方式，有些影响因素考虑的过于理想化并受限于解决条件，其都与真实油藏裂缝渗流方式有一定的差距。所以后来的学者应当不断优化现有模型，才能精确的模拟真实油藏渗流状态。

（2）介绍了常见求解非线性方程的三种方法，包括有限差分法、有限体积法和有限元法；分析了三种方法的相应原理，叙述了有限元法在油藏数值模拟方面的优势：①便于对含有复杂边界的油藏区域进行整体剖分；②避免了直接构建全域近似函数；③处理偏微分方程的计算精度较高；并列举了三种方法在油藏数值模拟方面的部分应用成果。