关于不变测度的维数分布的一点注记

蔡恒超

(福建师范大学 数学与信息学院，福建福州350117)

1 预备知识

为了研究一般概率测度μ及其支撑集的结构和复杂性，人们引进了所谓的局部维数:如果

其中，Br(x)表示以x为球心，r为半径的球，则称α为μ在x处的局部维数，称

为水平集.与此有关的一个由物理学家提出的著名公式是所谓的重分形公式:

其中，dim代表豪斯多夫(Hausdorff)维数，τ(μ,q)是Lq谱，定义为

另一个考察概率测度μ及其支撑集的结构和复杂性的方法是研究μ的支撑集的维数分布.Cutler[8]考虑了μ支撑于维数不超过α的集合上的质量是怎样随着α的变化而变化的，定义了如下的维数分布：

定义1设dim(E)表示集合E的豪斯多夫维数，对于任意的α∈[0,N]，定义集函数μα为

其中，B和D都是Borel集合.Cutler[8]证明了如下的结果：

这些测度μα实质上构成了概率测度μ的一个分解.利用这种分解，定义式

决定了集合[0,N]上的一个概率测度.Cutler[8]把这个测度称为测度μ的维数分布，并从 一种新的角度研究了概率测度的结构与复杂性.

一个自然的问题就是：对于由迭代函数系定义的不变测度，这种分解是否有用.本研究的目的就是回答这一问题，为此先给出迭代函数系及其不变集的定义如下：

(1)

称为不变测度.

2 定理及其证明

定理设μ是(1)式定义的不变测度，μα见定义1.若Sj都是双李普希茨压缩映射(即存在大于零的实数c1

定理说明，对于由迭代函数系生成的不变测度，Cutler[8]所定义的维数分布是一个单点分布(退化分布).

证明：设α∈[0,N],使得μα不是零测度.令

其中，Sj1∘Sj2∘…∘Sjn表示n个双李普希茨压缩映射的复合,则由豪斯多夫维数的性质知道，Bα的维数不超过α.所以，由μα的定义知道

μα(B)=μ(B∩Bα) (2)

由于Sj都是双李普希茨映射，所以存在常数c>0，使得

所以，由豪斯多夫测度的性质得知

所以

对一切Borel集合B和{1,2,…,m}中的j成立.

利用概率测度μ的定义式(1)可知，对于任意的Borel集合B，由(2)式有

μα(B)=μ(B∩Bα)

由(3)式有

(4)

由于μα不是零测度.令ν=[μα(▯N)]-1μα，则ν是一个概率测度.由(4)式可得，ν满足

由μ的唯一性得知，

μ=ν=[μα(▯N)]-1μα. (5)

如果μα≠μ，则μα(▯N)≠1，又因为μα(▯N)≤1，所以μα(▯N)<1.此时，μ-μα也是非零测度.令

ν′=[μ(▯N)-μα(▯N)]-1(μ-μα)，

则由(1)式和(4)式得

由μ的唯一性得知，

μ=ν′=[μ(▯N)-μα(▯N)]-1(μ-μα). (6)

所以，由(5)式和(6)式及(2)式得

[μα(▯N)]-1μα(Dα)=[μ(▯N)-μα(▯N)]-1[μ(Dα)-μα(Dα)]

=[μ(▯N)-μα(▯N)]-1(μ(Dα)-μ(Dα))=0，

这与μα是非零测度矛盾，所以μα=μ.这说明，当μα≠0时，必有μα=μ.令

α0=inf{α≥0:μα=μ}，

则易知定理的结论(i)成立；而且α>α0时，结论(ii)成立.最后，由(3)式知道，当α=α0时，结论(ii)也成立.证毕.