基于FFT变换的LFM信号检测方法研究

王传虎，邵文建，居 易

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏 扬州 225101)

0 引 言

线性调频(LFM)信号作为使用最早也最常见的脉压信号，能够使雷达系统取得宽的时宽和带宽，解决作用距离和距离分辨率之间的矛盾，目前被广泛使用于雷达、电子对抗等领域[1-2]。LFM信号是一种频率随时间做线性变化的非平稳信号，相对于单点频脉冲信号，能够给传统电子对抗侦察接收机的检测带来困难。因此，现代电子对抗侦察系统对于线性调频信号的研究非常有意义。

快速傅里叶变换(FFT)具有宽输入带宽、高频率分辨率、大动态范围和多信号并行处理能力，能够实现侦察频带内信号的全概率截获，成为频谱分析最常用的算法。FFT变换的点数直接影响FFT变换的性能。

基于FFT变换算法原理，本文分析了针对LFM脉冲信号的FFT变换的最优点数，为LFM脉冲信号的FFT频谱分析提供了理论指导。

1 单点频脉冲信号FFT变换

假设采样信号序列为x(n)，对应N点FFT变换：

(1)

对于单点频脉冲信号，假设信号峰值为A(当信号在脉宽范围外时，A为0)，信号频率为f，初始相位为φ，信号表达式为：

x(t)=Acos(2πft+φ)

(2)

假设信号经过模数变换器(ADC)采样，不考虑ADC采样产生的杂散、噪声和量化误差，并假设采样率为S，且满足香农采样定律：S>2f，采样后的信号表达式为：

(3)

(4)

其FFT变换为：

(5)

由于|ejφ|=1，由式(5)可知：

(6)

max(|X(k)|)≤AN

(7)

而在实际接收机设计中，由于受信号脉宽限制，FFT变换点数N需要折衷考虑。

设置仿真信号频率为256 MHz，信号脉宽为50 μs，信号起始时间为500 μs，假设噪声为高斯白噪声，信号信噪比为0 dB与-10 dB，采样率为1 024 MHz，仿真时间为1 024 μs，原始信号以及256点FFT和65 536点FFT变换结果如图1与图2所示。65 536点FFT信噪比增益显著高于256点FFT。在信噪比较低的情况下，65 536点FFT明显优于256点FFT。

图1 单点频脉冲信号FFT仿真(信噪比0 dB)

图2 单点频脉冲信号FFT仿真(信噪比-10 dB)

2 LFM脉冲信号FFT变换

对于LFM脉冲信号，假设信号峰值为A(当信号在脉宽范围外时，A为0)，信号起始频率为f，调频斜率为k，初始相位为φ，信号表达式为：

(8)

假设信号经过ADC采样，不考虑ADC采样产生的杂散、噪声和量化误差，假设采样率为S，并假设采样率满足香农采样定律S>2f，采样后的信号表达式为：

(9)

(10)

其FFT为：

(11)

由于|ejφ|=1，由式(11)得：

(12)

max(|X(k)|)

(13)

设置仿真信号中心频率为256 MHz，信号脉宽为50 μs，信号起始时间为500 μs，假设噪声为高斯白噪声，信号信噪比为0 dB，采样率为1 024 MHz，仿真时间为1 024 μs，原始信号以及256点FFT、4 096点FFT和65 536点FFT变换结果如图3以及图4所示。其中图3信号带宽为10 MHz，调频速率为0.2 MHz/μs，图4信号带宽为200 MHz，调频速率为4 MHz/μs。在带宽较窄、调频速率较慢时，4 096点FFT的信噪比增益最优，而带宽较宽，调频速率较快时，256点FFT的信噪比增益最优。而65 536点FFT更多地体现了信号的频谱带宽特性。

如果对信号序列进行滑动FFT，较少点数的FFT同样可以体现带宽特性，如图5以及图6所示。图5信号与图3信号相同，图6信号与图4信号相同。

图3 LFM脉冲信号FFT仿真(调频速率0.2 MHz/μs)

图4 LFM脉冲信号FFT仿真(调频速率4 MHz/μs)

图5 LFM脉冲信号滑动FFT仿真(调频速率0.2 MHz/μs)

图6 LFM脉冲信号滑动FFT仿真(调频速率4 MHz/μs)

图5中4 096点FFT频谱分析特性最优，而图6中，256点FFT频谱分析特性最优，与图3、图4结果相一致。由此可见，点数较少的FFT能够通过滑动的方法反映信号的频谱特性，信号频谱分析的优劣主要取决于FFT处理信噪比增益。

3 LFM脉冲信号FFT变换最优点数的研究

由上节分析，对于LFM脉冲信号，FFT处理增益并不会随着FFT变换点数N的增加而持续增加，因此存在最佳FFT变换点数。而由上节仿真可得，信号带宽和调频速率影响FFT的效果。

假设噪声为高斯白噪声，所有频率幅度相同。由于在FFT变换中，N为2的整幂次，假设FFT变换点数N扩大1倍，则单个点的带宽缩小1倍，即减小3 dB，对于带内信号，FFT变换幅度增益增加6 dB，因此当FFT变换点数N扩大1倍时，噪声功率增加3 dB。

由此，如果FFT变换点数N扩大1倍，对信号增益优于3 dB，则对信噪比增益有改善，否则，会恶化信噪比。

式(10)可以改写为：

(14)

对于N点FFT：

(15)

由此：

(16)

(17)

(18)

因此：

(19)

由之前讨论，2N点FFT相对于N点FFT对信号增益优于3 dB，对信噪比增益有改善。因此最佳FFT点数N应该满足：

(20)

结合式(19)，得到FFT最优点数N须要满足的条件：

(21)

由式(21)，FFT最优点数N仅与采样率S以及信号调频速率k有关。

4 仿真实验

选择仿真信号中心频率分别为105 MHz、256 MHz、405 MHz的信号，信号脉宽为50 μs，信号起始时间为500 μs，假设噪声为高斯白噪声，信号信噪比为0 dB，采样率S为1 024 MHz，仿真时间为1 024 μs。

选择与图3相同的信号，信号带宽为10 MHz，调频速率k为0.2 MHz/μs。由于在FFT变换中，N为2的整幂次，仅有2 048和4 096满足式(21)，因此最优的FFT点数N为2 048或者4 096。原始信号以及相应点数FFT变换结果如图7、图8、图9所示。

由图7、图8、图9，最优的FFT点数为4 096，满足式(21)估计。

选择与图4相同的信号，信号带宽为200 MHz，调频速率k为4 MHz/μs。由于在FFT变换中，N为2的整幂次，仅有512和1 024满足式(21)，因此最优的FFT点数N为512或者1 024。原始信号以及相应点数FFT变换结果如图10、图11、图12所示。

由图10、图11、图12，最优的FFT点数为1 024，满足式(21)估计。

图7 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率105 MHz，调频速率0.2 MHz/μs)

图8 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率256 MHz，调频速率0.2 MHz/μs)

图9 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率405 MHz，调频速率0.2 MHz/μs)

5 结束语

本文基于FFT变换算法原理，分析了FFT变换的点数对LFM脉冲信号频谱分析的影响，并推导了对于特定LFM脉冲信号，FFT变换的最优点数需要满足的条件。该条件仅与采样率以及信号调频速率有关。本文随后仿真验证了该条件。本文为LFM脉冲信号的FFT频谱分析提供了理论指导。

图10 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率105 MHz，调频速率4 MHz/μs)

图11 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率256 MHz，调频速率4 MHz/μs)

图12 LFM脉冲信号FFT仿真(信号中心频率405 MHz，调频速率4 MHz/μs)