一种基于期望最大化的多目标轨迹拟合算法

刘 禹，李 培,盛骥松

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏 扬州 225101)

0 引 言

在现代和未来战争中，随着战争空间日益复杂化、目标环境多样化，为了更准确地获得打击目标，需要借助侦测信息对目标轨迹进行拟合。传感器采集到的测量值，由于受到环境中噪声等因素的影响，使得测量值存在一定的误差，且现代雷达信号样式繁杂，侦察设备难以精准捕获同一批次的完备信息，且同一目标容易出现多批次问题，利用批次对目标进行轨迹拟合，容易造成轨迹分段、轨迹信息缺失等问题。鉴于此，本文提出一种宏观进行轨迹拟合的思路。本文将轨迹拟合拆分为2个主要阶段，即：轨迹个数估计和轨迹拟合。本文将轨迹个数作为先验知识，重点研究轨迹拟合问题。

传统轨迹拟合可分为3个类型：(1)现代智能类算法；(2)参数估计算法；(3)统计方法[1]。本文提出基于期望最大化(EM)的多目标轨迹拟合算法，在传统EM统计的基础上进行理论迁移，实现多轨迹融合算法。本文主要分为4个部分：(1)对EM算法进行介绍；(2)论述本文思路以及创新点；(3)针对不同算法进行仿真分析；(4)全文总结。

1 EM算法

EM算法[2-6]解决的问题可表述为：给定输入——观测变量数据Y，隐变量数据Z联合分布P(Y,Z|θ)，条件分布P(Z|Y,θ)；估计输出——模型参数θ。对于输入模型，利用最大似然准则，可建立目标函数：

(1)

对于上述优化问题，若观测变量完备，则准则函数L(θ)可借助最大似然估计(MLE)准则求解。但由于隐变量Z的存在，准则函数没有闭式解，一种思路是将P(Z|θ)看作已知，进一步求解参数θ，如此反复迭代，最终完成求解。但如此求解存在2点不足：(1)MLE求解过程中，存在分子分母求和、积分项，反复迭代增加运算复杂度；(2)不能确保该迭代操作满足收敛条件。为了解决这两点不足，A.P.Dempster提出了EM算法。首先，考虑第i次迭代后的准则函数不小于原始准则函数，根据JENSEN不等式：

(2)

省去对θ(i)的极大值而言是常数的项，由上式进一步得出：

θ(i+1)=

(3)

EM算法具体步骤如下：

步骤1：选择参数的初始值θ(0)，开始迭代；

步骤2：E步(求Q(θ,θ(i)))：记θ(i)为第i次迭代参数θ的估值，在第i+1次迭代的E步，计算：

Q(θ,θ(i))=EZ[lgP(Y,Z|θ)|Y,θ(i)]=

(4)

式中：P(Z|Y,θ(i))P(Z|Y,θ(i))是给定观测数据Y和当前参数估计θ(i)下隐变量Z的条件概率分布。

步骤3：M步(在隐变量条件概率密度给定的前提下，利用MLE实现参数估计)求使Q(θ,θ(i))最大化的θ，确定第i+1次迭代的参数的估计值θ(i+1)：

(5)

步骤4：重复步骤2、3，直到满足收敛条件。

至此，完成了EM算法的整个推导过程。

2 多轨迹拟合算法

2.1 混合高斯模型

根据上文推导，对于混合高斯模型(GMM)，只要求解P(Zj∈Yk|Yj,Θ(i))即可。其中Zj∈Yk表示第j个观测点来自第k个模型，Θ表示参数的集合。对于K个混合高斯模型，利用全概率公式，容易得到：

(6)

进一步写出准则函数：

(7)

式中：θk=[μk,σk],为分布k对应的参数;Θ={θ1,θ2,…,θK},为参数集合;N为样本个数。

(8)

偏微分求解：

(9)

得：

(10)

对各分布内部参数θk进行优化，给出准则函数：

(11)

对于高斯分布：

(12)

对参数求偏导：

(13)

(14)

至此完成了混合高斯模型的整个求解。

2.2 混合拉普拉斯模型

不同混合模型，参数形式不同，高斯模型因为是偶次幂而易于求解，对于奇次幂求导存在符号函数，难以直接求导迭代，因此解决奇次幂求解的问题，将进一步提升混合模型的普适性(不局限于高斯模型、拉普拉斯模型)。对于拉普拉斯分布：

(15)

式中:μ为均值；b为陡峭系数。

对于K个模型的混合分布：

(16)

E步骤与混合高斯模型求解相同，对于任意混合模型均适用。M步骤里系数的求解操作同样适用各种模型，对于陡峭系数b求解：

(17)

对均值求解：

(18)

此时无法完成迭代求解，换个角度，在迭代的最终状态，可以认为i次参数与i+1次参数近似相等[8]，从而上面的求导结果转化为：

(19)

从而完成均值的迭代:

(20)

至此完成奇次幂混合模型的参数求解。

2.3 混合线性模型

讨论不同的分布，主要是考虑传感器接收到的雷达信号存在的噪声特性不同。上文已解决了大部分随机平稳噪声场景的参数求解，不失一般性，假设传感器接收到信号的噪声为高斯噪声。下面论述如何从基于EM的混合分布模型迁移到轨迹拟合算法。

对于单条轨迹，可以借助最大似然(MLE)等算法进行轨迹拟合，但对于多条轨迹，该算法难以直接应用。假设一堆数据点(xj,lj)，由2条直线轨迹产生：

(21)

式中：n1j、n2j分别为对应的随机噪声。

虽然无法直接利用MLE求参，但不同轨迹的噪声，可以看作是混合模型的应用，对应到这里就是混合高斯模型：

(22)

可以认为lj-akxj就是GMM中的Yj，bk就是μk。直接套用GMM中的迭代结果：

(23)

(24)

所不同的是，多了一个对ak的求解，容易得出：

(25)

至此，理论推导完成。

上文以线性轨迹举例，推导了线性多轨迹拟合的可行性。更一般地，噪声模型可由高斯模型推广至其他多种混合模型；对于线性轨迹，同样可以推理到多种类型的轨迹模型。更一般地：

(26)

g为一般表达式，如GMM就是g=ax+b，更一般的g理论上可以为任意表达式,如图1。

图1 轨迹拟合示意图

只要将g的具体表达式代入EM求解过程即可。事实上，混合模型理论上可以实现各类形状的聚类，而噪声同样可以基于不同的分布假设：(1)常见的K-means本质是对于中心点(聚类中心)的分布假设；(2)高斯混合模型是对于斜率为0的直线(GMM的均值)的分布假设；(3)各种轨迹的拟合是EM算法的一般应用。

3 仿真试验

仿真环境：假设2批目标在不同的线性轨迹上，且由于作用距离不同，2个轨迹的参数误差不同，仿真基于式(26)所描述的轨迹模型，目标数量K取2；噪声为y(i)=0.5×x(i)-3+100×R和y(i)=-7×x(i)+2+50×R，是高斯白噪声,其中R为随机数。

利用本文提出的多轨迹拟合算法，仿真结果如图2所示。

图2 轨迹拟合结果

从图2中可以看出，本文提出的多轨迹拟合算法很好地拟合出了轨迹，仿真结果验证了本文算法的有效性。

4 结束语

本文作为多轨迹融合算法的新的尝试，跳出传统单批次信息不足、多批次可能对应同一目标等局限性，从宏观上论述了轨迹拟合理论的可行性，并进行仿真验证。该算法可以作为传统轨迹拟合的辅助信息，在整体上寻找轨迹将有利于目标参数的进一步深度融合。本文提出的轨迹拟合算法在应用层面、理论层面都存在一定的不足，但作为该方向的一个初步的探索，解决了部分理论难题，并梳理出初步的理论架构，仍然具有重要的借鉴意义。