彰显数学文化品性，培养数学核心素养

罗寅

高中三角函数是数学课程中相对比较抽象的一部分，一些学生感觉三角学习与实际问题关联太多，理解起来比较困难。怎样才能让学生突破学习三角道路上的一道道难关，提升学生数学学习积极性和数学核心素养？笔者经过多年教学实践，觉得数学建模是解决学生学习三角函数的一条有效途径。

一、数学建模在三角函数中的运用

（一）對称问题

三角函数内容的抽象性和公式变化多样性使学生难以把握，若是再加上有复杂文化背景的题目更是无从下手。在教学中，教师应该引导学生通过数学建模来突破这类题型，可以借助直角坐标系这一有效工具，直观解决抽象的问题。比如，在遇到三角函数对称问题时，可以先分析问题、建立模型，找到合适的函数模型之后，找出函数图象的对称轴、对称中心，再根据三角函数的性质加以解决。请看下面的问题：

例题1.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数。函数f（x）=∑7i=1sin[（2i-1）x]2i-1的图象，就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）是最小正周期为 π的周期函数

B.函数f（x）是偶函数

C.函数f（x）的图象对称轴是直线x=π2

D.函数f（x）的对称中心为（π2，0）

【解析】∵f（π-x）=sin（π-x）+sin3（π-x）3+sin5（π-x）5+…+sin13（π-x）13

=sinx+sin3x3+sin5x5+…+sin13x13=f（x）

即f（π-x）=f（x）

∴函数f（x）的图象关于直线x=π2对称，故选C.

【点评】由“模拟某种信号的波形”可抽象为正弦型函数——数学建模，再运用正弦型函数的图象与性质——对称性，根据f（π-x）=f（x），得到函数对称轴方程。本题考查学生正弦型函数模型掌握的程度，学生运用所学知识，合理建模、正确计算，判断A、B、D选项均有误，体现数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养。

（二）最值问题

在三角函数最值问题的学习过程中，数学教师需要帮助学生掌握三角函数最值问题的几种基本模型，让学生在解题过程中不断提高抽象思维、逻辑思维能力，训练学生数学运算能力。

三角函数最值问题有下列四种基本模型：

1.形如f（x）=asinx+bcosx型函数;

2.形如f（x）=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函数;

3.形如f（x）=asinx+cbcosx+d型函数;

4.含有sinx，cosx和与积的函数式。

这四种模型的特点分别是：

1.正余弦函数，并且是一次式。方法是把正余弦转化为只有一种三角函数，此类函数可化为：f（x）=a2+b2sin（x+φ），其中tanφ=ba;

2.含有sinx和cosx的二次式，方法是先降次、整理，再化为形式1进行求解;

3.分式和分子分母都是sinx和cosx的一次式。方法是去分母或者看成两点斜率来解决;

4.化简整理后出现sinxcosx和sinx+cosx的式子。方法是利用（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx进行转化，从而变为二次函数的最值问题。

对于不同模型，有着不同的解答途径和方法。在遇到三角函数与向量综合的最值问题时，利用向量的知识，将向量问题转化为三角问题，合理的建系设点能起到事半功倍的效果。比如2021年3月深圳一模数学卷的第8题：

例题2.（2021年深圳一模，8）骑自行车是一种有氧运动，能有效改善心肺功能，深受大众喜爱。下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为3 ，⊿ABE，⊿BEC，⊿ECD均是边长为4的等边三角形。设点P为后轮上的一点，则在启动该自行车的过程中，AC·BP的最大值为（）

A.18 B.24

C.36 D.48

【解析】向量坐标法，应用三角函数求最值。

以点E为坐标原点，AD为x轴，建立平面直角坐标系，则A（-4，0），C（2，23），B（-2，23）;

连结动点P与点D，令∠xDP=θ，则P（4+3cosθ，3sinθ）

∴AC=（6，23），BP=（6+3cosθ，-23+3sinθ）

∴AC·BP=24+6（3cosθ+sinθ）=24+12sin（π3+θ），

由-1sin（π3+θ）1，得AC·BP最大值为36，故选C.

【点评】本题从数学核心素养立意下命题，合理的建系设点是关键，它考查学生数形结合思想，检测学生计算能力，是向量与三角函数知识融为一体的好题。运用向量知识来解决三角函数的最值问题，从三角与向量的关联点（角）切入，把向量的夹角与三角函数的角统一为一类问题，真正展现数学建模的核心素养。二、结束语

在三角函数教学过程中，教师必须紧紧抓住教材中的数学文化，让学生在数学文化背景下形成学习情景，鼓励学生在知识形成点、思维发生点、能力成长点创设问题，让学生在学习数学过程中体验获得模型、形成方法、感悟文化的成长过程。教师通过揭示三角函数的数学文化背景，让学生知晓三角函数在推动人类进步中的巨大作用，让学生真实体悟到数学建模可以有效解决社会生产与现实生活中的实际问题。通过学生数学建模能力的不断攀升，让学生实现真正意义上“三会”：会用数学的眼光洞察世界，会用数学的思维剖析世界，会用数学的语言交流世界，从而将立德树人目标落到实处。

责任编辑李少杰