善借方程优势 巧建模型思想——以“分数除法解决问题”为例谈逆向思维问题教学

■山东省平阴县实验学校 董莺歌

在小学阶段，利用所学知识解决实际问题常需要逆向思维，历年来是学生学习的重点和难点。尤其是六年级上册中利用分数除法解决问题，数量关系抽象复杂，题型变化多样，这是比、百分数等许多后续知识的学习基础。笔者认为要突破这个教学难点，就要善借方程顺向思维优势，通过构建模型思想，改善学生的学习方式与思维品质，提升学生数学核心素养，为将来数学学习、工作和生活奠定坚实基础。

一、把脉学情，定位建模方向

小学一至四年级学生一直采用算术法解决问题，当出现方程以后，由于受思维定式影响，又因用方程需要写设句，利用等式的基本性质解方程过程略显烦琐，所以学生并没有深刻体会用方程解决问题的优越性。到了六年级上册，需要解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题时，虽然倡导学生运用方程法去解决，但在解方程和检验这两个重要步骤中，学生不可避免地发现了规律，即：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，也就是已知两个数的积和其中一个因数，求另一个因数，这完全可以直接用除法解答。学生对此感到兴奋不已，原因是书写字数少，并乐此不疲地运用。但是，由于需要逆向思维，出错率还是不容小觑的，因此，教师需要引导学生构建方程法解决逆向思维问题模型思想。

二、依标施教，建构模型思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。但是模型思想的形成不可能一蹴而就，需要教师依据课程标准，通过创设问题情境，激发学生探索问题的需要，让学生通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程，获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识与感悟。这需要教师在教学中循序渐进逐步渗透，引导学生主动感悟，只有经历问题解决的过程，能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓。

三、巧借方程，注重有效建模

利用方程解决分数除法实际问题恰好是一个重要的教学契机，可以帮助学生构建用方程解决问题的模型思想，并触类旁通解决更多逆向思维问题。下面就以“分数除法解决问题”为例，谈谈我在借助方程优势，引导学生构建模型思想的几点做法。

（一）厘清关系，体验方程优势

分数除法与乘法关系密切，方程法是结合分数乘法的意义去寻找等量关系，让未知数参与列式，两者的解答思路是一致的。因此在教学中，教师要先引导学生复习相关的分数乘法解决问题，再引入新课，使学生感受用方程法解决问题的优越性。比如教学第38页例5：“小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻815，小明爸爸的体重是多少千克？”，先出示与之有关的分数乘法题目，然后改编为例题，着重引导学生对“小明的体重比爸爸的体重轻815”进行分析与理解，使学生发现两题虽然已知条件和问题有所不同，但单位“1”是相同的，数量关系也是相同的，可以根据它列出方程，大大降低思维难度，让用方程解决逆向思维问题的模型思想在学生心里生根发芽。

（二）数形结合，助力方程建模

数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”教师充分利用线段图这一有力工具，通过数与形的一一对应，为学生分析、理解等量关系提供清晰的直观支持，助力用方程解决问题模型思想的构建。如在刚才例5教学中，教师引导学生正确画线段图，虽然表示单位“1”的量（爸爸的体重）是未知的，也要先用线段表示出来，并把它平均分成15份，然后用另一条线段表示其中的7份（也就是小明的体重），并把条件和问题标注在线段图上，这样将数量关系清晰直观地呈现出来，再引导学生观察单位“1”、815和小明的体重三者之间的关系，利用数形结合确定等量关系，从而轻松、正确地列出方程来解答。同时，在平时练习中注重培养学生不懂就画图的良好习惯，防止机械套用格式，逐渐使方程解决逆向思维问题的模型思想深入人心。

（三）加强对比，感受方程魅力

在教学中，还要更加关注学生对算术法和方程法的选择偏好，明确不同算法的优劣，在潜移默化中让用方程解决逆向思维问题成为一种首选策略，发自内心地领悟方程魅力。例如：“大象每小时最快能跑35千米，比猎豹速度的12少20千米，猎豹每小时最快能跑多少千米？”如果用算术法解答的话，学生不太容易找到“猎豹速度的12”所对应的数量，而且对“少20千米”这一信息不知如何处理，经常有学生列错算式为：35÷12-20或( 35-20)÷12，如果教师引导学生正确画出线段图进行分析、理解，找准等量关系，利用方程解决的话不易出错，对方程顺向思维优势体验更深入。这样，学生就可以顺水推舟运用到解决更多逆向思维的题目中。

（四）扫清障碍，内化模型思想

义务教育数学课程标准(2011年版）提出：“创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展。”所以，在教学中适当创设情景，合理增加具有挑战性的题目，提高学生用方程的积极性。如：“有一粮仓，运走54吨粮食以后，余下的粮食的比原来质量的34少6吨，这个粮仓原有粮食多少吨？”，积累了一定学习经验的学生很容易找出等量关系，并设这个粮仓原有粮食x吨，轻而易举列出如下方程：“x-54=34x-6”，但由于方程两边都有未知数和已知数，如何正确解这样的方程成了“拦路虎”。这时教师要及时指导，帮学生扫清利用方程解决问题的障碍，使利用方程解决问题的优越性发挥得淋漓尽致，并鼓励学生利用方程去“一网打尽”逆向思维问题，真正将模型思想内化于心。

总之，教师要认真解读课程标准与教材，充分把脉学情，抓住分数除法解决问题这一有利教学时机，借助方程顺向思维优势，不断提高学生的数学素养，为终身学习积蓄力量。