寻问题 找差异 促提升——以非常规问题为例寻求缩小思维差异的策略

■浙江省海盐县城西小学 傅敏娟

为了缩小学生数学思维上的差异性，我们研究发现：思维过程起始于问题的形成和确定，任何思维过程总是推向于某一具体问题，问题是生长新思想、新方法、新知识的种子。因此，如何引导学生主动地思考有价值的问题，并形成一定的策略，对于优化学生数学思维来说至关重要。

一、问题初探，呈思维差异之现象

案例：一杯水连杯子重450克，倒出一半水后，连杯重250克。

提问：1.你能提出什么简单的数学问题？2.你还能提出什么挑战性的问题？怎样解决这些问题呢？把你的方法写下来，方法越多越好！对于第一个问题，学生能模仿提问，学生：水重多少克，杯子重多少克？我们发现在这一层次的问题提出上看不出思维的差异。同时，我们发现学生一时都提不出挑战性的问题，于是我们让学生先把想到的方法写下来，并试以交流的方式让学生说出心中疑问。

我们看到：第一层次的学生提出“水和杯子各重多少克”的，这些关于知识性的问题往往最直接想到，显现出一点小差异；第二层次是关于方法的问题，可能通过交流表达更适合把心中的疑问通过图画、语言等呈现出来，在这个环节，差异开始变大；有些学生会写、会画，但不会用适当的语言表达出来；当关于策略选择的问题出现时，就是内隐为学生内心的思维活动，这一层次便出现了更大的差异。于是，我们试图寻找这些差异产生的原因。

1.解决问题程序缺失，思考过程缺少条理。学习是有规律的，不同的人，学习特点也不一样。我们看到部分学生对数学信息的加工出现种种疑惑与困难，他们只能按照自己的思考方式，这些学生的记忆基本是块状结构，缺少逻辑性。

2.数量关系结构零散，彼此之间缺少沟通。新教材以情境代替例题，以对话式的图文代替文字表述，让“数量关系”隐含在情景中，增加了教学难度。有部分学生会列等量关系会画线段图，但缺少数量关系之间的联系，到最终在解决问题的方法上还是不能灵活运用。

3.问题层次性训练不够，习惯常规缺少挑战。学生在解决问题时往往简单地以经验为主，尽管知道可以画图、可以找等量关系，但缺少解决问题的一般方法和策略。案例1提挑战性的问题，我们发现学生也在往“画个图→表示出数量关系→形成算式”方向思考，这就是关于面对问题的策略选择。但这种思考比较内隐，比较零散，形成不了系统，他们不知道这样的思考方法可以用提问的方式表达出来。这也是学生所存在的最核心的差异。

二、问题寻根，析思维差异之原因

1.解题至上，思维提升缺引领。非常规数学问题，是指无法用现成的常规方法解决的问题。这些已经超越了以往单纯“解题”的教学功能。而我们教师仍然把解决问题看成“解题”来指导，缺乏一定的系统性和发展性眼光。在上面的案例中，当结构性材料缺失的时候，学生就出现了块状思维，解题困难的情况。

2.接受为途，解决问题缺挑战。案例中学生对第一问法非常积极，这是他们认知基础上已形成的方法，但对于挑战性问题这样的难度就有所畏惧，不敢主动提问，不能及时地把心里思考的过程表达出来，在心理学上，这也是一种“趋利避害”的现象。

三、问题再探，寻缩小差异之策略

我们以同样为非常规问题的“植树问题”为例，寻找缩小学生思维差异的策略。

（一）解决问题的程序性知识，作为最基本要求

1.建立表象，给知识性问题的提出搭建“脚手架”。“植树问题”属于非常规问题，缺少常规的解题信息和解题思路，而教师用贴近学生实际的知识呈现方式进行教学，能帮助学生缩小差异。如“植树问题”一课的开始，我们就通过课件向学生展示了5棵树是怎么种的，间隔是怎么来的，这样非常直观地展示在学生面前，形成植树问题的表象。

2.耐心等待，给深层的思考提供时间和资源。数学家姜伯驹先生说过：“数学使我学会长时间地思考，而不是匆忙地去做解答。”同样在“植树问题”教学中，我们可以给学生学具摆一摆，让他们静静地思考，就会有新的想法出现。

（二）数量关系结构训练，广泛建立联系

1.分析数量关系的方法。一般的策略包括“综合法”与“分析法”“寻找中间问题”等。在这些方法的习得中，我们有意识地在教学过程中运用，潜移默化地引导学生有条有理地分析，并把自己的想法用语言或者图式表达出来。随着熟练程度的提高，作为一种习惯性的数学思维方式成为学生认知结构中的一部分，从而提升学生的思维。

2.提炼数量关系的策略。提炼数量关系，这既是一个寻找规律的过程，也是获得同类问题解决方案的一个通用策略。数量关系常有两种类型。比如，“4个间隔，每个间隔5米，一共几米”，分析这题：每个间隔5米×4个，一共20米→每个间隔的米数×间隔数等于总米数→每份数×份数=总数。这里“每个间隔5米×4个”是情景型关系式（还如“速度×时间=路程”等）；纯数学术语表征的关系式（即“每份数×份数=总数”）。作为“现实问题”向用“数学方法解决”过渡的桥梁，这些关系式无疑是十分重要的，我们在教学中运用归纳、记忆与应用等方法，让学生在思中问，在思中练，在思中经历抽象过程，让思维向高一层次发展。

（三）问题层次性训练，由知识问题到策略问题

1.注重原型，渗透思想。数学思想方法是培养学生问题解决的能力的根本所在。如在“植树问题”中把100米的小路改成了1000米，这样数字变大了，就有学生提出可不可以举一些较小的数来验证，这也是我们数学思想中的“化繁为简”“以小见大”。有意识地进行数学思想的渗透能够使学生的学习发展到更深的层次。

2.巧用建模，发展思维。非常规问题的教学，最重要的就是要突出如何把一个实际问题，抽象转化为一个数学模型来解决。在学生得到两端都种的情况是棵数=段数+1，教师不急着讲解另外的两种类型，而是问学生那10个点几段？100个点呢？让学生闭上眼睛，在脑海中想象一下这个图，从而更深刻地理解这个模型的内涵，又通过点段图建立“一一对应”的思想，帮学生建立了植树问题的三种模型。

特级教师许卫兵提出：数学学科的核心素养是“思维”。我们要将学生在学习过程中的共性与个性辩证地统一起来，形成解决问题的一些基本策略，缩小思维的差异性从而提高学生数学问题解决的素质与能力。