巧用二次函数对称性解决问题

文 王 寅

抛物线的轴对称性，是二次函数的一个重要特征，往往也是解题的关键。我们如果能够熟练并巧妙地运用，可使解题变得轻松。

一、利用对称性求点坐标

例1已知二次函数y=kx2-4kx+3k 图像上有一点（3，2），则该点关于图像对称轴的对称点的坐标为（ ）。

A.（2，3） B.（1，2）

C.（2，2） D.（1，3）

【分析】我们要求对称点，就要先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出另一点的坐标。

解：对称轴为。设所求点的横坐标为m，根据中点坐标公式可得，解得m=1。由对称性可知纵坐标不变，所以所求点的坐标为（1，2）。故选B。

【点评】灵活利用配方法或公式求出对称轴是解题的关键。本题还可以利用十字相乘法，将表达式转化为交点式y=k（x-1）（x-3），求出对称点的坐标。

二、利用对称性比较数值大小

例2若点A（2，y1）、B（-3，y2）、C（3，y3）三点在二次函数y=x2-4x-m 的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）。

A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3

C.y2＞y3＞y1D.y3＞y1＞y2

【分析】找出图像对称轴，利用增减性求解。

解：配方得y=（x-2）2-4-m，所以对称轴为x=2。因为a＞0，A 点横坐标为2，所以A 为图像顶点，即y1最小。根据对称性，可得点C 关于对称轴的对称点C′的坐标为（1，y3），在对称轴左侧，y 随x 增大而减小，所以y2＞y3，即y2＞y3＞y1。故选C。

【点评】借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。当然，本题也可直接代入求解。

三、数形结合解不等式

例3已知抛物线y=ax2+bx+c 的部分图像如图1 所示，若y＞0，则x 的取值范围是（ ）。

A.x＞1 B.x＜-1

C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3

【分析】函数图像与x 轴有两个交点，所以要先求出另一交点。

解：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，一个交点为（-1，0），易求出另一交点为（3，0）。因为y＞0，所以根据图像可知对应的取值范围应为x 轴上方部分，即x＜-1或x＞3。故选D。

【点评】本题容易错解为x＜-1，忽视对称轴另一侧的情况。数形结合思想是解决函数取值范围的主要方法，如本题，若问当y＜0 时，求x 的取值范围，则可根据图像直接得到答案为-1＜x＜3。

四、巧用对称性求面积

例4如图2，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m 经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分面积为（ ）。

A.12 B.14 C.16 D.18

【分析】求不规则图形面积应利用拼、割、补等方法转化为规则图形。

解：作QD⊥y轴于点D，设PQ 与x轴交于点C。由抛物线m 经过A（-6，0）、O（0，0），通过交点式可得m 的表达式为6）（x-0），即，所以图像m 的对称轴为x=-3，将x=-3 代入，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以阴影部分面积可转化为矩形CQDO面积，即3×6=18。故选D。

【点评】处理不规则图形面积的关键是转化。本题通过求出P、Q 两点坐标，结合对称性，将阴影部分面积转化为矩形面积。

例5如图3，抛物线分别交矩形ABCD 于F、E、A、D、C、B，若点A 的横坐标为-1，则图中阴影部分面积的和为（ ）。

【分析】已知的三个函数表达式都为y=ax2的形式，可知图像顶点都为原点，对称轴都为y 轴。可将右侧阴影部分移至左侧，即求矩形ABCD面积的一半。

解：由图可知，点A在抛物线上，点B 在上，将x=-1 分别代入，得A所以则左侧矩形面积为故选C。

【点评】解题的关键点是判断各点所对应的抛物线。因为点B 所在抛物线开口向下，所以点B 在上；因为 |a |越大，抛物线开口越小，所以点A在上。

五、巧用对称性求值

例6如图4，已知点C（0，2）、D（4，2）、F（4，0）。问题：

（1）请利用尺规作出抛物线的对称轴，想一想能有几种作法；

（2）若抛物线对称轴上有动点P，求PC+PO的最小值。

【分析】（1）根据C、D 两点坐标，可知CD∥x 轴，作CD 的垂直平分线l，则l 即为抛物线的对称轴。

（2）动点P 在对称轴上，可找出点C（或点O）关于l的对称点，利用线段垂直平分线性质，进行转换。

解：（1）分别以点C、D 为圆心，大于为半径画弧，过两弧上下交点作直线l，则直线l为抛物线的对称轴。

（2）如图5，连接OD，与l 交于点P，所以PC=PD，即PC+PO=PD+PO=OD。因为OC=2，CD=4，所以

【点评】问题（1）还可以利用矩形的对称性质来解决，即连接CF、OD，过CF、OD的交点作x 轴的垂线，则垂线为抛物线的对称轴。问题（2）是典型的“将军饮马”问题，可利用二次函数的对称性得出点C 的对称点为点D，根据线段垂直平分线性质转化线段，构造三点共线，求出最小值。