由线段最值引发的最值问题

文 张亚军

最值问题是本章中的典型问题，也是难点问题。这类问题我们通常可以转化为求线段的最值问题来解决。

例题如图1，已知抛物线y=ax2-x-4（a≠0）的图像与y 轴交于点C，与x 轴交于A、B两点，B点坐标为（-2，0）。

（1）直接写出a 的值和直线AC 的表达式；

（2）点P是抛物线上一动点，且在直线AC的下方，过点P作y轴的平行线，交线段AC于点H。

①求线段PH长的最大值；

②求S△PAC的最大值。

【解析】（1），由A（4，0）、C（0，-4），得直线AC的表达式为y=x-4。

（2）①求线段PH 长的最大值即求出线段PH长度的表达式。

∴当m=2时，PH的最大值是2。

【变式一】如图3，若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，求PD的最大值。

【方法一】∵△PHD 是等腰直角三角形，∴当PH 最大时，PD 最大，∴当PH=2时，PD有最大值，其最大值为。

【方法二】如图4，过点P作PM∥AC，交y 轴于点M。求PD 最大值即转化为求AC、PM 两平行线之间距离的最大值。当PM与抛物线只有一个公共点时，PD 有最大值，即b2-4ac=0。求出直线PM 的关系式，再利用sin∠PMC=sin∠ACO，可求得PD 的最大值。

【变式二】如图5，在例题（2）的条件下，以PH 为直径的⊙M 与AC 的另一交点为E，连接PE。

（1）求PE的最大值；

（2）求劣弧EH弧长的最大值。

【解析】（1）∵△PEH 是等腰直角三角形，

∴当PH最大时，PE最大（同变式一）。

（2）当PH 最大时，劣 弧EH 弧长也最大。

∵PH最大值为2，

数学解题的过程，其实就是将问题不断转换、转化的过程。把复杂问题转化为求某一单项的问题，把不易求的转化为容易求的问题。同学们需要具有睿智的数学眼光，很强的数学思维，用心感悟，日积月累，才能有所获得。