基于综合资源约束的关键链缓冲区大小计算方法

周尧尧，刘猛锐，朱训国，孙 峤

(大连大学 建筑工程学院，辽宁 大连 116622)

项目朝着规模巨大化和复杂化方向发展，市场竞争也愈发白炙化，传统项目进度管理方法已难以满足现代项目管理的要求。越来越多的项目出现进度超期现象，给社会及企业带来巨大的经济损失。为此，Goldratt将约束理论应用到项目进度管理领域，提出了一种新型的项目进度管理方法——关键链项目进度管理方法(Critical Chain Project Management，CCPM)，引起了学术界和项目管理界的极大关注[1]。

CCPM通过在项目的末尾设置缓冲区以吸收项目工期的不确定性，从而保证项目按计划执行。经典的缓冲区大小计算方法有Goldratt[1]提出的剪切粘贴法(Cast and Paste Method，C&PM)和Newbold[2]根据中心极限定理提出的根方差法(Root Square Error Method，RSEM)。研究表明，根据剪切粘贴法计算的缓冲区偏大，而根据根方差法得到的缓冲区大小较为合理。而且，当项目规模过大或者项目活动数量过多时，根方差法能够避免剪切粘贴的过度保护，设置更为合理的缓冲区[3]。但是，两者在计算缓冲区大小时均假设项目活动相互独立，而实际项目活动之间具有相关性，如资源的限制或网络复杂性，这使得基于根方差法计算得到的缓冲区过小，从而无法保证项目按进度计划进行。因此，Tukel等[4]通过考虑资源约束和网络复杂性来改进剪切粘贴法，形成一种改进的缓冲区大小计算方法。后续学者基于上述几种方法做了许多拓展研究。

施骞等[5]引入资源隶属函数模糊评价资源紧张度，综合网络复杂性和管理人员风险偏好等因素提出了一种缓冲区大小计算方法，并假设了资源的可替代性，提出了以成本指标来评价缓冲区大小计算方法的绩效。Farag[6]综合考虑工期不确定性和资源的约束提出了缓冲区大小计算的改进方法，并将部分的插入缓冲放置在项目缓冲后面，以减少项目的工期。胡雪君[7]利用贝叶斯先验网络计算不确定工期风险，并采用资源流网络综合评价资源约束风险，从而提出一种(Design Structure Matrix，DSM)新的缓冲区大小计算方法。蒋红妍等[8]引入矩阵描述和计算信息流交互对项目工期的影响，并结合资源可替代性提出了资源紧张度计算方法，从而提出了一种考虑信息资源和多种资源约束的缓冲区大小计算方法。张俊光等[9]通过考虑资源获取难易度和资源保存难易度的内积而提出一种替代资源增量缓冲区大小计算方法。黄建文等[10]提出一种衡量人类资源柔性的度量方法，并结合资源紧张度提出了考虑人力资源柔性的资源缓冲区大小计算方法。

以上方法都有其合理性，但仍存在以下局限：(1)在考虑物理资源因素对缓冲区大小影响时，仅选取物理资源需求强度峰值作为影响系数，缺乏对项目所处环境因素影响的考虑；(2)传统方法在计算资源约束系数时，仅考虑物理资源对项目进度的影响，忽视了活动间信息流交互的影响；(3)虽有少数学者考虑了活动间信息流交互作用，但忽视了活动间重叠关系的影响。

鉴于以上局限性，本文提出基于综合资源约束的关键链缓冲区大小计算方法，其改进之处在于：(1)为描述物理资源因素在不同资源需求强度下对项目进度的不同影响，利用分段模糊函数进行分段计算；(2)类比物理资源约束系数，提出信息资源约束系数的概念，以描述信息资源因素对缓冲区大小的影响；(3)在活动信息流交互方面，引入Yang等[11]改进的DSM，度量重叠活动和非重叠活动的信息流交互对缓冲区大小的影响。

1 物理资源约束对缓冲区大小的影响

项目实施过程中需要的一类资源是物理资源，其主要包括人工、材料和机械设备等实际存在的物质，当物理资源发生短缺时，项目进度会发生延迟。故需要增加相应大小的缓冲区以应对物理资源带来的工期的不确定性。

现有文献在考虑物理资源因素对缓冲区大小影响时，通常选取物理资源需求强度峰值ri作为物理资源约束系数[12]，计算方法如式(1)所示。

(1)

而物理资源具有两个特征：(1)物理资源因素对缓冲区大小的影响是一个模糊概念，不同人对其有不同的理解，不同项目对资源约束系数的评价标准也不同，对项目管理人员来说，难以简单地做出是否存在资源紧张的判断[5]；(2)物理资源的需求量越接近供应量，项目进度越可能发生延迟，但当物理资源供应量完全能够满足项目中任何活动资源需求时，物理资源就不会对项目进度产生影响。因此，式(1)中采用物理资源需求强度的峰值作为物理资源约束系数，存在明显的不合理之处。基于上述分析，本文引入分段模糊函数定义物理资源约束系数αi，以实现物理资源约束对缓冲区大小影响的度量，具体如下：

当ri

当a≤ri

当b≤ri<1时，表示物理资源紧张，此时不确定因素发生时将会对缓冲区大小产生较大的影响，故αi=0.8ri；

当ri=1时，表明物理资源被全部投入了使用，此时不确定因素发生会对缓冲区大小产生极大的影响，且必定会导致项目进度延期，故αi=1。

根据上述分析，可得到物理资源约束系数αi计算方法，总结为式(2)。

(2)

式中：αi越大表明物理资源对缓冲区大小影响越大；参数a，b∈(0，1)，其取值根据项目大小、所处环境、管理人员偏好及工作团队的经验等因素共同决定，当项目采取稳定型策略时，参数a，b的取值偏大。

2 信息资源约束对缓冲区大小的影响

项目实施过程中需要的另一类资源是信息资源，其主要指项目在执行过程中活动间信息流交互作用，这种交互作用可能会导致项目活动的返工。故需增加相应大小缓冲区以吸收信息资源带的工期不确定性。项目实施前，仅能获得活动的部分信息，另一部分信息只能通过项目实施过程中信息流传递和反馈来获得。

2.1 活动信息流交互情况

在实际项目中，活动之间存在重叠关系和不重叠关系。这两种情况下信息流交互的方式和对返工的影响有所不同，但都存在信息输出和反馈。

(1)不重叠活动之间的信息流交互

活动i为活动j的上游活动，当i和j不重叠时，j将在其完工时向i提供反馈信息，i在接收反馈信息时可能发生返工，返工大小如图1a所示；当i处理完返工工作后，会向j传递一部分信息，j在接收到信息时可能发生返工，返工大小如图1b所示。

图1 非重叠活动间信息流交互

(2)重叠活动之间的信息流交互

如图2所示，当活动重叠时，信息流交互会在活动执行过程中进行，情况更为复杂。当活动i执行到Ti时，将部分信息传递给活动j，j在执行到Tj时，接收到活动i传递来的信息，如图2阴影1所示；从Ti时刻起，i将信息持续传递给j，直至i执行完毕，j在收到i的信息时，也会向i反馈信息，如图2阴影2所示。由此可知，阴影1和阴影2构成重叠活动的信息流交互总和。由此导致的返工时间如图2阴影3所示，阴影3是阴影1和阴影2的函数。

图2 重叠活动间信息流交互

2.2 基于DSM计算信息资源约束系数

传统的DSM矩阵仅包括返工概率矩阵RP(Rework Probability Matrix)和返工影响程度矩阵RI(Rework Impact Matrix)，无法描述重叠活动的信息流情况，yang等[11]在传统的DSM矩阵基础上，引入时间因子，提出了信息输出时间因子矩阵IOI(Information Output Time Factor Matrix)和信息接收时间因子矩IRI(Information Receiving Time Factor Matrix)，结合已有的RP和RI矩阵来描述信息流交互情况。四个矩阵信息如图3所示。

图3 DSM矩阵

(1)信息输出时间因子矩阵IOI

如图3a所示，非对角元素IOI(i,j)表示活动j向活动i发送(或反馈)消息时，活动j的完成状况。IOI(i,j)值在[0,1]之间，当IOI(i,j)=1时，表明活动j完工后向活动i发送消息，如IOI(A,C)=0.7，表明C向A反馈信息时，C已完成0.7。

(2)信息接收时间因子矩阵IRI

如图3b所示，非对角元素IRI(i，j)表示活动i接收活动j发送(或反馈)的消息时，活动i的工作完成状况。IRI(i，j)值在[0,1]之间，当IRI(i,j)=0时，表明活动i开工前就开始接收活动j发送消息，如IRI(C,B)=0.5，表明C接收来自B的信息时，C已完工0.5。

(3)返工概率矩阵RP

如图3c所示，非对角线元素RP(i,j)表示活动i接收活动j发送(或反馈)的信息时，活动i的返工概率。RP(i,j)值在[0,1]之间，如RP(B,A)=0.5，表明B接收来自A的信息时，B可能发生概率为0.5。

(4)返工程度矩阵RI

如图3d所示，非对角线元素RI(i,j)表示活动i接收活动j发送(或反馈)的信息时，活动i的返工程度。RI(i,j)值在[0,1]之间，如RI(B,D)=0.2，表明B接收来自D的信息时，B的返工强度。

基于上述理论，可以计算出图1的返工安全时间(阴影部分)，计算方法如式(3)所示。

RTi=DiRP(i,j)RI(i,j)

(3)

图2中阴影1和阴影2的计算公式如式(4)(5)所示。

A1=IRI(i,j)Di

(4)

A2=(1-IOI(i,j))Dj

(5)

图2中阴影3的返工时间是阴影1和阴影2的函数，计算方法如式(6)所示。

RTi=[IRI(i,j)Di+(1-IOI(i,j))Dj]·RP(i,j)RI(i,j)

(6)

式中：RTi为活动i的返工时间。

(7)

2.3 信息资源修正系数

研究表明，活动重叠时间越长，活动发生延期风险的可能性越大；信息流交互的活动距离越远，活动发生延期风险的可能性越大[13]。据此，本文提出活动重叠率与活动距离之比对信息资源约束系数进行修正。

(1)活动重叠率

活动i和活动j是重叠活动，活动的重叠时间OT(i,j)按式(8)计算。

OT(i,j)=min{(1-IOI(j,i))Di,(1-IRI(j,i))Dj}

(8)

定义活动重叠率OR(Overlap Ratio)，计算方法如式(9)所示。

OR(i,j)=OT(i,j)/min(Di,Dj)

(9)

当活动i与j不重叠时(IOI(i,j)=1，IRI(i,j)=0)，活动重叠率OR(i,j)=0。

(2)活动距离比

信息流交互的活动间距离越远，活动发生延期的可能性越高。据此，以活动间的距离与对应链路上总距离(活动总数)的比值为活动间距比DR(Distance Ratio)，计算方法如式(10)所示。

DR(i,j)=|i-j|/n

(10)

式中：n为对应链路上活动总数。

基于上述分析，结合式(8)～(10)，可得信息资源修正系数RC(Resource Correction)，如式(11)所示。

(11)

2.4 修正的信息资源约束系数

基于上述分析，可得到修正的信息资源约束系数βi计算方法如式(12)所示。

(12)

式中：βi越大，信息资源因素对缓冲区大小影响越大。

3 缓冲区大小计算方法

为计算物理资源因素和信息资源因素对缓冲区大小的综合影响，结合前文的分析，定义综合资源约束系数CR(Comprehensive Resource Tension)，计算方法如式(13)所示。

CRi=(1+αi)(1+βi)

(13)

CRi越大，综合资源约束对缓冲区大小影响程度越高。

进而，可计算出关键链上项目缓冲区大小PB，计算方法如式(14)所示。

(14)

式中：CC为关键链上活动集合；Vari为活动i工期的方差。

以同样方法，可计算出非关键链上输入缓冲区大小，计算方法如式(15)所示。

(15)

式中：FBk为第k条非关键链上输入缓冲大小；NCCk为第k条非关键链上活动集合。

由于输入缓冲FBk能有效吸收第k条非关键链上活动的不确定性工期风险，消除非关键链上活动延迟对项目总工期的影响。因此，可由式(16)计算出项目计划的总工期T。

(16)

相比传统的缓冲区大小计算方法，文中方法不仅优化了物理资源约束系数的度量方法，同时还考虑了信息流交互对缓冲区大小造成的影响，更符合项目实际情况。基于此制定的项目基准调度计划工期更短，整体完工率也更高，具有一定的科学适用性。

4 算例分析

4.1 算例介绍

本节选取一段有19个活动的隧道施工项目(为方便计算，已对案例做过无量纲化处理)，以验证前文提出的缓冲区大小计算方法的有效性。项目具体信息如表1所示。

表1 项目各活动信息

4.2 缓冲区大小计算

步骤一，可运用头脑风暴法、文件评审法和德尔菲法等方法，得到项目关键链上活动的信息流交互情况，具体情况如图4示。

图4 活动信息流交互

表2 资源风险相关系数计算结果

图5 项目网络图

图6 活动重叠率和活动距离比计算结果

4.3 实验结果分析

Fallah等[15]研究表明，项目活动随机工期服从X～ln(μ,σ)的对数正态分布，其中μ为项目活动的工期，σ取值见表3。由于本项目经评估处于中低风险，故本文σ取值在(0.1,0.3)随机产生。为体现文中方法在更高风险环境下的优越性，特增设一对比组，对比组σ取值在(0.1,0.5)随机产生。

表3 σ取值

采用Matlab软件进行仿真，仿真结果运行500次。然后将文中方法计算得出的项目缓冲区PB大小与C&PM和RSEM比较；将文中方法的项目实际持续时间，缓冲消耗比例和按时完工率与RSEM进行比较。结果见表4和图7，8。对比组仿真结果见表5。

表4 仿真模拟结果σ∈(0.1，0.3)

表5 对比组仿真模拟结果σ∈(0.1，0.5)

图7 缓冲区大小和缓冲消耗比例对比

分析表4和图7数据可知，文中方法确定的缓冲区尺寸小于C&PM，但大于RSEM。同时，文中方法得到的项目持续时间小于RSEM项目持续时间。究其原因，主要有几点：(1)C&PM将活动工期的一半作为项目缓冲，未考虑活动的数量，这将导致缓冲区大小随活动的数量呈线性增加，从而产生过度保护。其次，RSEM假设活动的工期服从中心极限定理，彼此相互独立，而事实上项目活动的工期并不独立。最后，文中方法将活动工期的方差作为活动的安全时间，并根据项目活动风险的不同对项目缓冲区大小进行调整。项目缓冲区大小随风险变化而变化，更符合项目实际情况。

分析表4和图8中数据可知，文中方法和RSEM得到的项目平均持续时间分别为138.05和146.21，即文中方法所得的平均持续时间与RSEM法所得的平均持续时间相比缩短了5.6%。此外，文中方法的项目按时完工率为95.8%，远大于RSEM的87%。从分析结果可以得出，文中方法不仅能缩短项目持续时间(项目工期)，还极大地提高了项目按时完工率。

图8 项目实际持续时间对比

分析表4，5中数据可知 ，当项目处于中低风险时(σ∈(0.1，0.3))，文中方法相较于RSEM缩短了5.6%的平均持续时间和提高8.8%的按时完工率；而当项目风险增加时(σ∈(0.1，0.5))，文中方法相较于RSEM缩短了6.5%的平均持续时间和提高13%的按时完工率，并且能保证按时完工率在94%以上。从分析结果可以得出，文中方法在较高风险，项目管理效果提升更为突出。

分析图9中数据可知，文中方法的项目持续时间频率分布主要集中在125～160之间，占总仿真次数的90.7%。另外，项目持续时间的累计频率曲线在该区间内极其陡峭，表明仿真模拟得到的项目持续时间更为稳定和集中，说明文中方法设置的缓冲能有效吸收项目的不确定性，提高项目的按时完工率。

图9 项目持续时间频率分布直方图和累计频率

5 结 语

随着现代项目规模越来越大，结构越来越复杂以及市场竞争的白炙化，项目资源(物理资源和信息资源)对项目进度起着决定性影响。针对这一现状，本文从综合资源约束角度提出一种缓冲区大小计算方法。该方法引入分段模糊函数来量化物理资源对项目进度的影响；在信息资源方面，采用DSM矩阵描述信息流交互情况，据此计算信息资源约束系数，并对其进行修正。最后，综合物理资源约束和修正的信息资源约束提出一种基于综合资源约束的缓冲区大小计算方法。该方法克服了剪切粘贴法和根方差法的不足，能够有效降低资源冲突对项目进度的影响，更符合项目实际。通过实例仿真结果表明，基于文中方法设置的项目基准调度计划能够有效缩短项目工期和提高项目整体完工率；并且这一提升效果在较高风险环境中更为突出。