高等代数与解析几何的穿插与渗透教学

董可荣，沙旭东

高等代数与解析几何的穿插与渗透教学

董可荣，沙旭东

（淄博师范高等专科学校 数理科学系，山东 淄博 255130）

高等代数与解析几何是理工科类与师范类高校必学科目，在数学知识的发展进程上二者相互完善共同推进．研究了当二者合并为一门课程时的内容编排问题，从几何向量的坐标表示法是沟通代数与几何的关键，线性方程组解的结构体现了几何中的平面关系，解析几何中旋转坐标变换是矩阵代数中线性变换在几何中的应用，数量积等向量乘法的运算是行列式在几何中的应用，几何空间中平面与直线的关系是代数中线性空间与子空间结构的几何体现等方面阐述了高等代数与解析几何知识间的相互穿插与渗透，探讨了如何在保持代数与几何相对完整的情况下使得2部分内容融会贯通．

高等代数；解析几何；穿插；渗透

高等代数与解析几何是理工科类与师范类高校必学科目，是一门基础性课程．高等代数与解析几何是不可分割的[1]．不管是作为2门课程还是合为一科，都能看出它们的重要性，二者又有着必然的联系，解析几何本就是用代数的方法来研究几何问题，甚至用代数的思想来解决问题，因为解析几何的方法和结果的实质都是代数[2]．而高等代数的理论往往有着它的几何意义．在数学知识的发展进程上二者也是相互完善共同推进．当二者合并为一门课程时，存在内容的编排顺序问题，以及师生在教学时如何融会贯通形成一个完整体系的问题．纵观解析几何的内容，其在很大程度上依赖于高等代数的发展，如在关于直线和平面的理论里，不管是形式还是内容，大多利用了线性代数中行列式等工具．所以应该在学习了一定的线性代数内容作为基础之后，再来学习解析几何知识，因而解析几何应编排在行列式与矩阵之后．再者，代数中线性方程组解的结构与几何中线面关系相联系，并且线性空间中线性相关性等诸问题又基于向量等几何问题之上，所以解析几何最好排在线性方程组与线性空间之前．这样，二者的编排顺序为：多项式——行列式——矩阵——空间解析几何——线性方程组——线性空间——线性变换——二次型．编排顺序确定后，就是如何在保持代数与几何相对完整的情况下使得2部分内容融会贯通．经验梳理一下高等代数与解析几何合二为一教学时的穿插与渗透．

1 几何向量的坐标表示法是沟通代数与几何的关键

在这里可以用坐标代替向量讨论问题，于是向量之间的关系和向量之间的运算可以转化为它们坐标之间的关系和坐标之间的运算，因而坐标表示法是沟通代数与几何的关键．

2　线性方程组解的结构体现了几何中的平面关系

在解析几何中，点、直线和平面都可以用含有坐标的线性方程（组）表示；反过来，线性方程组解的结构又体现了几何中的点、直线与平面的关系，线性方程组这个代数概念就与几何的线或面之间建立了联系．

由此，方程组解的结构体现了平面的各种位置关系．在这里讨论解的不同情况就用到了代数的行列式知识，行列的比例关系以及向量的坐标表示，这充分地体现了代数与几何的穿插与渗透．

3　解析几何中旋转坐标变换就是矩阵代数中线性变换在几何中的应用

矩阵是高等代数的一个重要概念，它的内容自成体系，更是研究几何的重要工具．在解析几何中经常要进行坐标的旋转变换，而矩阵乘法运算的几何意义可体现在旋转坐标变换上．

解析几何中二次曲面的主轴坐标变换也与代数中二次型的矩阵线性变换相联系．

在对二次曲线或二次曲面的方程进行化简过程中，实际上很重要的一步就是将曲线或曲面的主轴通过线性变换转换到坐标轴上，也就是去掉方程中的交叉项，而将二次型化为标准形．而去掉交叉项的过程，也就是对直角坐标系进行旋转变换的过程．由此，二次型线性变换所实现的方法，正是解析几何中将一个二次曲线方程化简的过程[5]．

4　数量积等向量乘法的运算就是行列式在几何中的应用

通过对几何中的向量进行代数的坐标表示，可以让几何中的向量关系和运算转化为代数中的有序数组的线性关系和运算．这样一来，复杂的几何问题就可以简单地用代数的方法解决，而其中，行列式可解决向量的数量积、向量积等向量乘法运算问题．

5　几何空间中平面与直线的关系是代数中线性空间与子空间结构的几何体现

对于学生而言，线性空间的基与维数应该说是比较抽象难懂的，向量的线性组合与线性相关性也是较难理解的，如果把它们与几何结合起来就容易理解了．在三维空间里，基就是坐标系中坐标轴的几何体现，维数又称维度（dimension），指的是坐标系中坐标中的数量．任意3个不在同一平面的向量就组成线性空间的一组基，也就构成一个仿射坐标系，这样的3个向量是线性无关的，因而是不共面的，分别构成仿射坐标系的3个坐标轴，并且线性空间里的任意一个向量都可以由它们线性表示．

同时，三维空间中的平面和其相交直线也可以帮助学生理解子空间的交、子空间的和与直和等概念，可以从几何角度更好地理解代数的抽象概念．

6　结语

线性空间是解析几何的灵魂[7]，是几何学特别是解析几何学的推广与升华．解析几何为抽象的线性空间提供了一个具体、生动的模型．解析几何中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分[8]．在此，几何代数化，代数几何化，二者相互穿插渗透，融会贯通，形成完整的理论体系，从而也使二者在教学过程中变得不再特别抽象难懂，更有利于教学．

[1] 曹卿骅，侯雪炯．关于高等代数与解析几何教材合并的几点体会[J]．玉溪师范学院学报，2001（17）：216

[2] 克莱因M．古今数学思想（三）[M]．万伟勋，石生明，孙树本，等，译．上海：上海科学技术出版社，2002：245

[3] 同济大学数学系．高等数学（下册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：1

[4] 同济大学数学系．高等代数与解析几何[M]．2版．北京：高等教育出版社，2016：43

[5] 亚历山大洛夫A D．数学——它的内容，方法和意义[M]．北京：科学出版社，2005：84-85

[6] 蓝以中．高等代数简明教程（上册）[M]．2版．北京：北京大学出版社，2002：147-150

[7] 孟道骥．高等代数与解析几何（上册）[M]．2版．北京：科学出版社，2007：143

[8] 张顺燕．数学的源与流[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：179

Interpenetrating and penetrating teaching of higher algebra and analytic geometry

DONG Kerong，SHA Xudong

（Department of Mathematics and Physics Sciences，Zibo Normal College，Zibo 255130，China）

Higher algebra and analytic geometry are required subjects of science and engineering and normal universities，and in the process of the development of mathematical knowledge，they improve each other and promote together．The problem of content arrangement was studied when the two are combined into one course．The interpenetration and penetration between higher algebra and analytic geometry are expounded from some aspects that the coordinate representation of geometric vectors is the key to the communication between algebra and geometry，the structure of the solution of the system of linear equations represents the plane relationship in geometry，rotation coordinate transformation in analytic geometry is the application of linear transformation in matrix algebra in geometry，the operation of scalar product equal vector multiplication is the application of determinant in geometry，the relationship between plane and line in geometric space is the geometric representation of the structure of linear space and subspace in algebra，and so on．It was discussed that how to make the two parts connected while keeping the relative integrity of algebra and geometry.

advanced algebra；analytic geometry；intersperse；penetrate

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.020

1007-9831（2020）11-0101-05

2020-04-12

董可荣（1970-），女，山东淄博人，副教授，硕士，从事数学教学研究．E-mail：sfdkr@163.com