数形结合思想在高等数学教学中的应用

李伟勋，王丹

数形结合思想在高等数学教学中的应用

李伟勋，王丹

（天津职业技术师范大学 理学院，天津 300222）

针对高等数学抽象性的特点，提出采用数形结合的思想方法进行高等数学教学．结合具体实例，分别从定义理解、定理证明和计算过程等方面阐述数形结合思想方法在高等数学学习时的优越性．数形结合思想的应用，使得教育教学过程更加形象化、清晰化、具体化，在提高学生积极性的同时，加深了他们对高等数学理论知识的认识和理解．

高等数学；数形结合；几何意义

人类正处在一个深刻变革与迅速发展的新时期，科学技术发展日新月异，互联网信息、移动机器人等发展十分迅速，科技的发展，实际是数学的发展，大数据、云计算、深度学习等其理论基础还是数学，所以数学对整个人类的发展起到了举足轻重的作用．因此，作为新世纪的大学生更要学好数学课程．高等数学是大学本科理工类学生必修的一门主要基础课，也是学习后续相关数学课程和专业课的重要工具．它对培养学生严谨的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力等都是至关重要的，也是其它课程无法替代的．然而，在教学的过程中却遇到了不少问题，如学生普遍感觉高等数学太难、太抽象，不易理解．如何让学生对高等数学产生兴趣，从被动接受到主动思考探索，更好地理解和掌握那些抽象复杂的概念和定理，对每一位教授高等数学的教师来说都是一个考验和挑战[1]．

众所周知，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即所谓的“数”和“形”[2]．纵观高等数学教材的各章节，可以发现几何问题对高等数学的学习有着一定程度的指导意义．从极限、连续到导数、微分、积分等出现数形结合的实例不胜枚举．如通过古代数学家刘徽“割圆法”求圆的面积这一方法，对极限理论进行归纳，从而引出数列极限和函数极限等相关概念；通过引入切线斜率对导数进行阐释，进而引出函数诸如凹凸性和单调性的一些性质；通过借助于曲边梯形的面积对定积分的定义进行概括等[3]．

本文考虑采用数形结合的方法，将抽象的数学概念和定理具体化、形象化，使得数学课堂更加生动，在提高学生积极性的同时，加深了他们对高等数学中理论知识的认识和理解．

1　数形结合思想方法的概述

数与形作为数学领域的2大研究对象，它们就如同抽象思维和形象思维的“敲门砖”．数，顾名思义就是指比较对象之间的数量关系；形，是指事物在几何空间的表现形式．数与形之间的关系是相辅相成的，亦是辩证统一的[4]．数形结合是指把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，使得原本复杂、深奥的数学问题简单化，使得抽象、晦涩的数学问题形象化，从而达到某种程度上的优化．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．由此可窥见数形结合的重要性．

数与形作为一个事物的2种不同属性，在某些特定条件下可以相互转化．数形结合常用的有2种情况，即以数化形和以形变数．以数化形是指利用已经掌握的平面几何、立体几何等知识结合数量关系对函数图形进行描绘．如给出一个函数关系式，可以应用导数来研究它的单调性、极值与最值、凹凸性等，由此可以较为精确地描述出函数的图形．以形变数是指根据对题目中给出的题干和图形等信息量的把握，将图形的代数形式表达出来．如学习定积分及其应用时，用定积分表示给出平面图形面积的题目，它是常规应用定积分的定义解题的逆应用．

2　高等数学教学中数形结合思想的应用

根据高等数学抽象性的特点，考虑从定义的理解、定理的证明以及计算过程的简便性等方面阐述高等数学教学中数形结合思想的应用．

2.1　定义理解的形象化

极限概念是高等数学中最基本、最重要的概念，它是整个微积分理论的基础，也是最抽象和难以掌握的几个概念之一．在教学过程中，可以从数形结合角度来理解相关定义．

图1　数列极限的几何解释

2.1.2函数极限函数的极限概念为[6]225：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就称为在这一变化中函数的极限．

关于极限的定义和微分的定义都是较为抽象和难以理解的知识点，但是通过３个图形，学生能够较直观地理解和掌握这些抽象的概念，充分说明数形结合对于定义的理解能够起到很大帮助作用．另外，对于函数的单调性和曲线的凹凸性判别，函数的极值、最值等，都可以借助几何图像的直观性帮助学生理解相关内容．

图2　函数在某点极限的几何解释

图3　微分的几何意义

2.2　定理证明的清晰化

微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，简称微分中值三定理，是高等数学中重要的几个定理．以拉格朗日中值定理的证明过程为例，论述几何直观有助定理证明的清晰化[6]225．

图4 罗尔定理

图5　拉格朗日中值定理

2.3　计算过程的简便化

定积分的计算是高等数学的一个重要知识点．针对定积分的计算方法有定义法、牛顿-莱布尼兹公式、分部积分法和换元积分法等．对于特殊的填空题、选择题这类的小题，可以选择利用定积分的几何意义法简化计算过程，从而达到事半功倍的效果[8]．

图6 曲边梯形的面积

图7　利用定积分的几何意义解题

3　结语

高等数学是初等数学的延伸和扩展，所学知识也更加复杂和抽象．高等数学的学习不仅是掌握概念定理公式，更重要的是培养一种抽象思维和严密推理问题的能力，即学生通过借助几何模型对抽象的概念或定理进行更直观化的认识和理解[10]．另外，数形结合一直以来是数学教学中一个很直观、很简便的方法和工具．本文分别就数形在高等数学教学中的定义理解、定理证明及其简便计算等方面的具体应用做了相应的说明和描述，从而使得解决问题更加直观、清晰和简便．综上所述，教师在教学过程中可以多加运用数形结合方法进行教学．但是，鉴于数学是一门严谨性比较强的学科，许多定理的证明仍需要严密的证明过程，故提倡将数形结合作为高等数学教学中的辅助教学工具．

[1] 刘莉．数形结合法在高等数学教学中的应用研究[J]．辽宁师专学报：自然科学版，2016，18（4）：12-16

[2] 陈国蕤．基于问题的视角分析教材——以北师大版“有理数的乘法”为例[J]．数学教学研究，2012，31（8）：63-65

[3] 朱殿利．数形结合法在高等数学中的应用再探析[J]．岱宗学刊，1998（4）：23-25

[4] 方倩珊．“数”“形”结合思想在高等数学中的应用[J]．高等数学研究，2017，20（6）：54-57

[5] 郭金萍，邢佳．高等应用数学[M]．4版．天津：天津大学出版社，2012

[6] 杨莉．浅谈数形结合在高等数学教学中的应用[J]．教育实践，2020（2）：225

[7] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014

[8] 王艳红．数形结合在数学解题中的应用分析[J]．数学学习与研究，2014（15）：88

[9] 鲍培文．例析数形结合思想在高等数学教学中的应用[J]．当代教育理论与实践，2012，4（10）：74-77

[10] 朱光军，王中兴，袁功林．浅谈数学概念定理的几何意义在高等数学教学中的应用[J]．广西大学学报：哲学社会科学版，2009，31（Z1）：128-130

The application of the combination of number and shape in higher mathematics teaching

LI Weixun，WANG Dan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the abstract characteristics of higher mathematics，the idea of combination of number and shape in higher mathematics teaching was puts forward. Combined with specific examples，the advantages of the combination of number and shape in higher mathematics learning are expounded from the aspects of definition understanding，theorem proving and calculation process．The application of the thought makes the teaching process more visualized，clearer and more specific，at the same time of improving students′ enthusiasm，it also deepens their understanding of theoretical knowledge in higher mathematics．

higher mathematics；combination of number and shape；geometric meaning

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.018

1007-9831（2020）11-0094-04

2020-06-07

国家自然科学基金项目（61703307，11526155）

李伟勋（1984-），男，江西南昌人，讲师，博士，从事多智能体系统研究．E-mail：lwxjxtj@163.com