基于Crank-Nicolson差分与Newton迭代法的非线性热传导方程数值解法

高忠社

基于Crank-Nicolson差分与Newton迭代法的非线性热传导方程数值解法

高忠社

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

非线性热传导方程；隐式Euler差分法；Crank-Nicolson差分格式；Newton迭代法

1　非线性热传导方程

文献[1-3]给出了一般形式的非线性热传导方程及数值解法．非线性热传导方程为

对方程（1）进行化简，可得到

其中，边值条件（3）是在区间两端关于时间的温度分布函数，初始条件（4）表示在初始时刻的温度分布情况．本文对方程（1）在时间方向上使用隐式EULER 差分格式，空间方向上使用Crank-Nicolson差分格式，对于离散化后的代数方程组，使用NEWTON迭代法进行求解．

2　时间方向的隐式Euler方法离散

对于方程（4），在时间方向上利用隐式EULER方法离散化，得到

则式（6）变为

边值条件离散为

3　空间方向的Crank-Nicolson差分格式方法离散

对于式（8）的二阶导数使用二阶中心差分算子，得到

设

其中

根据式（11）（14），有

4 差分格式的误差分析

根据文献[8-10]，对于差分格式进行误差分析，由式（7）（13）（16）可知

对于式（18）中各项使用Taylor级数展开，则有

将式（19）（20）（21）代入式（18），整理化简可得截断误差为

5　非线性方程的牛顿迭代法求解

记方程（23）为

综上分析，可得Jacobian矩阵的元素为

6　数例分析

初始温度分布满足

图1　导热参数时的热传导三维图形和对平面图形

图2　导热参数时的热传导三维图形和对平面图形

图3　导热参数时的热传导三维图形和对平面图形

由图1~3可以看出，热量在原点处具有最高温度分布，随着时间、空间方向的变化温度降低，符合热传导规律，说明本文所给的数值方法是合理、有效的，同时也说明该方法具有一定的实用性与可行性．

热传导方程的数值解法是抛物型方程求解的典型方法，同时热传导问题也被广泛应用于多个科学工程领域．针对非线性热传导方程，本文在时间方向上使用隐式Euler 差分格式，空间方向上使用Crank-Nicolso格式对方程进行离散化，离散化后的代数方程组使用Newton迭代法进行求解，最后通过数值算例分析讨论，说明该方法具有一定的实用性和有效性．

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Numerical solution of nonlinear heat conduction equation based on Crank-Nicolson difference and Newton iterative method

GAO Zhongshe

（School of Mathematics and Statics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，China）

nonlinear heat conduction equation；implicit Euler difference method；Crank-Nicolson difference method；Newton iterative method

O241.82

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.003

1007-9831（2020）11-0009-05

2020-06-01

国家自然科学基金项目（11561060）；甘肃省数学省级重点学科建设项目（甘学位[2018]15号）；甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度项目（GS[2020]GHB4815，GS[2020] GHB4825）；天水师范学院科研基金项目（CXT2019-36）

高忠社（1979-），男，甘肃宁县人，副教授，硕士，从事小波分析及微分方程数值解研究．E-mail：gaozhongshe@126.com