高中数学解题中整合数形结合思想的实践尝试

摘要：在高中数学解题中，数形结合思想是一种十分重要的方法，不仅实用性强，还能培养学生的灵活思维，帮助学生消化知识。所以在数学解题中掌握数形结合的思想尤为重要，能够降低解题难度，缓解学习压力。本文将针对高中数学课本中的经典问题，提出数形结合思想的实践尝试，以帮助学生更好地理解运用此方法。

关键词：高中数学解题;整合数形结合思想;实践尝试

中图分类号：A 文献标识码：A

引言

高考考纲指出“数学科的命题在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查”，且在高考数学试题中大约57%的题型都涵括数形结合思想，学生用好数形结合思想方法，在解题时先想图、画图后再解题，可以达到事半功倍的效果。

一、高中数学解题中整合数形结合思想的内涵

在高中数学里，整合数形结合表现为把数或数量的关系与图形对应起来，借助几何来研究代数关系或者利用代数关系来研究几何的性质，可以使抽象思维和形象思维结合起来，化繁为简，化隐为显。“数缺形时不直观，形少数时难定量”，把握数学问题的本质，可以让很多问题迎刃而解，提高学生的解題效率。

二、高中数学解题中整合数形结合思想的实践尝试

（1）学生应牢固掌握数学基础概念

例如，数与数轴、函数与图像等。数的定义是数域里的某一个值，换成几何的思维就是：在一条能够表示数域的轴上（即数轴），一个数对应一个点。而从几何来想代数就是：这条轴上所有点一一对应着数域里所有的数。函数的定义是含有未知数的一种对应关系，换成几何的思维就是：在某一个运动面上，由满足函数表达式的所有点形成的图案;而从几何来想代数就是：固定正交坐标轴后图像上每一点的横纵坐标都对应着满足函数表达式的一对数值。

（2）教师应引导学生理解数形结合的思想

教师要通过积极的方式让学生感受到利用数形结合思想对数学知识辅助掌握的优势，从而在学习过程中更多地使用此方法。例如，在学习集合时，教师应先让学生自己想出一个图形或空间办法来表示集合的包和并，然后教师展示韦恩图这个方法，多使用例题让学生牢记方法的使用和理解，从而帮助学生建立数形结合思想解题容易且准确的想法。再比如，以形解数问题的时候，选取典例“蚂蚁路线”。在做题之前先引导学生画出长方体的展开方式，标出长宽高，然后提出路线问题，直接利用展开图快捷地解出最短路径问题，把抽象的空间问题转为简单的平面问题，这也是数形结合思想的另一个优点。

（3）让学生熟练掌握数形结合方法的应用

技巧一：有效转化图形与代数

在高中数学应试题目中，除去单纯的代数计算，所有题目均可以使用数形结合思想，但不是所有题目使用此方法都会变得简单直接，因此准确的推理与正确的图形相互对照才能实现数形结合提高效率的有效性。

例题1 当 0<x<1时，x^2，x，1/x之间的大小关系如何？

本题定义域为（0，1），三个函数分别为y=x^2，y=x，y=1/x，则可以在坐标轴xOy中做出这三个函数的图像，放大 0<x<1处的图像，比较曲线的高低。因为x的定义域已知，则可以在（0，1）内取一数1/2，则x^2=1/4，x=1/2，1/x=2，显然1/x>x>x^2，大小关系可以得出。

对比这两种方法，我们可以看出实际上只做代数的运算会更简单，画函数图像反而会影响加大分析过程难度和影响结果得出。因此，是否选择数形结合的思想来解题这一判断非常重要。

例题2 利用函数图像求不等式解集 2x-6>3x-1

对于本题，分别作直线y=2x-6（红色）与直线y=3x-1（黑色），它们相交于（-5，-17），所以当x<-5时，2x-6>3x-1，得出结果。然后我们再用代数的思想来验证这一结果，取x=-6，验算出2×（-6）-6>3×（-6）-1，即（-18）>（-19），不等式成立。

通过此题可以看出，数与形在解题过程中相互对照，这样提高了正确率，使数形结合思想的应用变得更加高效。

技巧二：不局限于给出的图像，善用辅助线构造新图形来解决   代数要求（此技巧多用于解三角形一类题目）

例题3 如图，已知在三角形ABC内，角BAC为60°，角C为40°，P，     Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是角BAC，角ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP。

已知两个角的度数，通过简单的计算我们可以得出三角形BCQ为等腰三角形。因此求证的BQ+AQ可以转化为AQ+CQ=AC，且AC如何=AB+BP的问题，很容易联想到应在AC上截取AD=AB，转而证明BP如何等于CD的问题。此后再证出CD=DP=BP即可解决题目所求。

通过此题可以看出，仅仅依靠所给的图形来解决三角形的长度问题还不够，因此在解三角形题目里常用到辅助线，而辅助线里常用的角平分线、中位线、等长线、取半线均有特殊的数量关系。利用这些特殊的线得出角度、长度的信息从而解出完整的三角形图案。这是以数助形，以形解数的最普遍利用，学生应牢牢掌握此技巧，在解决空间立体几何问题时才能游刃有余。

技巧三：在平时的学习解题过程中要多加练习，构建自己的数形结合联想思维，碰到相似题型可以更快捷的直接应用已得出的结论迅速写出答案。

例题4 若当P（m，n）为圆x^2+（y-1）^2=1上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c的取值范围是多少？

由m+n+c≥0，可以看作是点P（m，n）在直线x+y+c=0的右侧，而点P（m，n）在圆x^2+（y-1）^2=1上，实质上相当于是x^2+（y-1）^2=1在直线的右侧并与直线相离或相切。则可以利用直线与圆的距离公式求出c的取值范围。但当学生学会了使用三角换元方法：不等式m+n+c≥0恒成立等价于c≥-m-n，由题意，令m=cost，n=sint+1。所以经过代换可求等式-m-n=-cost-sint-1=-√2×sin（t+pi/4）-1的最大值为√2-1，则c≥√2-1。此方法更加的简单便捷。

通过这道题可以看到，熟悉一种解题方法，在经过数形的准确分析后，遇到同类型的题快捷地使用代换即可求解，这是一种比较更为高级的技巧。

三、结束语

综上所述，高中数学解题中整合数形结合思想可以开拓学生的解题思维，提高学习效率，对学生来说有着重要的价值。希望通过本文的实践尝试，学生能不断提升做题思路，总结出技巧和规律，真正地将数形结合思想贯彻到高中数学学习中去。

参考文献

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[3]张晓君. 探析高中数学解题中数形结合思想的应用[A]. 教育部基础教育课程改革研究中心.2021年课堂教学教育改革专题研讨会论文集[C].教育部基础教育课程改革研究中心：教育部基础教育课程改革研究中心，2021：2.

[4]陈宏科.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用方法研究[J].考试周刊，2021（39）：53-54.

作者简介：冯波（1989年-）男 重庆市 大学本科 中级职称 研究方向：高中数学 工作单位：重庆市江津第八中学校