知识建构 方法迁移 思想整合*——以《二次函数图象的应用》为例谈深度教学

□高 琼

（浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学，浙江杭州 310021）

伴随信息时代的步伐，深度学习的话题应运而生.同时，从单一关注学生的深度学习，逐步走向关注教师的深度学习以及深度教学.只有将学生引向“深度学习”的“深度教学”，才是基于核心素养的教学观点[1].数学的深度教学围绕着知识建构、方法迁移和思想整合所形成的最新研究框架，受到广大数学教育者和研究者的重视，由此引起对数学核心素养、数学高阶思维广泛关联.本文以《二次函数图象的应用》为例，从知识建构、方法迁移、思想整合等三个维度，展开对数学深度教学的研讨.

一、把握核心目标的高度 完善数学知识建构

（一）数学核心素养——关联与化归

把握数学教学核心目标的高度，尤其需要把握数学核心素养.而在初中数学核心素养方面，其实归根结底就是关联与化归[2]. 中学生数学能力的体现不仅取决于学生的基础知识和基本技能，也取决于对数学思想的理解、掌握和方法的熟练运用，更取决于学生在思维上是否具有化归迁移能力.因此在教学中需要强化学生的关联意识，引导学生对知识点进行化归整合，从而提升学生的思维水平.

教育心理学家约翰·比格斯在其SOLO 分类理论中指出，学生对某个问题的学习结果由低到高可以划分为五个层次：前结构、单元结构、多元结构、关联结构、抽象拓展结构.这五个层次可以准确把握学生由低到高的知识水平和思维层次，而数学深度教学则需要引导学生达成数学知识的关联和抽象拓展建构.其抽象拓展建构，主要也就是数学化归的结果.例如，在《二次函数图象的应用》的教学中，将一元二次方程的求解问题转化为二次函数图象与一条平行于x轴的直线的交点问题，其中也包含方程与函数及其图象的关联.具体如教学片段1所示.

【教学片段1】

师：给定x的值可以求y的值，那反过来给定y的值也能求x的值.比如y=5，就得到了这么一个方程：x2-2x-5=5.那么，我们接下来可以如何快速判断这个方程有几个解呢？

生1：可以把这个方程解的个数看成是y=x2-2x-5与直线y=5两个函数交点个数.

师：方程的解体现着函数图象上的点，方程的解是函数交点的横坐标.那y=4，y=3呢？

生2：两个相等的解，和无解.

师：那改成y=k有解，问k的取值范围呢？

生3：可以把这个方程解的个数看成是y=ax2+bx+c与直线y=k两个函数有交点.

师板书：有解→有交点，并播放动画：一条红线从上运动到下，从而引导学生观察并思考什么时候有交点，即可求出k的范围.

师：方程有两个不相等的实数根对应函数有两个交点；方程有两个相等的实数根对应函数有一个交点；方程有实数根对应函数有交点；方程无实数根对应函数没有交点.

（二）认知结构决定认知水平

教师计划引导学生达成的认知结构，决定了学生最后所能达到的认知水平.结合SOLO分类理论而言，教师计划引导学生达成如果仅仅只是多元结构，而非关联和抽象拓展结构，那么学生群体所达到的总体认知水平则是比较浅层次的.例如，在《二次函数图象的应用》教学中，将函数图象与方程、不等式等做了紧密关联.具体而言，就像教学片段1 中所呈现的，将方程根的问题关联到函数图象上的点问题，将方程有无解的问题关联到不等式问题上.教师这样引导学生进行转化迁移，发展学生关联化归的认知结构，学生的认知水平就能达到较高的水平.

二、注重教学内容的广度 形成数学方法的关联

（一）方法是数学教学内容三大组成之一

数学教学内容包含数学知识、数学方法和数学能力，注重教学内容的广度也需要注重数学方法的广度.数学方法是以教学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法.数学方法有一般方法和特殊方法.一般方法有图象法、比较法、归纳法等；而特殊方法有待定系数法、配方法、消元法等.在《二次函数图象的应用》教学片段1中，图象法这一数学一般方法已经有了较好的体现.而待定系数法这一数学特殊方法则体现在如下教学片段2中.

【教学片段2】

教师呈现如下二次函数图象问题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三点.求解析式.

师：这个问题比较简单，该如何求解呢？

生4：用待定系数法求解.

师：对.那还有其他什么方法呢？

生5：用顶点式求解，根据B（2，3），C（0，3）两点坐标关系，确定了对称轴是直线x=1.将原一般式设成顶点式y=a（x-1）2+k（a≠0），再把A（-1，0），B（2，3）代入，列出二元一次方程组求出a，k，从而求出解析式.

师：很好.那还有其他什么方法吗？

生6：结合对称轴直线x=1，求出与x轴的另一个交点（3，0），于是将原一般式设成交点式y=a（x+1）（x-3）（a≠0），再代入C（0，3），直接列出的一元一次方程求出a，从而求出解析式.

（二）数学一般方法与特殊方法的相互关联

数学一般方法与特殊方法的相互关联，在某些数学问题解决中能够起到事半功倍的效果，同时也能优化学生对于数学方法的认知结构，并提高学生对于数学方法的认知水平.例如，在《二次函数图象的应用》教学片段2 中，三个学生其实都是用待定系数法求解目标解析式，而且第二和第三个学生，还关联到二次函数顶点式和交点式这两个图象特征解析式，做了待定系数法这一数学特殊方法与图象法这一数学一般方法的关联.对解决这个特殊的二次函数解析式问题来说，一定程度上得到事半功倍的效果，也加深了对于二次函数图象特征解析式的理解和应用.

三、提升数学思维的阶层 达成数学思想整合

数学方法是数学思想实施的手段，数学思想是数学思维的导向，这三者之间有区别也有联系.数学教育的核心是数学思维，途径是数学思维活动及数学思想整合，主体是学生[3]．一堂有深度的数学课，教师应引导学生对知识的认识逐渐从模糊走向清晰，从片面走向全面，从肤浅走向深刻，最终实现从思维水平、思维形式、思维品质等不同维度来发展学生的高阶思维[4].

（一）数学思维是数学思想的具体化

转化数学思想，是学生转化数学思维养成的导向，但其实施手段却有很多种表现方式.例如，在《二次函数图象的应用》教学片段3中，追问如果点P的坐标改为（0.5，y1），此时两点在对称轴的异侧，y1与y2的大小又怎样呢？绝大多数学生几乎异口同声地说做对称点，这样就转化为同侧点的大小比较问题.其中，将异侧两点比较问题转化为同侧两点比较问题这一数学思想，是培养学生转化数学思维的导向.而学生能够将异侧两点转化为同侧两点的数学思维，则是转化数学思想的具体化.

【教学片段3】

教师呈现如下二次函数图象问题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（-1，0），B（2，3），C（0，3）三点.若P（0.5，y1）和Q（2，y2）在抛物线上，比较y1和y2.

生：对称点.

师：比较到对称轴的距离用到二次函数的什么性质？

生：二次函数的轴对称性.

师：那把P点关于对称轴对称过来是哪个点？

生：1.5，y1.

动画：左边的点移到右边.

师：那又回到我们刚才的那题，利用对称性，将异侧的两个点转化为同侧的两个点，就可以比较大小.

（二）数学思想引领高阶思维发展

数学思想引领高阶思维发展，主要是以转化等数学思想为基准，不断突破学生思维的固态，从而引领高阶思维的发展.例如，在《二次函数图象的应用》教学片段3 之后，教师还抛出这样进一步的问题：若点P（m，y1），Q（2，y2）在抛物线上且有y1＞y2，求m的取值范围.这进一步引导学生进行思考.有学生提出，由于点Q的横坐标确定，所以Q点的纵坐标是固定的，表面上看有两个点，其实本质就是一个动点，y1＞y2的问题就转化为前面的y＞0的问题.

（三）所有数学思想归根结底就是化归思想

二次函数图象的应用离不开数形结合思想、方程思想、转化思想等，但这些思想其本质都是化归思想，在深度教学中，只要找到知识点和方法的关联后，随即化归，整合就成为数学思想方法教学的核心内容.

综上，深度教学需要从知识建构、方法迁移、思想整合三个维度来把握核心目标的高度、注重教学内容的广度、提升数学思维的阶层，从而更好地引导学生进行深度学习.