概念教学中“数形结合”之功效

江苏省太仓市经贸小学 叶 慧

《数学课程标准（2011 版）》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。可见，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。下面结合两个教学片段说说数形结合在概念教学中的重要作用。

【片段一】

在三年级“认识小数”一课中，教师给每个学生提供了一张正方形纸，课上请每个学生动手折一折、画一画，用这张正方形纸来表示1 元，在正方形纸中折一折、分一分，然后涂色表示1 角。课上学生主要呈现了两种比较常见的分法：①竖着平均分成10 份；②竖着平均分成5 份，再横着平均分成2 份。有一个学生呈现了第三种不同的分法（如图1），他认为自己的作品也表示1 角。教师引导学生来比较这三种分法，让学生充分讨论。因为直观，所以学生讨论起来非常热烈。

通过交流评价，学生马上发现了图1 的问题：虽然涂色是表示1 份，但是整张纸没有平均分成10 份，所以每一份就不是1 角。完成图1 作品的学生及时改正了自己的想法。在大家交流的过程中，学生对0.1 元的认识更加深刻，认识到1 元的十分之一是1 角，所以1 角是0.1 元。

利用正方形继续了几个小数的认识后，教师课件演示慢慢将正方形抽象成直条，用长度单位之间的关系进一步加深对一位小数意义的认识，最后进一步将直条抽象成数轴上对应的点，很好地抽象出一位小数的属性。

【片段二】

在五年级“分数意义”一课中，任课教师对教材后面的练习题进行了重新设计和开发利用，在新授环节设计了“分数墙”（如图2）这一情境，帮助学生理解感受单位“1”及分数单位在认识分数中的重要意义。

教师通过课件演示，要找大小相等的分数。在探究的过程中，学生借助直观自主发现了分数中的很多知识，如：分数单位不同，但是只要表示的涂色部分长度相等，分数大小就相等，例如二分之一和四分之二；分数的分母是几，分数单位就是几分之一，单位“1”里面就有几个这样的分数单位，例如五分之二，分数单位是五分之一，单位“1”里面有2 个这样的分数单位……接着，教师用课件动画演示将“分数墙”中表示单位“1”的直条抽象成数轴上的0 ～1，借助“分数墙”上的涂色部分找到数轴上分数的对应位置，很好地实现了图形直观与数抽象之间的过渡。

数形结合，具体地说，就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。这两个片段中，教师都借助了形的直观，使得课堂灵动了起来，学生对抽象的数学得有趣、生动、有效。可见，借助直观逐步抽象，数形结合在小学阶段的概念教学中有着重要的作用。

一、以“数”化“形”，直观化

“数”和“形”是一种对应，有的数量比较抽象，我们难以把握，特别是小学生思维发展的基本特点是以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但是这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。“形”具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此，我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。在概念认识过程中，借助直观能够更好地帮助学生建立对概念的认识。

片段一是认识小数的第一课时。小数对于学生来说，认识形但不认识本质。教师联系学生的生活实际，让学生把一个正方形看成1 元，通过分一分、画一画来表示1 角。教师呈现了正确表示后，又展现了学生思考中的错误资源，此时，教师并不急着去下结论，而是组织学生看着三种结果展开观察交流。完成图1 的学生通过同伴的交流和直观的比较，最后有条理地表述：“因为1 元=10 角，所以应该把这个正方形平均分成10 份，1 角就是其中的一份。一定要注意平均分成十份。”在这个过程中，学生学会了思考，初步认到了一位小数与十进制的联系。

这个环节的设计，教师通过直观演示，将一个比较抽象的概念学习内容具体化，实现了对一位小数的初步感受。

片段二中，教师借助“分数墙”的直观，让学生充分感受了分数的分数单位，有几个这样的分数单位就是几分之几。在进一步的直观比较后，学生还推理出分数墙还可以继续延伸，使学生既学得了数学知识，又潜移默化地感受到了数学的极限思想，像这样不断地平均分下去，就可以得到无数个分数。整个学习过程实现了对分数意义和分数单位的正确理解。

在我们之前的学习中，借助一些实物教具，比如花片、小棒、小正方体、计数器等，也是为了帮助学生初步建立对概念特别是数的属性的认知。因此，概念教学中重视形的直观，对于思维处于直观形象阶段的小学生来说是认数的第一步，也是数学学习中一种重要的学习方式。

二、以“形”变“数”， 抽象化

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确地把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

片段一和片段二中，教师都在学生建立了丰富的直观认知后，及时地将直条抽象成数轴，再让学生根据借助直观了解到的一位小数和分数在数轴上找到相应的点，借助形象感知数，抽象出数在数轴上的位置，发展数感在此时就能显得水到渠成。学生在教师的引导下，通过直观观察、比较、归纳积累了对一位小数意义和分数意义的认识的经验，进一步把具有实际意义的数在数轴上呈现出来，体现了数学的抽象特征。

数的抽象不仅反映了数本身的特点，也是数学的学科特点，不仅是对数的深入感知，也是对数学的更深入了解。

三、“形”“数”互变， 深入化

数形结合，把抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，利于学生高效学习数学，利于数学兴趣的培养、数学思维的发展、知识运用能力的增强，使数学教学变得更有效，事半功倍。

片段一和片段二中，教师有机地将数与形相结合，为学生学习认数积累数学活动的经验。在学习一位小数意义时，学生通过分一分、涂一涂、比一比、说一说的活动，思维得到了提升，在这些数学活动中获得的学习经验，使学生在以后学习数概念时能事半功倍。通过动手操作的学习，学生是带着思考、带着方法去学习的，其学习能力定能得到提升。“分数墙”中凸显了分数单位在分数中的作用，为学生进一步学习分数的相关知识、相关实际问题打下基础，分数单位不同，但是能够找到大小相等的分数，在数轴上的同一个点能够用不同的分数来表示等，这其中还有许多值得继续探索的相关知识，如果给学生更多的时间和空间，学生一定会有更多发现，也能让学生学得更细微、深刻。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。数形结合思想方法是小学阶段的一个重要内容，这种思想方法也是学生在初高中学习空间思维的关键点，为小学教学开辟一个新天地，为学生终身学习、持续发展打下坚实基础。