深度学习：策略与思想要明暗两条线——对《鸡兔同笼》教学的再思考

【对比思考】

“鸡兔同笼”问题是我国民间流传下来的经典数学古题。它集题型的趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是实施开放式教学的好题材。此内容，三大主流版本都编入了教材，不同的教材编写了不一样的解决方法，体现了编者各自的新课程理念和不同的文本思想。人教版编排在六年级，主要是用列表法和假设法解，这两种不同思维层次的解法，蕴涵着两种不同的数学思想：列表法体现了“分类”的思想，假设法蕴涵着“逼近”的思想。苏教版也编排在六年级，呈现的是用

画图和列表法解，用画图的方法解体现了“数形结合”的思想。而北师大版编排在五年级，主要是用列表法解，并融合了“尝试、穷举和猜想”的方法，这本质就是“分类”和“逼近”的思想。

看来，不管哪个版本，这节课的核心目标都是解决问题的策略。解决“鸡兔同笼”问题的本身并不重要，它只是一个载体，编者是想借“鸡兔同笼”这一问题的解决，让学生经历解决问题的过程，掌握一些基本的解决问题的策略，感悟一些基本的数学思想方法。可是，解题策略的掌握、思想方法的渗透不能一蹴而就，它有一个渐进的过程。为策略教学提供支撑的素材又是多种多样的，载体也不宜过于单调。虽然，教学时不主张多种方法一哄而上，但这绝不是不让学生掌握教材以外的其他方法。教学时，教师可在尊重学生的基础上，引导学生充分展示、交流不同的方法，在让学生选择适合自己的方法解答的同时，感悟不同的数学思想。我想，不管教哪个版本的教材，我们都可以设“数学思想方法”为教学的暗线，让学生在策略的综合应用中，对知识背后的思想方法有所感悟、有所思考，从而为终身发展产生积极的影响和长期的效应。

【教材解读】

“鸡兔同笼”问题是北师大版五年级上册的内容，属于综合应用的范畴，是《尝试与猜测》这个专题下的一个内容。北师大版呈现了“逐一列表、跳跃列表和折中列表”三个层次的列表方法，是让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，习得列表法解决问题的一般策略，感悟“逼近”的思想。纵观以上各版本的阶梯策略，北师大版这种不教也能试的列表法，是解“鸡兔同笼”问题的基础。其他版本以假设为前提的代数法和方程法的算理也都少不了逐一列表的支撑。教学中，在学生掌握列表法的基础上，能否再充分利用这一表格资源，让学有余力的学生向代数法延伸，使深度学习更有效地发生，提升学生的核心素养呢？下面，笔者就以余金龙和吕绪婷两位教师设计的《鸡兔同笼》教学为例，谈一点再思考。

一、经历策略形成的过程——深度学习之核

解题策略的形成不能一蹴而就，是要在方法的实施中通过体验获得，是要经历一个亲身体验——抽象数学模型——解释与应用的渐进过程。“活动与体验”是深度学习的核心特征。“活动”是要以学生为主体的主动活动，“体验”是一种心理活动，是学生在活动中生发的意识和感受。因此，在解决问题的策略教学中，让学生经历策略的形成过程是深度学习必须追求的重要目标。

当然，学生的主动活动要依赖教师的引导以及教师对教学内容及学生学习过程与方式的精心设计。设计（一）中，余老师首先让学生课前通过微课学习，了解逐一列表法。这样把课堂延伸至课外，是让学生有更多的时间自主尝试，充分体验，获得用列表的策略解决简单的鸡兔同笼问题经验。然后，出示《孙子算经》原题，让学生尝试逐一，体验繁琐，激发简化需求；尝试跳跃，化繁为简，体会跳跃的优势。设计（二）中，吕老师在活动一出示了“鸡兔同笼，一共9只”的简单问题，让学生猜各有几只？通过枚举，凭借经验，整理成表。活动二回归复杂的古题，先通过逐一列表感受繁琐；再引导学生估计鸡和兔数量的可能范围，减少列举的次数，体验化繁为简；后反思优化，灵活选用合适的列表方法解决问题。另外，两位教师都重视“一个一个地试”，这样便于揭示鸡、兔只数变化引起它们腿的条数的变化规律：多1只鸡，少1只兔，减少了2条腿。掌握了这个规律，便于之后“跳跃法”“折中法”的推算，也便于学困生接受和掌握。

以上的教学，让学生反复体验用列表的策略解决问题的过程，反思活动行为，提取活动经验，逐步形成未来学习必备“猜测、尝试、调整”的策略意识和关键能力，这就是深度学习的终极目标。

二、感悟策略蕴含的思想——深度学习之魂

数学活动经验往往寓于具体、感性的数学活动中，是内隐、本质、永恒的。在数学活动经验的养成教育中，不仅要关注显性的数学知识和技能，更要关注隐性的思想和方法。深度数学学习可以通过策略的学习，帮助学生不断积累数学活动经验，感受解题的策略价值，逐步掌握数学思想方法。数学思想是丰富多彩的，数学教师应充分把握渗透原则，立足数学思想，侧重数学教学中的知识发生过程，并在“过程中”有针对性地进行数学思想“渗透”教学。

由于“鸡兔同笼”古题的数据较大，不便于学生进行探究，两位教师的设计中都将原题改编成“鸡兔同笼，有9个头，26条腿”的简单问题，都让学生经历“猜测、计算、调整”的过程，找到问题的答案。设计（一）中，余老师先通过逐一假设列表，并借助表格很快找到了正确答案，再立足假设，引导主动探究其他列表的方法。设计（二）中，吕老师此环节的教学流程与余老师差不多，更难能可贵的是吕老师在教学完三种列表方法后，引导学生提炼出“逐一列举：无遗漏、不重复；跳跃列举：减少尝试的次数；折中列举：缩小尝试的范围”的认知。改编的过程就是“化繁为简”思想的真实写照；猜测与尝试渗透着“假设”思想；三种列表，三个层次，本质都是“逼近”的思想。

以上的教学实践，教师都侧重对学生列表方法的训练，并在这一数学方法训练过程中渗透思想方法，让学生在方法的习得中感悟方法背后的思想，这些都是学生带得走、用得着的终身本领。

三、构建策略关联的结构——深度学习之本

认知心理学认为，学生的学习就是建立认知联结，形成认知结构的过程。美国教育心理学家、认知心理学家布鲁纳也说：“掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它，简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”学生以建构的方式学习结构中的知识，通过建构将学习内容本身所具有的关联和结构进行个性化的再关联、再建构，从而形成自己的知识建构。提升学生结构化的学习能力，需要教师树立结构化教学的思维，开展以整合知识为主要内容的结构化活动。

设计（一）中，余老师在探究活动三中，用课件再次展示逐一列表，让学生观察、分析，并发现用1只鸡换掉1只兔，腿的条数就会减少2条，反之用兔换掉鸡就会增加2条的规律。在此基础上，再通过比较，引导发现表格各项之间的变化规律，运用逆向思维，从表格累计增减腿数反推到：只要算出假设的总腿数与实际腿数差就能求出鸡的实际只数的方法，使“假设法”引入水到渠成。设计（二）中，吕老师是出示用逐一法列举的完整的表三，先让学生观察表中腿的条数增减2的规律后，再让学生抓住表的上下两端进行深入分析，假设全是兔和全是鸡两种情况，观察思考，列式计算。

以上的教学，都以表格为基础，让学生先发现规律，再从表中抽象出来假设法的算理，联想表格做假设。看来，假设法计算与列表法同属假设，解题思路是一致的，只是表达的方式不同而已，都有效实现了数学关系的关联建构。这种以联想、结构的方式去学习，是深度学习的重要特征，也是夯实深度学习发生之本。

四、体验策略应用的价值——深度学习之标

在数学教学中，解决问题策略的价值并不局限于获得具体问题的结论和答案，而是在于学生将习得的策略转化为学生综合实践的能力，在“迁移与应用”中体现价值。在深度学习中，“迁移和应用”是重要的学习方式而不只是对学习结果的检验方式，它强调学生对学习结果的外化。“迁移”是经验的扩展与提升，“应用”是将内化的知识外显化。

设计（一）中，余老师在“巩固应用，拓展视野”中，安排了龟鹤和乘船两个问题；设计（二）中，吕老师在“灵活运用，拓展提高”中，安排了储蓄罐存钱问题。通过分析，这些问题都可以转化为“鸡兔同笼”问题，解决问题的策略也是一模一样的。这些应用就是检验学生内化的策略能否外化为能力，是知识活化的标志，也是学习成果的体现，深度学习需要特别予以关注。