运算能力的培养要紧扣『理』『法』『境』——以《两位数乘两位数（不进位）笔算》教学为例

蒋敏杰 潘小福（特级教师）

数的运算是小学数学课程的重要内容，是数学教学的基础。“运算能力”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的应当注重发展的十项素养之一，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数学运算”定位为六项数学学科核心素养之一，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。基于小学数学的学科性质及小学生年龄特点，小学生数学运算能力的培养应注重理解运算、实施运算和估算。计算教学中要重视学生独立思考，多元表征理解运算的算理，构建算法，灵活选择合适算法解决问题，发展思维能力。

“两位数乘两位数的笔算”是小学四则运算的重要内容，是后续学习三位数乘两位数以及小数乘法的基础。乘数由一位数拓展为两位数，是学生认知结构由旧知向新知的一次拓展，更是整数乘法学习中的一次跨越。不少教师在教学竖式时认为，学生已会两位数乘一位数竖式，只需要引导迁移就行；或是学生在教师的带领下仅完成了例题就放手让学生独立练习。而现实是：学生不会算，第二层积不会对位，乘的顺序有误……可见，两位数乘两位数笔算竖式结构、运算程序与原有经验的差异，学生认识跨越的客观性，这些决定了理解及实施运算不能简单地迁移与讲授。人教版、苏教版教材将此内容均编排在三年级下册，两位数乘一位数、整十数口算教学之后，都以解决实际问题为情境引入。具体编排上，人教版承接已往学习经验和工具，利用点子图引导学生圈一圈、算一算，借助几何直观，学生不仅明确口算方法的算理，还沟通了内在联系，帮助学生将口算方法迁移到笔算方法中。苏教版则充分应用问题情境“又搬来2 箱”，引导学生借助认知经验，联系实际问题中的数量关系来感悟算法，连接笔算竖式，进而掌握算法。可见，两个版本教材都遵循学生思维发展过程，强调算理联通，构建算法，灵活应用，于此，教学中紧扣“理”“法”“境”三要素，是提升学生运算能力的可行策略。下面以王妍老师和王暑雅老师《两位数乘两位数（不进位）笔算》的同课异构教学为例，谈一谈小学生数学运算能力的教学培养。

一、注重“算理”理解的探究与建模

算理为算法提供理论依据，核心在明理、会意、成型，懂得“为什么这样算”的道理，因此理解算理是正确掌握计算方法的关键，缺乏算理支撑的算法是机械的，只有既明白怎样算又明白为什么这样算，算法才具有意义。本课的算理关键在于理解为什么分两步乘，以及每一步乘的结果为什么要写在规定的位置上。“理”如何讲清讲明，两位教师采用了不同的表征方式加以支持。理解为什么分两步乘，由于三年级学生没有学过乘法分配律，不可能联系运算律来理解和解释两位数乘两位数的算法，因此王妍老师通过点子图的圈、画表达算的过程，提出要求，借助几何直观，引导学生理解这样“拆开来”计算的必要性与合理性。王暑雅老师，结合着“买铅笔”的现实情境，引导学生调用生活经验，联系实际问题中的数量关系感悟理解。如“把12 盒拆成2 盒和10 盒，先算2 盒，24 乘2 等于48 支，再算10 盒，24 乘10 等于240 支，最后加起来就是288支。这样分更容易口算。”对建立在现实情境中的数量关系进行分析，为学生理解算理提供帮助。

对于理解“每一步乘的结果为什么要写在规定的位置上”，两位教师的做法趋于一致。两节课都非常注重沟通“拆开来计算”的过程与已有竖式计算经验，引导学生在比较联系中理解每一步算出的是什么，在竖式中如何表达等，从而较好地理解竖式计算的程序。

教学研究可知，算理的理解离不开对问题构造的数学模型抽象，理解算理需要通过多种形式，多元表征算法内涵，以促进已有认知经验的迁移与再创造，帮助学生形成计算模型。这种帮助一般表现为提供一定的思维支架，如本课研究中对点子图操作与结合情境图理解等，都为学生搭建了“为什么这样算”的平台，通过“动手做”“用嘴说”“落笔记”的方式，促进学生对算理进行主体性构造分析。此外，两位教师在教学中不约而同地设计了操作、口算（横式）与竖式表达的沟通环节，进一步在掌握算法中强化了算理理解，使算理融于计算认识的不同节点，如此有意义的联系，使“算理”理解成为一个整体综合的内循环过程。

二、体现“算法”建构的创造与迁移

计算能力包含着对算法的构造、设计、选择。算理、算法互为支撑，让学生经历算法的“创造”过程，既是对算理理解的强化，也有助于学生理解及掌握算法，提高计算技能，是学生运算能力提升的重要保证。上述两个教学中，虽然算理理解的表征切入方式不同，但都注重了基于“理”的算法自主探索，以顺应学生的思维方式，引领学生经历知识“生长”的过程。

第一层次：根据需要解决的问题，调用原有经验，引发思考。“借助点子图，把你的想法记录下来”“你能根据以前学过的知识想办法解决吗？”基于问题解决，教师提供学习工具，提出探究任务。其后，学生借助图式、具体情境将问题转化为已经学过的一位数乘法进行计算，并通过比较分析，理解不同算法的合理性，并类推出更多“拆”的方法。王妍老师在这个过程中还特别设计了变式辨析的过程，让学生感受到有的两位数不能拆成两个数的乘积，但是总能拆成整十数和一位数的和，为后面的竖式计算、理解算理做了很好的铺垫。

第二层次：沟通不同算法之间的联系，让学生自主“创造”两位数乘两位数的竖式。两个版本教材，都是从分步计算的角度引导学生向笔算进行迁移的，较好地蕴含了竖式计算的算理和计算程序，但如果仅此而已，常会出现“分步计算直观易懂，但到了竖式计算时，每一步计算的是什么就不那么直观”的现象，如何帮助学生从分步计算过渡到竖式计算，完成对两位数乘两位数的算法建构呢？两位教师都关注到了“操作”与“思维”，将竖式创造与记录表达有机联系起来，引发思考：“先算什么，再算什么，怎样书写竖式可以清楚地记录计算过程，并计算出结果？”两者不同的是，点子图较直观，情境图则更贴合生活情境。正如教学中出现了有的学生是分三个竖式，有的是对位出错等等，这些都通过想、说、辩等过程得以从“理”的视角纠正，这种承接理解，接的就是运算本质的地气。这个教学过程中，不是简单地告诉学生两位数乘两位数的算法，而是让学生经历“寻求”合理运算途径的过程，是个人的运算“创造”。

第三层次：逐层构建，掌握算法。对于竖式计算的算法突破，并非一次例题教学就能突破，而需要进一步丰富例证，以降低学习难度，提升计算技能。王妍老师通过“示范指导——回顾反思——比较沟通”的闭环方式，帮助学生进一步掌握竖式计算程序，在练习后尝试总结计算方法。王暑雅老师则结合问题情境，设计“联系情境——指导讲解——演绎应用”的过程，促进学生归纳算法。两种方式的教学都承接“算法创造”的过程，体现对实施运算能力的落实。

教学研究可知，要让学生自然地理解、掌握计算方法，首先需要教师设计贴合儿童思维的多样化探究活动，从已有经验与方法出发，逐步向具体算法进行迁移与转化，并在过程中不断优化认识，丰富理解。两个教学中，学生借助思维工具的支持（点子图、问题情境），凭借原有经验迁移、转化能够想到算法，并通过直观化手段引导思维，展开分析、综合、比较、抽象和推理等思维过程，使学生能够从乘法的意义、具体情境中理解算理，支持算法形成，不但使算法有根据，还发展了学生的思维能力。其次，要聚焦核心关键，注重引导算法创造。如本课中“如何对位书写”的问题就是核心关键，教师要聚焦相似性，帮助学生对算法进行主体性构造分析，给予学生研究、交流的平台，在“讲道理”中实现特殊向一般的转化。最后，还需要设计沟通比较环节，以提升对算法的归纳。教学中教师需要以例题指导为基础，开展指向算理理解与算法建构的梯度练习，并通过多个例子的分析比较后，再进行算法归纳，使“算法”落地。

三、强调“情境”应用的思维与习惯

运算能力并非是一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合，是以数学认知、数学思想、个人发展三个维度融合架构形成。计算教学始终要以问题解决为目的，经历“从现实情境中提出问题——探索计算方法——解决实际问题”的过程。因此运算能力的培养，不仅要处理好“理解算理”“掌握算法”，更需要结合“现实情境”，培养学生判断与选择的意识和灵活敏捷的思维品质，提升运算能力。正如学者指出的：应用这种意识灵活解决问题的能力，其核心是指计算策略中的灵活性和创造性，而非“没有思维”的计算程序。

两位老师在教学的设计中，无论是点子图操作还是数量关系分析，都伴着具体的问题情境，结构性地呈现学生的思维成果，引导学生比较异同，加深对算理的理解，再沟通算法之间的联系，借助“怎样表达计算过程”的步骤，建立对两位数乘两位数笔算中“每一步乘的结果怎样写”的问题。在练习中，王妍老师采用不同情境应用的方式，如在“你会找联系吗？”练习中，启发学生“发现竖式计算与图中各部分有怎样的关系”，以进一步清晰地感受到竖式计算中每一步的意义。当然，其中也暗含着乘法、面积之间的关联，让学生感受整体与部分、笔算与图式之间的关系。王暑雅老师则采用连续情境切入的方式，在“小熊文具店”的购物情境中，实现竖式的优化；借助竖式计算比较，获得对“调换两个乘数的位置，积不会改变”的感性认识，为以后认识乘法交换律积累经验。又如两节课都注重了在具体情境下计算方法的选择问题，王妍老师设计的“装苹果一共需要多少个箱子”的问题，在比较辨别中，体现了基于数量关系及数据特点，灵活计算的价值取向。王暑雅老师设计的“600 元够不够”的问题，体现出教师对学生具体情境下估算能力的有意识培养。

教学研究可知，计算教学中的情境需与具体问题联系，才能使运算成为解释现象的工具，成为交流、加工、解释信息的量化方法，发挥最大功能。比如错例分析（改错）是计算教学的常用方式，针对容易出错处，化错解错，弄清错误的根源，将有助于学生对计算方法的掌握。如何使计算能真正解决学生的疑难？错例的问题情境设置就需把握两个方面：一是计算本身的难点，这是学生面对新知时产生的困难，如位值理解及口算技能等；二是学生的现实难点，这是学生的真正困难所在，如第二层积的书写对位问题。教学中，借助错例及时反馈学生的问题所在，为解决学生的疑难而教。当然，开展具体问题情境的“基础练习”“挑战问题”等也将帮助学生合理分析，掌握算法。

需要特别关注的是，计算灵活性意识与习惯的培养。有意识地积累问题解决的经验将为学生问题识别分析、算法合理选择等提供现实的经验基础。比如两位教师在教学中都关注到了先估再算的习惯培养，让“估”真正为计算结果是否合理进行“导航”，王暑雅老师还特别注重了“估”与正确结果的比较，让学生体会到“估”的价值。良好的运算能力也体现在面对不同情境的具体问题解决方式，以往我们较为强化笔算出精确值作为学生解决问题的主要方式，忽视了估算、口算、灵活选择计算等方法。事实上，单一固化的技能训练往往使学生思维发展浅层与弱化。本课中，两位教师在问题情境设计上充分关注到了能力发展节点，通过“能读完吗？”“够不够呢？”“□7×□8 的乘积可能是多少？”等问题，带动学生结合情境选择笔算、口算、估算的应用，体现了“有思维”的算法选择，提升了运算能力。

“两位数乘两位数笔算”的同课异构教学，两位老师均紧扣计算的“理”“法”“境”，通过学生对算法的自我创造，架起了经验与方法的桥梁，在理解算理、掌握算法、情境应用中促进了思维发展，这些正是发展学生运算能力的重要要素与可持续研究的方向。