“导数中的多变量不等式证明”教学设计

吴晓钊

一、内容解析

本节选自人教版《数学选修2-2》中的第一章第三节《导数在研究函数中的应用》。学生会用导数去判断函数单调性，求极值、最值，以及会用导数证明单变量不等式的恒成立问题。本节课就是在此基础上，由单变量不等式证明，拓展到多变量不等式。

二、教学目标

（1）能区分不等式中多变量相关性和无关性;初步能运用主元法、换元法、消元法等，把多变量不等式，转化为单变量不等式，从而利用函数的思想去证明;

（2）知道对数平均不等式，及对数不等式在证明中的应用;

（3）从多变量不等式转化到单变量证明的过程中，体会函数思想和转化化归的思想，提升运算能力和逻辑推理的数学核心素养。

三、教学重、难点

重点：

多变量相关和无关的两类不等式证明解题的策略的不同点和相同点及解题策略归纳.

难点：

把多变量不等式通过主元、消元、换元等方法转化为熟悉的单变量不等式;

四、教学过程

问题1：回顾证明不等式恒成立的解题策略

设计意图 一方面是为引入新知创造认知冲突，激发学生的探知欲，另一方面是让学生思考，新旧知识之间的联系与转化。

引入：

问题2：不等式中的双变量取值有何特征，如何转化为我们前面所学的不等式证明问题？

设计意图 引入对数平均不等式证明，一方面，任意恒成立问题，转化为求函数的最值问题，学生比较熟悉容易入手;另方面，为例1中运用对数平均不等式放缩埋下伏笔。

先证较简洁的右侧：

五、课后反思

导数中的多变量问题，是考试的重点、难点，也是学生比较难以下手的一个主要模块之一。本节课为了能够让学生形成此类题型的常规解题框架图，采用的是一题多解，“多解归一”——把多元变量不等式证明，转化为单变量函数的形式。从简单的对数平均不等式引入各种解题策略，到例题对解题方法的强化和巩固，让学生逐步的形成了此类题型的解题模型。

（作者单位：浙江省温州市第二外国語学校）