在推理中深度理解数学模型

臧晓梅

教学内容：人教版小学数学五年级上册第七单元“数学广角——植树问题”。

課前思考：教材通过对现实生活中植树问题的研究，引导学生发现棵数和间隔数的规律，进而抽象出这类植树问题的数学模型。在平时的教学中，我们常常看到，在对三种植树情况（两端都栽、只栽一端、两端不栽）进行分析，建立起棵数和间隔数的关系后教学就止步了。上课教师之所以这样处理，有一定的原因：从知识难易上看，植树问题的难度比较大，在编入教材之前属于经典的奥数知识，在一节课上能学完三种类型已经是大容量教学了;从承载的思想方法上看，化归、数形结合、一一对应、模型、推理等都是要体现的思想，不易做好有机整合。基于上述考虑，笔者重新进行了设计，力求体现对数学模型的有效建构，在具体的教学实践中也取得了很好的教学效果。

教学过程：

一、情境导入，初步感知三种类型

1.联系实际，理解间隔

师：（让前后两位学生起立）大家看，这两位同学之间产生了一个……

生：间隔、空。

师：我们一般说成一个间隔。

（师依次让学生说出这样站立的4人、100人分别有几个间隔。）

师：如果产生了这样的101个间隔，你知道有多少名学生吗？

生：有102名学生。

2.引出课题，感知三种植树方式的存在

师：这节课，我们要研究和间隔有关的问题，数学上称为植树问题。（师板书，出示下图。）

师：植树节到了，少先队员在公园内通往凉亭的小路一侧义务植树，小路全长45米，每隔5米栽一棵，由五年级三个班完成，按班级顺序每班各栽15米，请你算一算每班各栽了多少棵？

【意图】借助“三个班级各栽了多少棵”这个大问题引出了在直线上植树的三种类型，让学生初步感知到解决植树问题的现实意义。和单一地呈现一种植树类型相比，这样更便于学生在后续的探究中进行分析、比较，让学生能从整体上理解把握。

二、主动探究，感悟模型

1.学生尝试解决

师：三个班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、画一画。

（学生在线段图上用画点或画小树的方式表示出要栽的棵数，师选择有代表性的作品投影。）

师：你能看懂这些方法吗？

（学生对15米处、30米处栽的树归哪个班产生了争执，对45米处栽不栽有疑问，师引导学生结合题意和图去理解，统一认识。）

2.命名三种植树类型

师：为了便于我们进一步研究，老师把三个班级的植树情况单独列了出来，请看屏幕。

师：请你观察，这三幅图有什么不同？

生：栽的棵树不同。

生：栽的方法不同。

师：那你能给它们起个名字吗？

（根据学生发言，师总结出两端都栽、只栽一端、两端不栽，并在图上显示出来。）

3.猜测棵数和间隔数关系

师：观察这三种植树方式，相同点在哪里？

生：间隔数都是3，每班都栽了15米。

师：（指着图）3个间隔4棵树，3个间隔3棵树，3个间隔2棵树，看来，棵数和什么有关？

生：和间隔数有关。

师：在不同的植树类型下，棵数和间隔数又会有怎样的关系呢？我们进一步来研究。

【意图】学生对15米、30米、45米处的“争执”，是学生在初步感知后对三种植树类型的进一步理解。在学生统一认识后，教师又把三种类型分开呈现，让学生结合自己的理解给予命名，并引发学生进一步思考：为什么同样的15米，三个班栽的棵数却不一样呢？不同植树方式下棵数和间隔数又有怎样的关系呢？核心问题就此启动了起来，学生的探究由表面转向深入。

三、对比分析，建立模型

1.任选一种小组内研究

师：小组内任选一种类型解决，看看棵数和间隔数到底有怎样的关系。（出示合作要求：（1）任选一种类型，解决后也可以想想其他类型如何解决。（2）画出线段图并列出算式。）

2.汇报交流，深化理解

师：老师先调查一下，你选择了哪种植树情况来解决的？（研究两端都栽的有2个小组，只栽一端的有9个小组，两端不栽的有1个小组。）

师：那就先请研究只栽一端的这个小组前来汇报。

生1：大家好，我们小组研究的是只栽一端的情况。先用15米除以5米得到3个间隔，要栽3棵，发现了间隔数等于棵数的关系，同学们有什么疑问吗？

生2：15米除以5米得到的是3个间隔，怎么是3棵树呢？

师：（汇报学生刚要解释，师示意先等等）这个问题问得好啊，明明是3个间隔吗？怎么成了3棵树呢？（全班学生思考后指名学生发言。）

师：（对着生1）他们的回答说出了你的意思了吗？还是你来说说吧！

生1：这里虽然是3个间隔，从图上看也是3棵数。（还有部分学生不明就理。）

师：给你个建议，如果你能在图上画一画、指一指大家就更明白了。

（生1画出箭头，并说明了间隔数和棵数存在着一一对应的关系。）

师：大家明白了吗？根据一一对应，这里的单位“个”可以改成什么了？

（生1把“个”改成“棵”。）

【意图】为什么绝大多数小组都选择了只栽一端的方式？这并非意外，而是教师意料之中的事情。因为上课的班级是5年级2班，学生对自己班级的认同度比较高，才会做出这种选择。更重要的是，通过对这种植树方式的深度探究，积累了数学活动经验，为学生用这个发现由此及彼、推理出其他方式做了铺垫。