三角函数问题中常见错误分析及其应对策略

董朝霞

【摘要】三角函数作为数学教学的重要内容，常见的有填空题、选择题、应用题等多种题型，是关注度极高的一项数学内容.相较于其他数学知识而言，三角函数涉及的知识点较多，学习起来有一定难度，因而在三角函数问题中出现了很多错误.本文将对三角函数问题中常见的错误进行分析，同时举例进行探究，通过分析错误原因，从中总结出相应的应对策略，以解决三角函数学习中所遇到的问题.

【关键词】三角函数;常见错误;应对策略

三角函数是除指数函数及对数函数之外的另一种具体函数，它能够有效地解决数学问题，并且在实际生活中也有较高的利用价值.就目前中学生的三角函数学习情况而言，可能由于三角函数所包含的知识点比较复杂，灵活性较强，又多以与其他题型相结合的形式出现在题目中，导致三角函数的学习难度较大，学生对字母、符号的理解及基本概念的掌握程度不够，数学成绩不理想.为了解决学生在学习三角函数过程中所遇到的困难，提高学习效率，对三角函数问题中常见错误进行分析并提出应对策略是极为必要的.

一、三角函数常见的几种错误类型

我们在学习三角函数时会产生一些常见的错误，大致来说这些错误可归纳为逻辑性、知识性、策略性等几种类型的错误，具体如下.

1.逻辑性错误

逻辑性错误是由于学生自身认知结构存在局限性从而在解题时出现的解题错误，其本质是因学生存在知识上的缺陷而产生的错误，造成错误的知识盲点在于逻辑思维上的错误而不是数学本身.

于是在解题的过程中就容易出现偷换概念、分类不当、不等价变换、循环论证等几种常见的逻辑性错误.如循环论证中对于论据的真实性有赖于论题的真实性，只有论据真实才能论证出论题的真假，论据、论证、论题是数学问题构成的三要素.又如不等价变换也属于逻辑性错误中的一种，产生错误的原因是违反了同一律原则，这样在解题时，就会出现对命题的不等价变换，直接导致解集扩大或缩小.

2.知识性错误

知识性错误是指学生对数学学科中的有关概念未能正确理解，出现概念、性质的混淆不清而产生的错误.数学学科具有知识连贯性和逻辑性强的特点，而三角函数所涉及的概念、公式、定理等，学生如果理解不足，解题时就会出现错误，原因多与相关的基本知识未能很好掌握有关，如对基本概念理解不足，或者只看函数图像，或者只以公式为思考依据，均会直接影响解题的正确性，造成解题错误.公式、定理的推导过程往往有几种不同的方法，通常教材上的方法最简单直观，而例题和练习题的解题方法和结论往往是论证新问题的依据，教师要留给学生独立思考的时间和空间，让学生用不同的解题方法去探究，有助于学生更深入地理解概念，更灵活地应用公式、定理，使学生对教材中的概念、公式等有系统而深刻的认识.

3.策略性错误

策略性错误主要是指学生在解数学题时对解题方向存在偏差，以致解题思路不对，在思考的过程中出现思路受阻而难以解题的现象，当然也存在这样一种可能，由于解题的思路太过曲折，学生最终就算完成解题且答案正确，但却耗费了大量时间和精力，从而影响解题的效率.通常我们在解题时习惯从问题的正面去思考，而没有产生从反面去思考的意识，而有些数学问题从正面思考和解决往往存在较大的难度，会使问题变得更加复杂，这样不仅耗时费力还易造成解题的错误.因此教师应培养学生学会在解题的过程中转换思维，当面临正面思考解题存在难度的情形时，应用逆向思维，灵活巧妙地运用自身所学的数学方法，学会从问题的反面去思考、解决问题.此外，审题过程中过于主观臆断也是造成策略性错误的因素之一，主观臆断主要是我们心理上产生了误区而引起的，例如在数学学习的过程中，即使我们对数学中的知识点以及解题答题的技巧完全掌握，但心理上的误区往往容易导致我们的主观臆断，从而影响解题的正确性，同时这种影响对我们自身而言也是致命性的，因此要想消除主观臆断，不犯這种策略上的错误，就必须克服这种心理上的误区.

二、三角函数问题中常见的几种错误分析

1.忽视题目中的已知条件

在三角函数解题过程中，比较常见的一类问题是通过已知的函数值解出其他角或边的值，这种情况下往往会出现没有认真审题，或者对三角函数相关知识点印象模糊，而忽略题目中已经给出的重要条件，不能抓住要点，将所求的值缩小到一定范围，极大地增加了解题难度.

2.对定义域理解不准确

定义域是指函数f（x）中x的取值范围，是函数最重要的因素之一，特别是在三角函数中，定义域的作用至关重要，解答函数问题首先要保证定义域的准确，定义域的错误极有可能导致三角函数问题的解答错误.在解决三角函数问题时，存在很多对定义域的含义理解有误的现象，忽略定义域，对取值范围不明确，致使答题错误.

3.对三角函数平移基本概念理解不足

在三角函数的分析过程中，平移问题是极为典型的一类考点，在考题中占有一定的比重，而就目前三角函数教学的实际情况来看，有很多学生对三角函数平移基本概念的理解和掌握还存在不足，比如平移的方向和函数式的转换，在解题过程中要么只看函数图像，要么只以公式为依据，致使解题错误频发.比如正弦型函数的平移变换过程中平移的量学生经常出错，解决方法是需要将函数变为y=Asin（ωx+φ），平移的量为φω个单位，方向根据φω的符号，结合“左加右减”来判断是向左平移还是向右平移.

4.解题易受函数图像变换的影响

三角函数所涉及的知识点范围较广，在解题过程中应用的难度相对较大，图像和函数公式相结合的方式减轻了解题的难度，但是在这个过程中也存在一个问题，就是三角函数图像变换是多样的，比如包含有平移变换、伸缩变换、对称变换等，如果对函数图像的特性及其所隐含的条件掌握不足，就会因图像变化而忽略原本的解题条件，被图像误导而造成解题错误.

三、三角函数问题中常见错误的应对策略

1.认真审题，充分利用已知条件

三角函数的学习需要我们在解题的过程中，对于忽视题目中已知条件的问题，要从认真审题着手，多读题目，找出已知条件，对题目中的已知或隐含条件仔细分析，认真推理，题目中所存在的每一个条件都蕴含一定的信息，往往可推理出隐含条件，甚至是几条隐含条件.隐含条件有些隐含在公式和概念中，有些隐含在公式变形中，有些隐含在角的取值范围中，有些则隐含在一元二次方程的判别式中.当隐含条件推理出来后，就变成了已知条件.这样隐含条件就派上了用场，将已知条件和隐含条件结合起来进行解题，对解题具有引导作用和极大帮助，不可轻视.

例如：已知三角形一个角为60°，面积为103 cm2，周长为20 cm，求三角形的各边长.可设C=60°，三角形的三边分别为a，b，c，a+b+c=20，则面积S=12absin C=103，解出ab=40，由余弦定理可知，cos C=a2+b2-c22ab=（a+b）2-2ab-c22ab=12，将ab=40代入得（a+b）2=c2+120，又因为a+b+c=20，（a+b）2=（20-c）2=c2+120，解方程得c=7，故a+b=20-c=13，由a+b=13与ab=40可得a=5，b=8或a=8，b=5.即三角形的各边长分别为5 cm，7 cm，8 cm.

2.强化定义域概念，把握三角函数自身特性

三角函数的核心之一是定义域，其性质大多依赖于函数的定义域，因此离开三角函数定义域这一先决条件，来谈论三角函数的性质如图像、值域、单调性、奇偶性、周期性均是毫无意义的.这就要求我们加强对函数定义域概念的理解和掌握，准确把握三角函数自身的特性.解决对三角函数定义域认识不足的问题，要从以下方面进行强化：注意三角函数的隐含条件，函数为整数形式和指数函数时，可取一切实数;若为分数形式，则分母不得为零;以二次根式为主的偶次根式，被开方式不可为负数;对数形式的函数要求真数大于零，在求三角函数的定义域时，还要考虑其在各个象限内的符号.比如求函数y=1-cos x2sin x-1+lg（2cos x+2）的定义域时，首先应考虑根号内的数非负，对数函数的真数必为正数，故1-cos x2sin x-1≥0，2sin x-1≠0，2cos x+2>0，又因为1-cos x≥0，推出2sin x-1>0，所以sin x>12，cos x>-22，综合上面两步可得出x属于2kπ+π6，2kπ+3π4，k∈Z.

3.深化三角函数平移规律，学会公式转换

三角函数图像平移变换问题，学生很容易出错，可以采取两种方案来平移，一是“先左右再周期”，二是“先周期再左右”，掌握了这一技巧，解决三角函数这类的题型就不会有什么问题.三角函数的平移解题策略要把握以下几点：首先看平移要求，需要将哪个函数平移到哪个函数，然后看函数形式和移动方向，移动的方向我们一般会记为“正向左，负向右”，最后就是看移动单位.做好这几点，就能够避免一些常见的解题错误.在解决一个函数平移到另一个函数的问题时，始终以y=Asin（ωx+φ）的形式为依据，若题目中的函数不是这个形式，则要将其转换为这种形式.比如将y=sin x变化为y=sin（1.5π-2x）的问题，y=sin（1.5π-2x）=sin-2x-3π4=-sin 2x-3π4，先把y=sin x以x轴为对称轴进行对称变化，再沿x轴正方向平移3π4个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的12即可.

4.掌握三角函数中图像的应用

要想做好三角函数图像的应用题，就要熟练掌握函数图像与性质，三角函数的研究离不开图像，通过数形结合的思想来观察函数图像可以掌握三角函数的性质.作三角函数图像时，先要确定其定义域，若是具有周期性特征的函数，首先应求出其周期，再作图像，此时仅需作出一个周期的图像就可凭借其周期性而作出整个函数的图像.在作三角函数的图像时，引导学生思考如何利用三角函数图像得到其性质，并亲自动手操作，师生合作，共同完成，体会图像与函数性质的相互衬托作用，教师适时渗透如何由正弦函数、余弦函数的标准图像，得到一般函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的图像，同时应鼓励学生通过仔细观察函数图像，说出函数图像的几个重要性质，加深体会关键点对作三角函数图像所起的作用.只有对函数图像有了正确的认识和充分的了解，才能更进一步探究y=Asin（ωx+φ）+k和y=Acos（ωx+φ）+k;对三角函数的图像有了深层次的了解，才能更好地应对各种不同函数图像表现形式，始终准确地掌握解题要领.比如研究y=Asin（ωx+φ）的图像与性质，可设X=ωx+φ，X取0，π2，π，3π2，2π，求取相应的x值和y值后就可以描点作图，解x值时，从五点作图的第一点入手，函数的变换形式多为先平移后伸缩，也有先伸缩后平移的，对于函数图像的变形，要明确每一点变化都与函数中的x密切相关.把函数形式转换为y=Asin（ωx+φ）后，再依据基本三角函数的单调性求解，同时还要关注A和ω的符号问题及复合函数单调性同增异减的规律.

结束语

综上所述，本文主要分析了三角函数常见的几种错误类型：解三角函数问题时存在的对三角函数平移基本概念及定义域的理解不足、易受函数图像变形的影响、忽视题目中已知条件等错误，而以上总结的错误均是我们在学习和解题时易犯的一些常见错误，这些错误具有典型性和代表性，因此分析这些错误形成的原因，并针对这些错误提出相应的应对策略，具有借鉴意义.在进行三角函数的学习时，我们应始终保持科学严谨的学习态度，运用清晰的解题思路，通过科学严谨的推理，得出正确的结论.希望为三角函数的学习提供一些参考.

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