巧用数形结合法破解二次函数在闭区间上的最值问题

董晖

【摘要】数形结合是一个重要的数学思想方法，恩格斯曾说：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代數意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，并充分利用这种结合.华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”

【关键词】数形结合;二次函数

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

二次函数是高考热点问题之一，二次函数在闭区间求最值及含参数的二次函数在闭区间求最值问题是高考必考内容，也是高中学生最头疼的问题.如何破解二次函数在闭区间上的最值问题？只有有机地渗透数形结合思想，巧用数形结合的方法求解二次函数在闭区间上的最值问题，才能很好地解除学生的困惑.

教师必须用图像解释区间与对称轴的位置关系，从图像中观察最小值，学生才能慢慢理解解题步骤.学生根据图像能总结出解决此类问题的方法：确定对称轴，讨论区间端点与对称轴的相对位置关系.

二次函数有丰富的内涵和外延，作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的数形结合等重要的数学思想方法.“数形本是相倚依，焉能分作两边飞”，在解决问题过程中只有“数”与“形”相互转化，才是数形结合的精髓.哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的‘心脏”，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值，学生会运用单调性解决最值问题，这样既巩固了函数的单调性与最大（小）值的知识，又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点.