师范类本科院校常微分方程课程教学改革的探索

卢 霖

(湖南第一师范学院 数学与计算科学学院， 湖南 长沙 410205)

常微分方程是数学与应用数学专业的核心专业课程，也是一门理论与实际相结合的应用型课程。目前，常微分方程已经被广泛地应用于物理、生物、气象、工程、医学等领域[1-2]。教育部在《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中指出“加强高等学校本科教学工作的主要任务和要求是：着眼于国家发展和人的全面发展需要，加大教学投入，强化教学管理，深化教学改革，坚持传授知识、培养能力、提高素质协调发展，更加注重能力培养，着力提高大学生的学习能力、实践能力和创新能力，全面推进素质教育”。因此，为适应当前教学改革和素质教育的需要，培养大批理论与应用能力较强的复合型人才，结合师范类本科院校的培养目标、常微分方程发展的现状及主流趋势，对传统常微分方程教学做了一些探索。

1 优选教材，优化内容

根据师范类本科院校培养目标以及学生的实际情况，我们选用了“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，王高雄等编著的《常微分方程》(第三版)。此教材共有七章，其中第一章至第五章研究的是线性微分方程，该部分关注方程的定量求解；第六章研究的是非线性微分方程，该部分重点对微分方程进行定性分析；第七章研究的是偏微分方程，它可以看作是与前六章独立的一个板块，也是微分方程的另一个分支领域。

随着教学改革的不断深入，专业课程的设置以及课时重新调整已是趋势。由于学时的不断减少，导致教学内容相对增加，这给教学带来了不小的影响。通过调研发现，某些普通本科高校把常微分方程的重点教学放在了前五章，以要求学生掌握常微分方程的初等解法为主要目标；在时间允许的情况下次要讲第六章；受限于学生的水平以及学时的限制，第七章及附录几乎不讲。上述教学设计是有瑕疵的，可进一步改进。事实上，一方面，前五章几类特殊的线性微分方程(组)的求解这一知识体系早在几百年前就已经非常成熟，第六章非线性微分方程的定性分析才是近代常微分方程研究的主流方向且目前仍在发展中。另一方面，当前已是信息化时代，计算机技术在混沌、孤立子与分形、数值模拟中的应用也相当广泛前沿。 因此，在教学大纲的基本要求下, 本着重视基础、突出重点原则，基于对师范生后续发展的考虑，我们对教材内容进行了优化处理：

1. 将解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、一阶线性偏微分方程作为选学内容，教师只利用 2～ 3 课时给学生作简单的指导。而将常数变易法、积分因子、解的存在唯一性定理、常系数线性方程(组)、Euler方程、稳定性、V函数方法和奇点的分类作为重点讲授内容。

2. 第一章重点讲授微分方程的基本概念，并把常微分方程模型应用于数学建模课程，介绍单摆模型、Logistic模型、传染病模型、捕食模型、Lorenz模型，用MATLAB演示附录Ⅱ中上述模型的轨迹图，使同学们对常微分方程的研究背景有一个直观理解。

3. 第二章讲授恰当方程时, 联系数学分析中曲线积分的相关知识, 补充恰当方程的线积分求解公式[3]。

4. 第三章讲授解的存在唯一性定理的证明时，重点突出皮卡迭代和逐步逼近思想方法，它是研究微分方程解的存在性的一种重要工具。

5. 第四章与第五章统一起来讲授，建立高阶微分方程与一阶线性微分方程组之间的关系，这使得章节之间具有联系性，在叙述上使第四章与第五章更加简洁直观。对于齐次与非齐次线性微分方程(组)的学习，要求学生对比高等代数中相应的概念与解的性质[4]。

6. 讲授第六章非线性微分方程时，一定要强调与前五章的研究方法和侧重点的区别：第六章非线性微分方程主要是对微分方程进行定性分析，前五章主要是对微分方程进行定量计算。结合文献[5]，对教材第六章零解稳定性授课做如下安排。当特征方程没有零根或零实部时，非线性微分方程与线性微分方程零解的稳定性态一致。此时，非线性微分方程零解的稳定性容易分析。当特征方程没有正实部的根，但有零根或者零实部的根时，非线性微分方程的稳定性态不能由线性方程近似代替。此时，可用构造V函数的方法分析非线性微分方程零解的稳定性。某些复杂的常微分方程无法构造出V函数，所以需要引入新的方法来判断非线性微分方程零解的稳定性。当前比较前沿的一种方法是利用KAM理论和牛顿迭代法，该部分内容留给有余力完成的同学自学。对于含参数的常微分方程，方程零解的稳定性依赖于参数。当参数变化时，方程的平衡点的个数、稳定性态可能发生改变，此时可分析系统的分支、混沌现象。该部分内容留给有余力完成的同学自学。

2 渗透数学思想，培养逻辑思维

思维是认识的高级阶段，即通常人们所指的理性认识阶段。形象思维与抽象思维是人类思维的两种基本形式，抽象思维即逻辑思维，它是指人们在认识过程中借助于概念、判断、推理反映现实的过程，是科学研究的基本思维方式，它以科学的抽象概念揭示事物的本质，叙述认识现实的结果[6]。数学逻辑思维是建立在逻辑思维和形象思维基础之上的一种理性思考方式。通过常微分方程的教学，期望能够培养学生的逻辑思维能力。例如，学生曾提问：“为什么常微分方程课本第六章会讲授混沌，什么是混沌，为什么研究它？” 为了培养学生的逻辑思维能力，组织学生开展以“蝴蝶效应”为主题的小组活动，讲授思路、步骤如下：

1.让学生分组课下自行查阅、搜集相关文献，引导学生了解蝴蝶效应故事背景等。

2.在教师的引导下对蝴蝶效应的定义进行概括性描述：“蝴蝶效应是指初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极大的差别”。美国学者洛伦兹认为：“尽管拥有高速计算机和精确地数据测量，也难以获得准确的长期的天气预报”。

3.蝴蝶效应是混沌现象的一个最经典例子，引出混沌的精确定义。

4.提出疑问、自问自答。既然混沌是混乱的不可预测的，那么是不是混沌就没有一点规律可循？ 事实上不是的。哲学指出，世界万物都是在不断变化的，无序与有序是相辅相成的，无序中也蕴含着有序。看似杂乱无章的混沌并不是完全随机的，相反，它却是有迹可循的，有着内在普适的规律。混沌的主要研究领域之一就是混沌控制理论。

5.混沌理论的前沿应用与展望。混沌理论已被广泛应用于各个领域，如商业周期研究、动物种群动力学、行星运转轨道、半导体电流、医学预测 (如癫痫发作)、天气预报等。当今世界仍存在着无限可能，混沌这个课题才刚刚开始并且会不断地发展下去。

上述授课安排体现了层次递进的数学逻辑思维，从“混沌的研究背景-蝴蝶效应”到“混沌的精确定义”，再到“研究内容”，最后到“前沿应用与发展趋势”，较清晰地解答学生的疑问。

3 课程教学中存在的问题与改进

作为师范类本科院校，不仅承担着传授学生知识的任务，同时承担着为我国培养优质师范生的责任。然而通过常微分方程的听课与交流，发现有些年轻教师在课程教学方面存在问题。受文献[7-8]的启发并结合常微分方程课程特点，本文给出具体问题和改进方案如下：

1.教学方法形式单一，学生参与教育实践环节薄弱。目前，由于课时量的限制，很多高校教师对常微分方程基本是按传统方式授课——教师讲学生听，缺乏互动，缺乏学生探索。 本文认为，应该把讲授、讨论、演示、自主探索等教学方法根据不同章节灵活运用。

第一章建议采用自主学习和课堂讨论的方式教学，让学生了解常微分方程的发展历史、主要研究问题、如何用方程建立数学模型，同时教师演示利用MATLAB处理一些微分方程模型的图像等。

第二章至第五章，建议采用PPT与传统板书相结合、学生与教师互动的教学方法进行相关内容的教学。尤其第三章讲授“解的存在唯一性定理”证明时，由于证明过程非常长且思路繁琐，该部分更应该用PPT展式证明思路和方法概要，并用板书补充细节。

第六章“微分方程定性理论”，其内容主要包括奇点的分类、解的稳定性、V函数的构造等。这部分内容是重难点、前沿内容，应以教师讲授为主。因为学生对该部分掌握是否扎实，直接关系到对后续课程的学习和研究。对于分支、混沌等选修内容，建议留给学生自学探索为主，把全班学生分成几个小组，把章节下放到每个组，由小组自行组织探讨学习，然后抽取两个课时集中汇报、教师点评，此时教师可利用MATLAB画出分支图，数形结合直观地展示该部分研究内容，便于同学们理解。这样既节约了时间，同时又提升了学生的参与和探索能力，并且对师范生教学有启发作用，有利于他们今后的教学研究。

2.教学内容较陈旧，没有紧跟前沿研究动态及时更新、补充教学内容。传统的常微分方程教学过多侧重于求精确解，例如求一阶线性微分方程(组)的精确解，或者求常系数非齐次线性微分方程在特殊条件下的精确解。然而事实上很多方程或者动力系统无法求精确解，例如Riccati方程、N体问题等。随着常微分方程近几十年的快速发展，目前该课程的研究领域更侧重于定性分析、求近似解、数值模拟等内容，这些研究内容又与“偏微分方程”“泛函微分方程”“脉冲微分方程”“控制理论”等专业研究课程紧密联系。在学时范围内适当补充一部分国内外最新研究内容和动态，旨在使学生在后续的专业课程学习中对前沿知识有初步的了解，有利于学生把握这门课程的发展方向，为后续研究生阶段的学习打下良好的基础。

4 考核方法改进

考试是教学过程的重要组成部分，是衡量学生学习能力和评估教学质量的有效手段。 纯粹的闭卷考核强调记忆和理论，忽略了实践环节，在某种程度上存在缺陷。 因此，改革“一考定终身”的考核制度具有重要意义。受文献[9]启发并结合课程的特点, 对于常微分方程课程的考核，可以采用“多模块综合评价”的考核方法。考核可分为平时成绩、期中成绩、期末成绩、实践考查四个环节，并对每个环节设置相应的分值比例，最后取总评成绩。具体来说，平时成绩占10%，期中成绩占30%，期末成绩占40%，实践考查占20%。

1.平时成绩。由于出勤率、按时保质完成作业是作为一名学生最基本要求之一，尤其对师范类本科生而言更是如此，他们不仅是学生，而且是祖国未来的教师，更应该懂得言传身教的道理。平时成绩比例不宜设置过高，只需表达出对学生平时认真上课的肯定态度即可。平时成绩中上课考勤占 30%，学生必须按时上课，事、病假情况必须有审批假条，无假条按旷课处理； 课堂表现占 40%，主要考查学生课堂上参与讨论、提问、发言的积极性；作业完成情况占30%，学生应按时保质完成作业，不会的可以查阅相关资料、与同学讨论、到办公室问老师，坚决杜绝雷同作业。

2.期中考试。采取闭卷考试的形式。由于只是为了对学生前半学期学习常微分方程课程的质量与效果做一个考核、评价，因此，期中考试的分值占比应低于期末考试。王高雄等编著的《常微分方程》(第三版)的特点是前半部分侧重于对方程进行求解，同时该课程教学大纲也明确要求学生熟练掌握对不同类型的线性微分方程的求解，因此该部分出题建议以计算题为主要题型，以便考查学生对不同类型的微分方程求解的基本功是否扎实。另一方面，适当出一些基础概念题，比如判断方程是否线性、方程的阶数、齐次与非齐次的概念等，以便学生理解、掌握对不同的微分方程进行分类，并相应地采取不同方法处理问题。

3. 期末考试。采取闭卷考试的形式。期末考试在每学期末的全校考试周集中安排，用于全面考核学生这一学期对常微分方程课程的总体掌握情况。建议期末考试试卷适当包含一部分期中考试学过的内容，一方面可使学生对前半学期学习内容进行巩固，另一方面便于学生对整个内容有较系统的理解。期末考试的题型和难度要有一定区分度，可以含有论述微分方程解的存在唯一性定理、对微分方程的平衡解进行定性分析等题型，有利于学生掌握常微分方程较前沿的理论知识。由于论述题部分内容难度相对较大，建议分值设置不宜过高。

4. 实践考查。该部分采取考查的形式。具体评分标准不做统一要求，由任课教师自行制定合理方案并报相关部门备案。实践考查部分包含：学习利用MATLAB软件解微分方程、画微分方程的相图、分支图；课后分小组分工收集、探索微分方程近代有哪些研究领域以及研究方法；根据自己的兴趣爱好选择常微分方程的一个点写一篇小论文；教师与考生进行课程相关的问答，让考生就某一主题发表评论及解答，题目不会很难，关键考查考生的知识积累、分析判断能力、应变能力，由记录员做相应记录并由教师评分。学生可自行选择一个考查内容。这些考查内容均具有较强的开放性，都与常微分方程课程紧密相关。该考查方式旨在充分调动学生思考的积极性，让学生能够根据兴趣研究个性的发展，同时使得学生的学习充满探究性，有利于培养创新型人才。

以上考核制度应在常微分方程课程的教学大纲中明确标出，并由任课教师在本课程开讲后的前两周内告知学生。“多模块综合评价”的考核方式不仅使学生掌握该课程的理论知识，同时反映了学生的各方面综合素质，突出了学生的探索能力，有利于师范类本科院校人才的培养。

5 结语

作为师范类本科院校，常微分方程课程的教学不仅关系到学生专业课学习，也关系到这些学生未来教育下一代的教育质量。我们期望通过本课程的教学，学生能够在专业理论知识、实践探索、教学技能等方面得到提升。本教学方案的关键在于用发展的眼光调整、优化教学内容和手段，既注重基础知识讲解又注重前沿知识探索，既注重教师启发式教学又注重培养学生自主学习能力，把讲授、讨论、演示、自主探索等教学方法根据不同章节灵活运用，改进考核方法，从而提高学生的综合素质，达到培养优秀师范生人才的目标。