泵用转子上限形状系数的统一计算模型

（宿迁学院，江苏宿迁 223800）

0 引言

转子泵是一种利用泵内容积的变化来输送介质的容积泵，其中齿轮泵和罗茨泵是最典型的转子泵，应用极其广泛［1-2］。由于泵内容积的变化是通过转子副的旋转运动来实现的，为此，转子的轮廓特征决定了泵内容积的变化特性，即转子轮廓直接决定了泵的性能［3］，其轻量化设计业已成为一种趋势。现有研究结果表明转子的形状系数越大，泵整体性能尤其轻量化性能越好［4-5］，这其中势必涉及到形状系数的上限问题。目前，虽然由“角点”状态下的几何分析给出了常见圆弧转子的上限形状系数［6］，由渐开线终端点位于基圆上的几何分析，给出了常见渐开线转子的上限形状系数［7］，但这一针对具体型线下的个案方法，不具普适性，且所涉理论广，既不利于一般工程技术人员的直接采用，也不利于转子创新型线的上限形状系数预测，虽然由“角点”处曲率半径等于0的状态，给出了最大形状系数的计算方法［8］，但也存在最小曲率半径不等于0的状况［9］。为此，旨在文献［8］的基础上，通过形状系数上限取得条件的进一步研究，以期获得转子上限形状系数的统一计算模型。

1 转子轮廓与工作轮廓

图1 工作轮廓及共轭关系

记 ∠1o13=∠3o15=φ=0.5π/N，∠162= α0、的长度=ρ0为工作轮廓的起始法角、起始法长。则，转子的形状系数 ε 为：

图1中，设主（中心为o1）、从（中心为o2）转子在主转子上的点n2（x2，y2）处共轭。由于主、从轮廓完全一致，则从轮廓上的点n2对应于主轮廓上的点为n1（x1，y1）。此时，过n2的法线与节圆的交点为瞬心p2，过n1的法线与节圆和y轴的交点分别为瞬心p1和点8。由主、从轮廓间的共轭关系［6］，得∠p2o17= ∠p1o16= θ；∠8p1o1=∠n2p2o1=α（θ）为θ位置下的瞬心传动角（简称为瞬角）；n2p2=n1p1=ρ（θ）为θ位置下的瞬心半径（简称为瞬径）。

在图1所示的xo1y坐标系下，以θ∈［0，φ］为瞬变量，由o1p2、n2p2与－y轴（或叶轴）间的夹角分别为2φ－θ和π－α－（2φ－θ），得n2，n1的坐标，即节圆内、外工作轮廓的统一坐标方程为：

式中，dy1/dx1、dρ/dθ、dα /dθ为y1对x1，ρ对θ，α对θ的一阶导数，均由工作轮廓的定义确定。

2 工作轮廓的极限条件

设n1，n2处的曲径为ρ1（θ），ρ2（θ），如ρ2（θ）＜0，则会出现“角点”一类的的几何干涉［6-8］。故，ρ2（θ）≥0并取得极小值为极限状态，对应的θ=θ*，ρ2（θ*）=min［ρ2（θ）］≥ 0。记n1（ρ2（θ*）＞0）、n2（（ρ2（θ*）＞0）为顶、谷工作极限点；n1（ρ2（θ*）=0）、n2（ρ2（θ*）=0）为顶、谷的 0 工作极限点。

根据n1，n2共轭上的欧拉 - 萨伐里方程［10］，由

第1 种情况：ρ1（θ*）≠∞，ρ2（θ*）≠∞。例如渐开线、圆弧、摆线、抛物线等工作轮廓。由式（10）可得到：

则，第1种情况的极限条件为：

式中，ρ2（θ*）=0，取“=”号。

第2种情况：ρ1（θ）=∞的直线段，例如斜顶线工作轮廓，则由式（8）得出：

得第2种情况的极限条件为：

第3种情况：ρ2（θ）=∞的直线段，例如直谷线工作轮廓，则由式（8）得出：

得第3种情况的极限条件为：

3 第1种情况的上限验证

以渐开线转子为例，轮廓如图2所示。此时，由渐开线轮廓成形原理可知［11］：

式中，rb=rsinα为基圆半径，如图2所示。将式（18）代入式（13），得：

显然，θ*=0，ρ2（θ*）=0，ρ1（θ*）取得极大值，n2（θ*），n1（θ*）位于轮廓，的起始端点2，4处。

则：

上限形状系数ε*为：

与文献［7，11］结果完全一致。

图2 渐开线转子轮廓

4 第2种情况的上限验证

图3 顶斜线转子轮廓

由式（15）得出：

显然，θ*=0，ρ2（θ*）取得不等于零的极小值；n2（θ*），n1（θ*）位于工作轮廓各自的起始端点 2和4处，抛物线转子也存在这种现象［12-13］。得：

5 第3种情况的上限验证

以直谷线转子为例，轮廓如图4所示。此时，由

与文献［9］完全一致，因是定值，则无需考虑极限。

图4 直谷线转子轮廓

6 0工作极限状态的统一特征

当处于0工作极限状态时，表示谷工作轮廓上存在最小曲率半径为0的点。此时，由式（13）可得：

在△o8p1中，由

知，∠o8p1=π/2。

结合式（29）、（30）和图2，得0工作极限状态的统一特征：顶工作极限点处的曲径被其瞬心平分，且垂直于其曲心与轮心的连线［8］。

据此，谷工作极限点与轮心的连线垂直于该点法线，由此也知，渐开线、圆弧能取得0工作极限状态，顶斜线等则不能。

7 结论

（1）由谷工作极限点的轮廓特征和共轭关系上的欧拉-萨伐里方程，直接推算出转子上限形状系数，避免曲径常规计算上求解一、二导数的复杂性。

（2）谷工作轮廓存在0工作极限点时，顶工作极限点处的曲径被瞬心平分，曲径线垂直于曲心与轮心的连线；谷0工作极限点与轮心连线垂直于该点法线。

（3）谷工作轮廓不存在0工作极限点时，谷、顶工作极限点分别位于谷、顶工作轮廓的起始端点；谷工作极限点与轮心连线不垂直于该点法线。

（4）渐开线、圆弧、斜顶线、直谷线转子轮廓的极限验证，说明由极限条件推算出的上限形状系数模型正确。