整体建构，延伸发展，提升素养

何佳丹

摘 要：小学数学教学不仅仅是掌握基本技能和基本知识的过程，更要使学生明确学科知识构成的基本结构。在小学数学教学实践中教师尝试用结构化观点和方式把握、处理教材，精心设计教学，引导学生内化知识结构，既掌握本节课的知识点，也能连点成线，连线成面，完善知识框架体系，促进思维结构化发展，提升数学核心素养。

关键词：结构化教学;内化知识;完善体系;提升素养

美国著名教育家布鲁纳曾指出，不管是哪门学科的学习，首先都是让学生了解学科的基本结构[1]。目前的小学数学学习内容按照不同领域，根据儿童数学学习发展规律，分学段依次展开教授。实践教学中，多数教师唯教材是从，根据教材编排内容依次展开教学进度安排。然而，每个学段学习内容前后有一定的时间间隔，完全照着教材教，对教学内容不加处理，长此以往，学生对数学知识的整体结构认知容易产生遗忘和断层，出现“只见树木，不见森林”的现象，不利于学生数学综合素养的全面提升。在日常教学中，教师要提升对上述问题的重视程度，强化教学模式创新和改革，并尝试通过结构化的方式對教材进行处理，在提升教学效率的同时，达到“见木又见林”的效果[2]。以下是笔者在小学数学教学结构化教学实践中的几点思考。

一、自主实践，内化知识结构

当前素质教育改革，对学生的知识实践运用能力培养重视程度较高，教学需要进一步加强知识和经验的联系。教师积极鼓励、引导学生在实践活动中发现、探索、体验、感悟背后的数学思想和方法，并在实践活动中灵活运用数学知识，内化知识结构，实现数学学科与学生自身经历、体验的有效融合，潜移默化中培养学生的数学素养。下面以教学“克与千克”设计的几个片段为例展开说明。

1.经历过程，丰富体验

如在“克与千克”教学中，教师设计了一系列活动过程：一是“掂一掂”，先掂一掂一个2分硬币（约重1克），继续掂一掂其他1克和几克物品;二是“猜一猜”，一个鸡蛋有多重，一个苹果有多重;三是“称一称”，利用电子秤确认鸡蛋和苹果的准确质量，看看自己猜得是否接近;四是“想一想”，50个鸡蛋相当于几个2分硬币那么重？1袋100克的黄豆相当于几个50克鸡蛋那么重？

学生在这种有层次、丰富的活动中经历了初步体验1克—再次感知1克—对比推理1克与几克的探索过程。在这样的自主实践后，学生对1克的质量概念的知识建构是清晰且深刻的。学生不仅获得了对1克和几克物品质量的体验，还在愉快的系列活动过程中，发展了他们的操作、推理能力。

2.独立探究，自主感悟

学习任何知识的最佳途径是自己去发现。教学过程的核心是学生的学习活动，使学生充分发挥自己的独立性和主动性。

“克与千克”教学中，学生在掂一掂活动中，找到了2分硬币作为标准，去和其他物品比较，差不多重的就是1克，还发现鸡蛋和苹果比2分硬币重得多。

上述独立探究活动中，学生自主感悟物品的质量，寻找到比较的标准，并自主运用比较策略辨别物品的轻重。学生获得的数学学习能力，是建立在自己独立探究的基础之上，学习过程中学生真正成为学习的主体，而非教师单向的传递知识与技能。

3.有序操作，建构知识

在认识“克”环节之后，教师继续引导学生展开认识“千克”环节：（1）说一说你带的（  ）重1千克;（2）掂一掂其他同学的1千克物品;（3）辨一辨，大家的1千克一样重吗？ 从中发现1000克=1千克;（4）想一想，多少个50克的鸡蛋重1千克呢？几个2分硬币重1千克？

整节课的设计上，教师根据学生的思维发展特点，依次展开每一环节教学活动，从较轻物品的操作认识“克”，迁移经验到较重物品的操作认识“千克”，最后沟通“克”与“千克”。每一个环节的实践活动，教师引导学生逐步经历有序的操作：具体实物感知—比较分析—推理发现;在操作中，学生对知识的理解从初步的知觉体验，内化为自主感悟，最终实现知识的完整建构。学生通过有序摆弄和操作获取知识，理解知识，从而发展数学思维，培养数学智慧。

二、关联沟通，完善知识框架体系

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。

1.新课教学中有效启发提问，沟通前后知识脉络

教师在传授新知的过程中，要注重对旧知的及时沟通和关联，同时从系统、整体的角度出发，实现对新、旧知识的合理衔接，为学生认知结构的全方位展现提供平台[2]。

如人教版五年级分数的性质教学，是在学生已经掌握商不变规律，理解分数的意义，知道分数与除法的关系这些重要基础上进一步展开学习的。新知探索发现分数的基本性质后，多数教师都会有意识地展开沟通联系，按照教材中原话进行提问：根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，你能说明分数的基本性质吗（图3-1）？

原问题中提示语过多，如果照搬教材的提示语应用于课堂教学，学生往往处于被动接受状态，失去了独立思考空间，不能很好地发挥学生学习的积极主动性。被教师牵引着去回忆分数与除法的关系，商不变规律，并非学生自发寻找，建构知识的过程。思考的方向和内容都是教师给予的，不利于后续学生的自主发展。笔者在教学这部分内容前，也一直在思考，如何设计能让学生成为自主研究者，启发学生自主发现、联想与分数基本性质联通的前序知识，建立知识结构框架？几次尝试后，有了下面的教学片段：

读一读刚刚你们总结的分数基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数，0除外，分数大小不变。对于今天的发现，你有没有一种似曾相识的感觉？学生提到以前学习过小数的基本性质，商不变规律，积的变化规律和积不变规律。教师将学生回忆起的知识内容逐一呈现（图3-2）。通过观察筛选，学生意识到原来商不变规律和分数基本性质在语言描述上是那么相似。随后就有学生从分数与除法的关系角度解释商不变规律与分数的基本性质，进一步梳理沟通，深入感受各部分之间的密切联系。

分数的基本性质：

教师的启发式提问“对于今天的发现，你有没有一种似曾相识的感觉？”，触发学生的知识记忆库，去搜索相关知识储备和学习经验，实现了与前序知识之间的有效沟通。教师通过新授课上的启发式问题引导，帮助学生了解知识的生长点，激发学生把握结构后自主建构学习的积极状态，实现前后知识从孤立走向结构，也让后续知识的学习有章可循。如后面再学习相关新知：比的基本性质时，学生就能够主动运用已有方法和学习经验实现正迁移，唤起对之前旧知内容的联系，从而逐步构建新的系统性知识结构（如图3-3）。

2.复习课上合理整合内容，建构完善知识体系

在平时的教学中，教师要吃透教材，既有对每一学段教材的局部理解，也要对小学数学全套教材有整体把握，处理好局部知识与整体框架，让教学不再零散、碎片化[3]。复习课上，教师合理整合各个阶段的学习内容，跨越教材编排限制，打破常规单元内知识梳理，找到衔接点重组关联，将构成一个具有更大包摄性的知识系统。

例如，在圆柱圆锥单元复习课中，教师通常会先对单元知识展开梳理，再结合练习进行巩固和提升。也有教师的处理别出心裁，立意深远。

教师首先和学生回顾所学的不仅有圆柱和圆锥两类图形相关数学知识，还有熟悉的其他立体图形（图4-1）。课堂伊始，教师呈现了圆柱、长方体、正方体、圆锥、球、三棱柱多个立体图形，并提问哪些图形可以和圆柱分为一类？说一说你的理由，他们有什么共同之处？在任务驱动下，学生畅所欲言。有学生认为长方体、正方体和圆柱可以分为一类，它们都是直柱体，体积公式都是“底面积×高”。此刻马上有学生补充，三棱柱也符合直柱体的特征，上下底面完全相同。至此，教师再次引导学生思考：这些图形除了这些共同之处以外，你还有新的发现吗？细心的学生开始关注到，这些直柱体不仅上下底面完全相同，它们的表面积都可以用“2个底面积+1个侧面积”计算。其余学生若有所思，原来表面积也有共通之处。随着思考的深入，又有人意识到侧面展开都是长方形，侧面积计算有一个通用的公式“底面周长×高”，教师还结合课件对四个图形侧面依次展开呈现，让所有的学生直观看到侧面积情况（图4-2），建立表象。随即又有学生提出，圆锥也可以和圆柱是一类，它们都有部分面是圆形的。

课堂中，教师鼓励学生积极表达自己的想法和意见，在交流碰撞中学生不断修正自我，促进思维迸发，在密切的师生交互中，学生都找到了和圆柱分为一类的这些立体图形的共性，通过简单的归类，不仅分出来类别，更是寻找到了看似不同形状的立体图形之间千丝万缕的联系，不仅有复习之前已经掌握的，也有在此基础上进一步挖掘的新发现、新思考。

在给圆柱找同类的任务驱动下，学生不仅加深对本单元两种立体图形的认知和理解，复习圆柱圆锥的特征、表面积、体积等知识，还进一步全面认识、充分掌握以上不同立体图形之间的整体联系，挖掘出共性。教师精心整合素材，关联沟通，从局部走向整体，展开结构化教学，帮助学生构建完整的立体图形知识网格，促使学生对立体图形的认识进一步系统化，深刻感悟知识间的关联，丰富完善已有认知。不同于寻常复习整理课，仅仅立足本单元内知识，而是以更上位视角，建构出立体图形特征更大的框架体系（如图4-3）。复习课上的合理沟通联结，展开结构化教学，将原本复杂知识进行条理化和直观化处理，有助于挖掘数学概念潜在联系，加深对数学知识的理解，瞻前顾后，沟通知识的前联和后延，为学生创设结构化的学习途径。

三、巧设练习，促进思维结构化发展

练习是学生形成完整认知结构不可缺少的环节，是巩固知识，形成技能的基本教学形式，是培养学生能力、开发学生思维的重要手段，是渗透数学思想，提高数学素养的助推器。教师巧设练习，设计有层次的练习，按照知识的内在联系和学生思维的发展特征，阶梯型一步步呈现题目，不断深入，能使新知识和思维方式被学生同化并融会贯通加以运用。学生在练习中不断学习、思考，寻找到更多的知识延伸点，思维得以升华，促进学生思维结构化发展。

如图5-1，圆柱圆锥练习课中，教师设计了下面这组阶梯型练习，依次呈现给学生。

问题（1）：图1和图2分别绕着轴旋转得到的立体图形体积比是多少？

问题（2）：图1和图2分别绕着轴旋转得到的立体图形体积比是多少？

问题（3）：求图1绕着轴旋转得到的立体图形红色部分与蓝色部分的体积比是多少？

1.基础练习——巩固知识，提升技能

问题（1）学生基本都明确长方体各部分与形成的圆柱各部分的关系，能正确找到两个圆柱的半径和高。主要有以下两种解决方法：

一半以上学生采用方法1先计算出两个圆柱的体积，再化简得到体积比5∶3。也有少数学生在计算上进行简化，不计算出体积直接化简得到5∶3。交流比较后，大家比較赞赏方法2，在计算上更方便。于是教师追问：从方法2中你知道结果5和3分别是这个圆柱的哪一部分吗？寻着化简的痕迹，学生很快确定就是原来圆柱的半径。有学生马上明白了：体积比就是圆柱的半径之比啊，看来以后不用那么麻烦去计算了。

这个基础练习不仅巩固学生对图形运动前后各部分之间的联系，掌握圆柱的体积计算，更是通过同一个长方形让学生进一步优化计算技能，感受到绕长和宽分别旋转得到的圆柱的体积比就是对应的半径之比，为后续感悟更深层次的数学内涵打下基石。

2.变式练习——培养能力，灵活思维

问题（2）一出，马上有学生开始动笔计算了，也有学生继续观察屏幕中的两幅图，不动笔就举手示意知道结果。采用计算方法的学生认为两个三角形分别旋转得到圆锥，找到半径和高，算出圆锥的体积快速化简后是5∶3。也有学生觉得不需要那么麻烦去计算了。现在的两个圆锥和刚才的对应的圆柱等底等高，圆锥体积就是原来圆柱的三分之一，圆柱体积比是5∶3，那么圆锥体积比也是5∶3。

问题（2）在问题（1）的基础上稍加变化，平面图形从长方形变为三角形，旋转得到的立体图形从圆柱变为与它等底等高的圆锥。既是对问题（1）的巩固，又是进一步的延伸与拓展。受问题（1）的经验积累迁移，获得了解决这类问题的思路，学生在计算上更简便。还有主动延伸沟通圆柱与圆锥的关系，不计算就解决问题的，将圆柱圆锥知识寓于知识结构中让学生联系沟通。虽然这些办法都可以解决问题，但背后体现思维的深度和广度却是不一样的，变式练习让不同学力的学生的思维得到不同的发展与提升，有利于提高学生思维的灵活性。

3.发展练习——促进思维结构化

问题（3）设计了有难度的发展题目，难在思维上，但难而有度，难而可攀。

教学片段回顾：求图1绕着轴旋转得到的立体图形红色部分与蓝色部分的体积比是多少？几乎是看到问题后，就有学生大喊1∶1，期间也有反对声音说1∶2。追问认为是1∶1的学生是怎么想的，他们认为红色和蓝色的平面图形的面积比是1∶1，那么旋转得到的立体图形的体积比当然也是1∶1。这个理由得到了很多支持。再询问1∶2的学生是怎么想的，他的思考是红色旋转出来的是一个圆锥，整个长方形旋转得到的是圆柱，圆锥和圆柱的体积比应该是1∶3，那么剩下蓝色部分旋转出来的体积是圆柱的三分之二，所以红色和蓝色部分对应立体图形的体积比是1∶2。此话一出，不少刚才还觉得是1∶1的学生就马上换阵营了。当然还是有部分学生想不明白，仍然坚持1∶1确实很有道理。

同一年龄阶段的小学生中，不同的个体可能表现出不同的水平。始终坚持认为1∶1的这类学生只达到了空间表象的水平，这是受平面图形的表象干扰，无法正确想象出变化后的立体图形的样子，出现了错误。

此处教师特意在学生有了初步的抽象思考和想象后再呈现旋转后的立体图形。通过从抽象想象到具体图形的呈现不断提高学生的想象认知水平。学生通过直观观察意识到不能被平面图形的表象迷惑，轻易下结论，还是得仔细分析平面图形旋转得到的立体图形特征。

从基础题到变式题再到发展题，对学生的思维挑战一步步提升。学生逐渐经历了解决这类问题思维方法的建立到应用再到最后的打破，层次分明。练习设计要求变，不断激活学生的思维，开阔解题思路，提供宽广的思维空间，体会数学的魅力;联系设计更要求联，揭示数学知识的内在联系，促使学生不断进行思维碰撞，挖掘知识和思维的潜在联系，提升思维的全面性、有序性、系统性和深刻性，促进思维结构化，提升数学素养。

总之，结构化教学是提升学生数学核心素养的重要路径。教学中，教师要组织学生经历自主实践过程，体验、感悟、内化知识结构，实现知识的有效建构。教学内容的合理设计与整合，助力学生逐步构建起前后知识的桥梁，完善知识结构，对知识形成结构化认知。巧设层次分明的练习，促进学生思维有序性发展和全面性发展，不断走向深处，发展结构化思维，提升数学核心素养。

参考文献：

[1]陈琦，刘儒德.当代教育心理学：第二版[M].北京：北京师范大学出版社，2007：162.

[2]刘莉.见木又见林：小学数学结构化教学的思考与实践[J].数学之友，2018（12）：26-29.

[3]焦肖燕.在结构化教学中让学生见“树木”更见“森林”：《面积单位》教学片段与反思[J].江苏教育，2012（28）：54-55.

[4]余丽娟.小学生数学思维结构化的培养策略[J].数学学习与研究，2019（6）：121-122.

[5]吴玉国.走向深度的小学数学结构化学习[J].江苏教育，2017（2）：67.

[6]钱守旺.打造动感课堂的66个细节[M].福州：福建教育出版社，2018-06：45-48.

編辑 李建军