基于学生发现 凸显数学本质——“解决问题的策略（‘一一列举’）”教学实践与思考

江苏无锡市新吴区春星小学 朱丽芳

教学内容：苏教版五年级上册第94 页例1，练一练第1题，练习十七第2、第3题。

教学目标：

1.使学生经历有条理地分析数量关系并有序地列举问题的所有可能结果、寻求符合问题要求答案的过程，认识解决问题一一列举的策略；能根据问题条件依照一定的顺序列举符合要求的所有答案，用一一列举策略解决一些简单的实际问题。

2.使学生在解决简单实际问题的过程及反思、交流中，感受“一一列举”的特点和价值，体验有序思考的思想方法，发展思维的条理性和严密性。

3.使学生主动参与探究问题解决途径的活动，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识。

教学重点：让学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程，感受列举策略的特点和价值，增强分析问题的条理性和严密性。

教学难点：根据不同实际问题的特点，通过合乎逻辑的有序思考，不重复、不遗漏地列举符合要求的各种情况。

教学准备：课件、学习单、方格纸。

教学过程：

一、情境导入，认识策略

1．提出问题，引发动机

师：这位是在花圃工作的王大叔，他碰到了一个难题，需要我们的帮助，一起来读一读。从题目中你知道了哪些数学信息？

生1：长方形的周长是22米。

生2：长加宽的和：22÷2=11（米）

生3：整米数。

师：分析完题意，你能一下子获得答案吗？那你打算怎样解决这个问题？

生：可以把和是11的两个数都列出来。

师：为什么非要把所有情况都列出来呢，列两三种不能解决问题吗？

生：要找到面积最大，就必须把所有情况都列出来才能比较。

2．合作探究，优化策略

出示要求：请同桌合作选择喜欢的方法列举出长方形的长和宽，可以在方格纸上画图、也可以直接记录在作业纸上，再把思考的过程和同桌说一说。

师：看他用画图找到了这三种长方形，对不对，你还有其他想说的吗？

生：还少画了两种。

师：再来看这位同学都列全了吗？你有没有什么意见给他提一提？

生：列全了，但他写得有点乱，没有按照顺序写。

师：再看看这张，请这位同学说说你是怎样想的。

生：这一列表示的是长，这一列表示的是宽，先确定长，从最大的10 开始想起，因为长最大是10。

师：他是先确定长，再想宽。还可以怎么样？

生：还可以先确定宽，再想长，宽是从最小的1开始想。

师：如果先确定长，就从最大的10开始想；如果先确定宽，就从最小的1 开始想。列举的时候思路可以是多样的，但一定要找准起点按顺序列举。

师：为什么到宽5米，长6米就好了，后面还有吗？为什么？

生：没有了，后面就重复了。

师：这样有序的列举有什么好处？

生：不重复、不遗漏。

师：老师这儿还收集了几张，有文字描述的、有画图的、有列表的，他们都找全了吗？还有什么共同特点？

生：都是有序列举的。

师：虽然呈现的方式可以不同，但只要有起点按顺序地把各种符合要求的情况一个一个列举出来，就是一种非常好的解决问题的策略，叫作一一列举。

【思考】本环节以大问题的形式展开探究，引领学生拾级而上。通过漏—乱—序的列举呈现以及适时的追问，学生能发现，因为无序，所以容易遗漏，因为有序，所以不会重复，也不会遗漏，而且还有便于发现规律，体悟策略的意义，体验发现的愉悦。在介绍学生的有序列举时，首先把长从大到小列举和宽从小到大列举两种思考方式进行比较，也体现了列举思路的多样性。其次三张有序列举的学习单（列算式、文字描述、列算式）非常有特点地排除了无关特征，凸显出有序的本质属性，归纳出一一列举的根本要素：有序就能做到不重复、不遗漏。

3．列表列举，发现规律

师：如果将这位同学的写法横过来并列成表格，就可以这样进行一一列举。我们就先确定宽，从几开始，一起说，宽是1，长是10……检查一下有没有重复和遗漏。

师：长是6，宽是5，面积最大。这下王大叔可以在花圃里种上更多的花草了！

师：观察下表，比较它们的长、宽和面积，你有什么发现？

生：周长一定时，长和宽越接近，面积越大。

4．回顾反思

师：同学们，请你回想一下，我们是怎样解决这个实际问题的？谁能完整地说一说。

生：先分析题意再算出长加宽的和，用一一列举的策略在表格中找出各种情况，检查有没有重复遗漏，最后比较写答。

师：回顾解决问题的过程，你有什么体会？和同桌说一说。

生1：用一一列举的策略可以解决实际问题。

生2：一一列举之后还要进行比较。

生3：有序地一一列举就可以做到不重复、不遗漏。

【思考】本节课的例题，解决问题的过程很长、很复杂，这时教师要注意停一停，快思慢想，让学生回过头去看一看，这个问题我们是怎么解决的，回想整个解题步骤，列举在解决问题的过程中有什么作用，这样就不是为了列举而列举，而是在提炼出一般性方法步骤的基础上从大问题背景中凸显列举的价值，将解决问题和策略相互融合、相互成就，对学生感悟数学思想、发展思维能力都有着长远意义。

二、巩固练习，丰富应用

1．出示练一练第1题

师：为了更好地管理花圃，王大叔设置了闹钟，每隔一段时间就发出铃声，谁来读一读？从题目中你知道了什么？你想怎样解决这个问题？就是应用了什么策略？完成学习单。

生：从11 时开始，用依次加40 分钟的方法有序地找到了这些时刻。

师：还要继续吗？为什么？

生：不用了，问题只问到16时就没有了。

师：有时只需要在有限的范围内进行一一列举。做完了吗？还要进行比较。王大叔的闹钟在哪些时刻会发出铃声，一起答一下。

2．练习十七第2题

师：新建的花圃需要购买一些种子，王大叔准备去这三个网站比较一下价格，他还发现每个网站会定期更新价格，谁来读一读。从题目中你知道了什么？你想怎样解决这个问题？

生：亚马孙每两天更新一次，京东每三天更新一次，淘宝每四天更新一次。可以列表进行一一列举，更新的网站做上记号。

师：现在你知道哪些天没有网站更新吗？哪一天同时更新呢？一起答一下。

师：我们用了怎样的策略解决这个问题？这样解题有什么好处？

生：我们用一一列举的策略并用表格的方式解决了问题，简洁、清楚、准确。

3．练习十七第3题

师：王大叔为了感谢我们的帮忙，还特意写了封感谢信，正贴邮票呢，你贴过邮票吗？看老师这里就有几封信（实物展示），信封上可以只贴一张邮票，也可以贴几张邮票。

师：你知道什么是邮资吗？一张邮票，那只有一种邮资，就是100分。那两张邮票，有几种不同的邮资？4 人小组讨论一下。你想怎样解决这个问题？你是怎么想的？

生1：从小到大一一列举，80 分、100 分、180分。

生 2：先想 1 张的有两种 80 分和 100 分，再想两张的有一种80+100=180（分）。

师：看现在这里有4张邮票，再让你选择，你会选择什么样的方法？

生：第二种方法。

师：我们在解决更为复杂的问题时可以先分类再一一列举。请在草稿本上把不同的邮资一一列举出来。

学生汇报交流。

【思考】本环节在出示问题并让学生分析完题意之后，让学生主动思考和表达：你打算怎样解决这个问题？突出对一一列举策略的需求，有时学生的答案也许并不像教师所期待的那样完整、准确，但肯定也会是一一列举的策略。为了让学生更易理解邮资的问题，教师不仅当时展示并说明了邮资的含义，还通过分层练习，让学生逐步感受先分类再一一列举这个策略对解决这一类问题的价值。在整个题目解决完之后还进行追问：我们用了怎样的策略解决这个问题？都是为了让学生提升一一列举策略的应用性。

三、全课总结，拓展延伸

师：同学们，通过今天的学习你有哪些收获？

生1：我学会了用一一列举的策略解决实际问题。

生2：不同的问题要找到合适的方法有序列举，确定好从哪里开始一一列举。

师：今天学的这个策略在很早以前是个小朋友发现的，我们一起来听一听。

师：这个小朋友是谁啊？为什么要这样围呢？

生：他是欧拉，当周长一定时，长和宽越接近，接近到相等时，面积最大。

师：希望同学们也能学习他爱思考、爱探索的精神。出示课后思考题：王大叔要用12 块边长1米的正方形草皮来铺成大块的草坪，怎样铺能让围篱笆的木条最少呢？

【思考】

1．素材，合乎情理的发现动机

五年级学生已经有了从条件出发分析和解决实际问题、从问题出发分析和解决实际问题、从条件和问题出发灵活确定解题思路、用画图的策略整理条件和问题的基础，对于有序列举也有了一些零散的经验，这节课就是要让学生对这部分内容有完整、深刻的认识。本课创设了花圃王大叔的一系列生活情境，营造自由、轻松、熟悉、利于学生发现的环境氛围。教师结合学生实际水平，巧妙利用学生的生成资源，把教材划分为一个个的发现过程并制定出具体要求，把复杂问题简单化，引导学生经历发现的过程。五年级学生的抽象思维已得到一定发展，很少学生会选择用摆小棒的方式进行列举，不仅费时而且无法将各种情况都摆在桌面上进行观察比较，列举的时候容易出现重复和遗漏。但还是考虑到一部分学生的抽象性水平较低，所以安排了利用在方格纸上画图的方式进行列举，引导学生思维与操作相结合，利于这部分学生把抽象问题形象化。在课堂上，我们抛出的问题常常是那几个发言比较积极的学生回答，我们就认为这部分内容学生理解了，而忽视了基础较薄弱、理解能力较慢的那些学生，要想渗透到这部分学生，引导学生自主与合作相结合是一种较有效的学习方式，在交流中学生能相互感受不同的思维方式，获得激励和启迪，这样学生的理解会更有深度，才能真正建设以学为中心的浸润式的课堂。

2．立序，合乎逻辑的有序思考

要想学生有序，教师首先得做到有序，课堂节奏一定要清晰，要让学生在解决每一个实际问题的过程中都经历分析题目、策略解题、检验写答的完整过程，发展思维的条理性和严密性。分析题意是准确解决实际问题的前提，也是提高教学质量的有效措施。整节课不管是在新授还是在练习时，都非常注重强化学生分析题意的意识，包括分析题目中所表达的信息及问题。注重解决问题的完整性，在一一列举出各种情况以后都会有意识地引导学生接下来不要忘了比较和写答，帮助学生养成良好的解题习惯。策略解题部分由于用一一列举的策略解决实际问题的题型有很多种，没有统一的模型，那么就要让学生在解题前先考虑清楚这两点：第一，起点是什么，也就是从哪里开始一一列举，这是有序列举的前提。第二，在探究解决问题的途径时，能引导学生找到问题的突破口，理清一一列举的依据，如果是解决比较复杂的问题，那可以先分类再一一列举。学生掌握这两点才能真正理解什么是有序，真正做到有序列举。