单位球上QK(p,q)之间的包含关系

胡 蓉

(四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000)

1 预备知识

定义1[11]Bα空间定义为

在下文假设K(r)满足条件

(1)

否则QK(p,q)为只包含常值函数的平凡空间[5].

(2)

当0

故有

充分性.因为

证明记w=rz，易得

所以

从而

3 QK1(p,q)和QK2(p,q)的包含关系

定理3如果存在t0>0，使得对任意的0

证明由g(z)的定义可得，存在δ∈(0,1)，使得当|z|≥δ时，g(z)≤g(δ)=t0，从而K1(g(z))≤CK2(g(z)).任取f∈QK2(p,q),a∈Bn，有

即f∈QK1(p,q)，得证.

注：该定理说明要比较QK1(p,q)和QK2(p,q)，只需在原点附件比较核函数K1(t)和K2(t)的大小.

下面定理将给出当K1,K2满足一定条件时，QK1(p,q)和QK2(p,q)之间的真包含关系.

QK2(p,q)⊂QK1(p,q).

证明由于K1(r)≤K2(r),r∈(0,1)，根据定理2可得QK2(p,q)⊆QK1(p,q).

假设QK2(p,q)=QK1(p,q)，由开映射定理[12]可知，存在非负常数C，使得

(3)

则

(4)

(5)

利用Fatou引理[12]有

与题目条件矛盾.故QK2(p,q)≠QK1(p,q).得证.