结合非局部先验性与加权核范数最小化的声纳图像去噪

石建飞，唐玉波，孙裕超

（1.中国电子科技集团公司第三研究所，北京 100015 ；2.航天系统部，北京 100000）

1 引言

随着人类探索海洋的前进步伐和世界各国海洋技术的深入发展，被誉为水下摄影机的图像型声纳的应用愈发广泛。但是，由于海洋水下的复杂声学环境合声纳系统本身的噪声干扰，接收的回波数据经常会被各种噪声污染。因而，对声纳图像进行数学分析和目标提取，并针对图像的去除噪声进行预处理，不可或缺［1］。

目前，对声纳噪声抑制的研究主要为空域滤波和频域滤波两大类。空域滤波（包括中值滤波［2］、基于偏微分方程的声纳图像去噪［3］等）能够在一定程度上减弱噪声，但由于计算声纳图像统计特性时，滑动窗口的尺度对噪声抑制的效果影响大，且会对声纳图像产生过平滑作用，导致图像将丢失细节信息。频域滤波主要是基于多尺度几何变换域的相干噪声抑制过程，通过对遥感图像在变换域的系数收缩进行去噪。多尺度几何变换是为了克服二维可分离小波变换不能有效表示图像而发展的技术，能够有效表示图像中存在的奇异曲线或曲面，从而更稀疏地表示图像的本质特征［4-5］。目前，流行的变换域声纳图像噪声抑制算法使用的多尺度几何变换主要包括Contourlet 变换、多小波变换、改进的Curvelet 变换以及Ridgelet 变换等［6-9］。基于变换域的算法有效抑制了声纳图像噪声，但是由于变换域固有的一些缺点，导致变换域的去噪算法往往会产生像素扭曲，且这类算法多数仅仅考虑本像素点和其邻域像素之间的统计数值，没能充分利用矩阵的统计特性和局部相似区域信息两个因素，因此去噪有效性有待论证。

灰度图像一般可以作为一个矩阵来进行研究和操作。随着矩阵理论和图像统计学的持续发展，近几年数字图像处理领域出现了一种新的行之有效的方式，即基于低秩矩阵的数字图像处理方法。当前，这种算法已经成为世界范围内该领域的研究热点［10-13］。自然图像一般带有低秩特性，而带噪图像的低秩特性被大打折扣［13］。水下声纳图像与可见光图像类似，由于图像数据的冗余性和自相关性，在局部存在规则的几何纹理和结构性特征，使得图像矩阵出现局部区域低秩特性［13］，等同于利用低秩矩阵近似解决噪声去除问题。

低秩矩阵的噪声控制一般都可以等价为求解低秩矩阵逼近的问题。一般来说，低秩矩阵逼近的常用算法通常有核范数最小化方法（Nuclear Norm Minimization，NNM）和低秩矩阵分解方法（Low Rank Matrix Factorization，LRMF）两种。其中，LRMF 一般利用原始数据中的保真函数来逼近带噪声的原始数据。带有噪声的信号可以表征为两个低秩图像矩阵的积，从而计算出图像中包含的噪声［14］。但是，由于LRMF 没有松弛特性，因此图像去噪的计算复杂度很高，对应的滤波效果不明显。NNM 着眼于LRMF 计算复杂度高的硬伤，在特定条件下有能力求解出其解析的最优解，所以一经提出就成为焦点［13］。文献［12］提出加权核范数最小化的框架思路，也就是在进行核范数最小化计算时把奇异值进行配重，那么最优化的结果就变成奇异值与阈值一一对应的操作，有益于图像去噪。因此，本文在此基础上进行声纳图像噪声控制。

以上提出的方式均在使用图像的先验知识进行相干性噪声抑制。非局部平均（Non-Local Means，NLM）去噪算法［15］恰恰是一种利用图像自带的冗余信息的特点，运用非局部自相似性进行图像去噪的算法。算法的核心是利用双窗口之间的相似性，而不是仅利用像素之间的关系来计算像素的灰度值，打破了传统像素加权中局部思想的框架，同时利用图像自带的相似性和冗余信息，保证了去噪滤波效果。

虽然非局部去噪算法在噪声抑制领域已经取得了较好效果，但受到块效应影响，非局部去噪算法极易带来纹理，感官视觉会出现不适。基于核范数最小化的去噪方法可以很好地使用矩阵低秩特性解决此问题，但文献［12］提出的基于核范数最小化噪算法并未利用矩阵的非局部信息，由此可知若在利用核范数最小化进行噪声控制的过程中，增加图像的非局部先验信息，将有效改善去噪后的感官效果。因此，本文将声纳噪声矩阵的非局部先验信息用到基于核范数最小化的去噪算法模型中，得到了非局部先验性的核范数最小化噪声抑制算法。该算法不仅能够利用核范数最小化去噪优势，还借助了非局部去噪算法的优势，为解决声纳图像去噪提供了一种全新的理论思路。

2 基础理论

2.1 加权核范数最小化概念

一般地，将带有噪声的声纳图像去噪模型简化表示为：

式中，x代表清晰的图像，y代表带噪图像，n表示高斯噪声，其噪声方差为σn。下面介绍文献［12］提出的选用WNNM 的图像噪声抑制算法。由自然图像的统计特点可得，x具有低秩性［13］。因此，可以利用WNNM 模型进行噪声去除，即去噪问题变换为求得优化问题：

2.2 非局部去噪

对含噪声图像序列v(i)={v(i),i∈y}（其中y表示含噪图像）中的某个像素点k，约定Nk代表以k为中心的矩形邻域（一般设长宽大小一致为M），那么图像y中的像素点i和像素点j的相似权重可以利用式（6）计算［18］：

z(i)表示权值的归一化系数，而h表示图像平滑度参变量。h通过变换指函数的衰减来制约权值的大小，同时控制平滑噪声的程度。如果h相对较小，幂函数的衰减效果会比较明显，其细节保留程度会较高，也会保留图像自带的纹理细节等信息。由于像素i、像素j相似度依赖矩形邻域v(Ni)和v(Nj)的相似程度，因此权重越大矩形邻域相似度越高。同时，权值α(i,j)还满足以下条件［15］：

虽然非局部去噪算法已经可以非常好地应用在噪声抑制过程中，而且能够取得良好的运算效果，但受到分块方式和块之间匹配的影响，基于分块的非局部去噪算法容易带来人造纹理，进而带来感官上的不适。对于自然物体所成的声纳图像和超声图像，视觉误差一般会被人眼忽视。但是，对于经过多种传感器获取的融合后的图像和人造图像而言，这种视觉误差不容小觑。而加权核范数的去噪算法可以采用矩阵的低秩信息解决这个问题，因此本文结合两种算法进行声纳图像去噪。

3 结合非局部先验的加权核范数最小化去噪算法

式中，xNL表示去噪后的结果，Ω 代表非局部去噪搜索窗，α(i,j)表示双相似像素权值。权值α(i,j)与两个像素的位置和相似函数的定义相关，可根据具体的使用场景设计。如果要把非局部先验知识增加到加权核范数最小化去噪算法中，那么最简易的方式是将式（9）作为模型（2）的限制条件，然后针对模型进行求解，可表示为：

为便于求解，利用拉格朗日乘子法把式（10）转换为式（11）进行求解。

式中，γ为一个常数因子，可根据实际情况确定。

从无约束的最优化可求解条件来说，式（11）可利用KKT 条件进行求解。

用交替迭代的计算方式求得之前所述的算法模型，式（11）有λ和x两个未知变量，因此在求解上述结果时可以固定某个值，而求解另一个值的方法得出最终的运算结果。以上所述的算法就是交替迭代求解算法的基本过程。

4 实验结果与分析

为了验证本文算法针对声纳图像的适用性，对如图1 所示的fish 和蛙人声纳图像其进行噪声去除试验。

去噪算法分别为文献［2］提出的中值滤波和图像形态学的声纳去噪算法（MED）、文献［6］提出的基于Contourlet 的HMT 模型声纳图像去噪算法（CT-HMT）、文献［7］提出的基于改进的小波变换的声纳图像去噪算法（MWT）、文献［8］提出基于Curvelet 的水下声纳图像去噪算法（CURT）、文献［9］提出的基于FRIT 循环抽样声纳图像去噪算法（FRIT）和文中提出的融合非局部先验与WNNM的去噪算法（NL-WNNM）。图2 和图3 给出了Matlab 试验结果。

从图2 对fish 声纳图像实验结果可以明显看出：图2（a）中MED 去噪后的图像仍然包含有诸多噪声；图2（b）中CT-HMT 去噪后的目标边缘有模糊现象；图2（c）中的MWT 去噪算法虽在去噪结果上有明显效果，但是图像处理结果损失了很多细节；图2（e）中的CURT 噪声控制算法虽然有效处理了图像中目标边缘模糊的现象，但是对声图噪声抑制的效果不理想；图2（e）中FRIT 噪声去除算法虽对噪声有很好的去除作用，也比较完整地保留了图像的边缘信息，但是图上显示还留存一些微弱杂噪声；图2（f）的NL-WNNM 算法具有更好的感官效果，充分说明了所提算法的优势。

图3 给出对针对蛙人声纳图像利用上述去噪算法后的显示图。该生成图中各个算法的处理效果与对fish 声纳图的去噪的表现十分相似，显然所提算法的去噪效果相对最好。

为了更好地展示所提的算法优势，选取4 种典型客观评价标准来证明NL-SR 算法的实际能力优势。这4 个典型客观评价标准分别为边缘保持指数（Edge Preservation Index，EPI）［13］和峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）［5］。其中：PSNR 的值越大，表明算法的去噪能力越好；SSIM越大，表征算法的边缘保持能力越好。表1 给出了对含有不同噪声的含噪声纳图像进行去噪后每种算法的客观评价数值。

表1 不同去噪方法的客观评价

从表1 的客观指标可以显示，相比其他噪声控制方法，非局部先验性能够更好地保留图像的结构性信息，使NL-WNNM 的SSIM 比其他去噪算法性能更优，而基于加权核范数最小化的噪声抑制则能更好地抑制噪声，是NL-WNNM 算法的PSNR 比其他去噪算法更高的根本原因。由表1 可以得出，结合两种算法的计算方式取得了良好效果，说明采用两者结合的算法进行相干噪声抑制是正确的选择。综上所述，本文提出的算法不仅在相干噪声抑制方面具有优势，而且经过该算法去噪后的感官效果较好，具有很好的轮廓信息保持力，在保留声纳纹理上存在优势。

5 结语

为了解决由加权核范数最小化去噪带来的纹理细节丢失、边界模糊等相关问题，控制由于块操作非局部去噪算法带来的纹理问题，将非局部先验性当做限制性条件融入基于加权核范数最小化的去噪模型，以充分利用两种算法的优势，将声纳图像去噪变为一个求解最优化的问题。通过比对多种算法的噪声抑制效果，结合主客观评价指标，表明所提算法具有良好的噪声抑制效果。