例谈解排列组合问题的数学思想与方法

2020-12-15 10:49张发
文理导航 2020年35期
关键词:排列组合数学思想方法

张发

【摘 要】本文通过具体教学实例,讨论了高中数学中的排列组合问题,得出分类讨论、对称或排异除重等基本数学思想,以及特殊优先法、捆绑法、插空法等基本数学方法。

【关键词】排列组合;数学思想;方法

排列组合作为中学数学中的一部分基础内容,其在实际生活中的应用比较广泛,历年高考时排列组合内容的考查多以实际应用题形式出现,其解题过程出现思辩性和解法的多样性,对运用数学思想及方法技巧的要求较高,这就要求教师在平时的教学中,把培养学生的思维能力、对数学思想的渗透及方法的总结作为教学的重点。

在中学教材中,排列是指从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排成一列,记为Anm(n≥m)。组合是指从n个不同的元素中取出m个元素并成一组,记为Cmn(n≥m)。排列与组合的基础就是两个原理:分类原理(加法原理),即完成一件事情共有m1、m2、…、mn類办法,那么解决此问题的方法种数是n=m1+m2+…+mn。分步原理(乘法原理),即完成一件事情共有m1、m2、…、mn个步骤,那么解决此问题的方法种数是n=m1m2…mn。

下面以一些实例来浅谈在排列组合问题的解决中如何渗透数学思想、以及常用的一些方法解题方法。

一、基本数学思想

解决排列组合问题的基本思想主要有:分类讨论、对称或排异除重、递推、等价转化、正难则反等。

(一)分类讨论思想

对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况进行合理分类与准确分步,分类时应根据同一标准,做到“类与类”之间具有并列性、独立性和完整性;分步时要注意“步与步”之间的连续性、独立性和依赖性;尽量做到不重复不遗漏,有时还可能涉及到逐级分类。

例1 从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复),要求每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个,共有多少种不同的排法?

可先考虑:一类是字母O、Q和数字0只出现一个,只出现数字0有C19C23·A44种,字母O与Q出现一个有C12·C13·C29·A44;另一类是字母O、Q和数字0都不出现有C23·C29·A44种,故共有(C19C23+C12·C13·C29+C23C29)A44=8424种。

(二)对称思想或排异除重

在数学中,对称思想是运用较为广泛的,它是数学中的一种“美学”。在排列组合问题中,当遇到相同的情况,如在排列中三个元素甲、乙、丙的相邻或不相邻问题,丙在甲左与丙在乙右是对称的,是相同的问题,只要把其中的一种问题搞清楚,另一问题可仿此写出。

例2 7个人并排站成一排,要求甲、乙都与丙不相邻,共有多少种站法?

解析:此类问题应先着眼整体,7个人排成一排共有A种站法。再考虑不合条件的情况:丙站在甲、乙中间的站法有A55·A22种(即将甲、丙、乙捆绑分析)甲与丙相邻和乙与丙相邻的站法均有A66种·A22种。但甲、丙相邻和乙、丙相邻的站法中均包括了丙站在甲、乙中间的站法,故根据分类计数原理和整体排异除重策略,采用间接法可知,共有n=A77-2A66·A22+A55·A22=2400种不同方法。

(三)递推思想

在不能或直接利用分步、分类的方法解决排列问题有困难时,可以从最初、最简单的问题入手,逐步深入和推广,找出规律,达到问题的最终解决。

例3 在线段A1An(n≥2)上共有n个点A1,A2,…,An,给这些点的一部分(或空集)染上红色,使得已染色的点均不相邻,问共有多少种染色方法?

解析:首先,第n个点有两种可能:①未染色,则前n-1个点的染法数为Ln-1种;②染上红色,则第n-1号点不能染色,设n-2个点的染法数为Ln-2种(注意:“空集”染色即所有的点不染色);

其次,根据分类计数原理,即可得结果Ln=Ln-1+Ln-2,L2=3,L3=5。通过递推关系总可得到n取其它值时的染色种数。

(四)等价转化

1.建构插板模型

将n个相同的小球排成一排,它们之间共有(n-1)个间隔,任取(m-1)个间隔,将这n个物体分成m个部分(m≤n,m、n∈N*,n≠1),每个部分至少含有一个物体,不同的方法数共有Cm-1n-1种。

例4 将组成篮球队的12个名额分配给7所学校,每校至少1个名额,求名额的分配方法的种数。

解析:这个问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数,相当于用6块闸板插在11个间隔中,名额分配方法共有C611=462种。

2.建构几何模型

如不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有7个。如果把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点、平面α可以分为两类:一是四个定点分布在α的一侧一个,另一侧三个,此类中α共4个(三棱锥的四条高上的中垂面);二是四个定点分布在α的两侧各2个,此类中共3个(在三棱锥内任一点作一对异面直线的平行线确定一个平面,调整该平面到这对异面直线间的距离使其相等;有三对异面直线)。综上,α共4+3=7个。

(五)正难则反

对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时,可先考虑无限制条件的排列,再减去其反面情况的总数。

例5 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中是直角三角形的共有多少个?

解析:方法1,8个顶点中任取3个可构成三角形,但其中有8个等边三角形(比如△A1BC1是以B1为相交棱上的三点A1、C1、B组成),故直角三角形数为C38-8=48个。

二、基本数学方法

(一)特殊优先法

对存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,应先满足特殊元素或特殊位置,再去满足其他元素或位置。

例1:从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函

数f(x)=ax2+bx+c的系数,可以组成不同的二次函数共有多少个?

首先,a是特殊元素,因为a≠0,所以应从除0以外的三个数中任取一個有C13种,b、c应从剩下的三个中任取两个有C13·C12(或A)种。由分步计数原理组成不同的二次函数共有C13·A23=18个。

(二)捆绑法

在n个不同元素中,规定某r个元素连排在一起,这时可将这r个元素视为一个新元素,与剩下的(n—r)个元素进行排列,再将这r个元素全排列。

例2:将A、B、C、D、E、F分成三组,共有多少种不同的分法?

分析:要将A、B、C、D、E、F分成三组,有三类办法:(1-1-4)分法、(1-2-3)分法、(2-2-2)分法。

根据加法原理,将A、B、C、D、E、F六个元素分成三组共有15+60+15=90种不同的方法。

(三)插空法

若问题中规定某些元素不相邻时,一般采用此方法。

例3:要排一张4个舞蹈节目和2个小品节目及4个歌唱节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不相邻,且任何两个小品节目也不相邻,求出所有满足条件的排法种数。

先把4个歌唱节目和2个小品节目排列,共有A66种排法,再将4个舞蹈节目插入7个空,有A47种排法。在A66种排法中,由捆绑法知两小品联排的排法有A55A22种,再将4个舞蹈节目插入6个空有A46种排法。故符合条件的排法种数N=A66A47-A55A22A46=518400种。

(四)先选后排法

先选后排法是高考的常考题型,主要是把问题分成两大步,即先分组再分配。

例4:6个老师分配到3个班里搞活动,每班至少1个人,共有多少种分法?

先把6个老师分成三组,有三类:按“1,2,3”型分组,有C16C25C33=C36C23C11=60种;按“2,2,2”型分组有C26C24C22/A33=15种;按“4,1,1”型分组有C46C12C11/A22=15种。

再把三组去分配,即可完成。

故由分类计数、分步计数原理,共有(60+15+15)A33=540种。

总之,排列组合作为中学数学中的一部分基础内容,在实际生活中的应用比较广泛,其解题过程出现思辩性和解法的多样性,对运用数学思想及方法技巧的要求较高,这就要求教师在平时的教学中,把培养学生的思维能力、对数学思想的渗透及方法的总结作为教学的重点。

【参考文献】

[1]全日制普通高级中学(必修)数学第二册(下B)[M].北京:人民教育出版社

[2]廖东明.解排列组合问题的思想[M].哈尔滨:中学生理科应试,2006.3

(甘肃省临夏县中学,甘肃 临夏 731800)

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