含有理想二极管电路的交变电流有效值及功率分析

◇ 福建 郑小小 黄长福 陈艺斌

(作者单位:福建厦门双十中学漳州校区)

理想二极管具有单向导电性,它接在变压器副线圈回路中时会使得回路结构发生一定的改变,使得求对应的电压、电流有效值时出现困难.此时,对原副线圈电流比是否还跟匝数成反比,原线圈的功率是否还等于负载功率等问题,学生理解起来有点吃力,也容易混淆.本文以两道例题采用两种不同分析方法解出来的结果相互矛盾为切入点,来探究含有理想二极管电路的交变电流有效值及功率关系.

1 交变电流的有效值

交变电流的有效值是为计算功率和能量问题而建立的等效概念,其原理主要是利用电流的热效应,让交变电流和恒定电流通过一相同电阻,经过相同时间,如果产生的焦耳热一样,就把这一恒定电流的数值称为该交变电流的有效值,数学表达式可写为

其中t＝t2－t1,由此可知也就是说,交变电流的有效值是电流在通电时间内的方均根值.

对正余弦交流电来说,我们可以通过简单的积分算出有效值,在一个周期时间内有

如图1所示,当正余弦交流电与理想二极管以及定值电阻串接在一起时,由于二极管的单向导电性,在一个周期内将有一半时间回路中没有电流通过,cd两端的接收电压随时间的变化如图2所示,此时根据电流的热效应有得cd 端电压有效值同理可知这也是整个回路的电流有效值.

图1

图2

2 交变电流的功率

在高中阶段,很多教师和学生都认为交变电流的功率等于电压有效值和电流有效值的乘积,对于纯电阻而言的确如此,但是对于理想电感和电容元件而言其实际功率却是零,具体分析如下.

2.1 视在功率和功率因数

假设某交流电的电压和电流瞬时值分别为u＝Umsin(ωt＋φ)和i＝Imsinωt,则瞬时功率可表示为P＝ui＝UmImsinωtsin(ωt＋φ),其中

由此可知,交变电流瞬时功率

则在一个周期内的平均功率为

其中U 和I 分别为交变电流的电压有效值和电流有效值,它们的乘积称为视在功率,cosφ 称为功率因数.

2.2 电阻、电容和电感对交变电流功率的影响

如果让交流电通过理想二极管,情况又会怎样呢? 结果类似于相位差为的情况,由图1可知,当前半个周期正向电流通过二极管时,理想二极管电阻为零,两端没有电压,而后半个周期电阻无穷大,电流通不过去,尽管此时二极管两端的电压为交流电源电压,因此可以说理想二极管也是一个不耗能元件.

接下来对2014年新课标卷Ⅱ及2020 届湖南省四校联考中含有理想二极管电路的题目进行分析,采用同一种方法解决同一类型的问题,其中一道题目结果正确,而另一题的结果却是错误的,到底孰是孰非,笔者针对这个问题进行了较为详细的分析!

3 试题分析与探讨

例1(2014年新课标卷Ⅱ)如图3,一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表○A 接正弦交流电源,一个二极管和阻值为R 的负载电阻串联后接到副线圈的两端.假设该二极管的正向电阻为零,反向电阻为无穷大.用交流电压表测得a、b 端和c、d 端的电压分别为Uab和Ucd,则( ).

图3

A.Uab∶Ucd＝n1∶n2

B.增大负载电阻的阻值R,电流表的读数变小

C.负载电阻的阻值越小,cd 间的电压Ucd越大

D.将二极管短路,电流表的读数加倍

分析此题参考答案为B、D,对选项D 争议较大,采用两种看似都正确的方法解答结果却不相同.

解法1设副线圈两端电压为U2,则有由于二极管具有单向导电性,根据有效值定义可知将二极管短路,变压器的输出功率为原来的 2 倍,由 P ＝2P1＝UabI1可知,电流表的读数变为原来的2倍.

解法2假设二极管短路前,根据电流值与匝数成反比可知二极管短路后有由解法1可知因此短路后有由于匝数比不变,所以选项 D 错误.

例2如图4-甲所示,理想变压器原线圈匝数n1＝2200匝,副线圈匝数n2＝100匝,电流表、电压表均可视为理想交流电表,定值电阻R＝10Ω,二极管D 正向电阻等于零,反向电阻无穷大.变压器原线圈接入如图4-乙所示的交流电压,下列说法中正确的是( ).

图4

A.电压表的示数约为10V

B.电流表的示数约为0.032A

C.穿过变压器铁芯的磁通量变化率的最大值约为1.0 Wb·s－1

D.穿过变压器铁芯的磁通量的最大值约为4.5×10－4Wb

分析此题正确选项为BD.针对选项B 由上题中的解法1可知,原线圈的功率等于副线圈回路消耗的功率,即解得I＝0.023A.再1由解法2可知,副线圈的电流由电流与匝数成反比可知代入数据解得原线圈电流的有效值I1≈0.032A.

由上述例题可以发现,解法1对于例题1而言是正确的,对于例题2却是错误的,而解法2恰恰反过来,那到底孰是孰非呢? 仔细一看,解法1从能量守恒的角度分析,理想变压器输入功率等于负载消耗的功率,符合理想变压器的特征,解法2利用的是电流与匝数成反比公式,适用于单个副线圈,不论负载是电阻、电容、电感,还是二极管都成立.

其实在副线圈空载的情况下,电流比公式并不成立,此时副线圈电流为零,但原线圈电流为只是因为自感系数比较大,所以也接近零,此时原副线圈匝数比是一个定值,电流比公式在负载电阻远小于副线圈阻抗时成立,反观上面例题,当电流反向时二极管电阻无穷大,电路相当于断开,此时电流比公式不成立,通过电流的热效应算出的副线圈电流有效值与原线圈的电流一样不满足和匝数成反比的关系.因此,笔者认为2020届湖南省四校联考这道选择题选项B应改为0.023A.

4 小结

结合上文分析,笔者认为在含有理想二极管的变压器电路中,计算有效值时依然严格遵守“三同”原则,让交流电和直流电通过相同电阻时在相同时间内产生的热量相同,即可视直流电数值为交流电的有效值;在此变压器电路中,电压比等于匝数比成立,负载功率等于变压器原线圈功率,不等于副线圈功率,电流也不跟匝数成反比,这个与接在副线圈的负载情况有关,分析其原理涉及视在功率和功率因数等大学电磁学知识,在中学阶段教学过程中可让学生记住相关结论并懂得应用即可!