空间向量中的几个常用规律及其应用

◇ 甘肃 马俊杰

(作者单位:甘肃省临夏回民中学)

分析、解决有关立体几何问题时,往往会涉及空间向量知识在解题中的活用,而空间向量中又存在较强的规律,所以教师很有必要厘清常用规律,以便提高学生解题的速度和准确性.

常用规律1设空间向量a＝(x1,y1,z1),b＝(x2,y2,z2),则a⊥b⇔a·b＝0 ⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

例1如图1所示,在空间直角坐标系O-xyz 中有棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′,E,F 分别为面对角线A′B,A′D 的中点,求证

图1

借助空间向量的坐标运算,我们可以迅速求解两个空间向量的数量积和夹角,当然,也可以证明两个空间向量互相垂直.

例2已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,其中O 为坐标原点.当取得最小值时,求点Q 的坐标.

综上所述,求证结论成立.

例3已知点P,A,B,C 共面,点O 不在该平面内,Sn是等差数列{an}的前n 项和,且满足则S2020的值为( ).

A.2018 B.2019 C.2020 D.2021

本题具有一定的综合性,着重考查空间四点共面的充要条件及等差数列特性的灵活、综合运用.

牛刀小试1已知平面α 经过三点A,B,C,且向量其中O 为坐标原点,求平面α 的一个法向量.

牛刀小试2已知向量a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),若a 与b 为共线向量,则( ).

因为a 与b 为共线向量,所以存在λ∈R,使a＝λb,即(2x,1,3)＝λ(1,－2y,9),所以2x＝λ,1＝－2λy,3＝9λ,解得故选C.

综上,关注空间向量中的常用规律及其应用,能够帮助我们进一步加深对所学空间向量知识的深入理解,能够较好地拓宽思维视野,进而提升数学核心素养.