“理解算理”的测试维度与水平分析

浙江省义乌市实验小学教育集团 杨凯明

算法和算理是数学教学中相辅相成的两个部分，算理的主要表现方式包括以下四种：运算的意义、十进制与位置值思想、运算的性质和定律以及运算之间的互逆关系。下面以北师大版小学数学一年级上册第七单元《加与减》中有关于“20以内进位加法”这一教学内容为例展开具体的探究。

一、“理解算理”的测试维度与样例说明

教师可以通过各种数学计算题型的应用，进一步了解学生的解题思路，并根据学生对于算法理解水平的不同，可以从“算理表述的正确性、算理表征的层次性、算理迁移的通用性”这三个方面对学生的算理理解展开测评。

1.“算理表述的正确性”检测样例与水平划分。算法表述正确性更多地体现在图示的一致性方面，教师要使学生基于算法算理选择图示，达到检测学生算法算理一致性的目的。“20以内进位加法”其中涉及的算法主要是通过框架的方式将算法的整个过程呈现出来的，但是算理确实更多地依赖于直观图示，或者运用文字的方式将背后所蕴含的道理展示出来。例如，在8+9这道习题的运算中，主要可以以两种拆分凑十的方式来实现，教师要引导学生对于凑十法背后的十进制原理进行更深的理解。

以8+9 这一运算习题为例，通过该道习题可以将学生对算法的理解水平分出一定的层次，具体内容如下所示：

对于这道习题而言，主要可以将学生的算理理解水平分为三个层次：层次一：学生空着没有做这道习题；层次二：学生选择B选项，具有一定的根据框架式凑十的意识；层次三：学生选择A选项，则代表学生能够正确理解框架式和点子图。

2.“算理表征的层次性”检测样例与水平划分。算理表征的层次化即采用不同种类的物化材料，实现学生算理表征的检测，包括文字、图形。一般而言，算理表征的差异性，也直接反映出学生对于算理的理解水平。

以9+4这道计算题为例，学生展开算理表征检测，根据9+4的计算过程，通过画一画、圈一圈的方式，将自身的解题思路充分展开出来。在这一过程中，教师可以引导学生将自己的计算过程展现出来，还原算式，达到逆向、顺向监测的目的，从而划分学生对于凑十法原理的理解水平。

顺向检测试题算理表征层次划分如下所示：

层次一：学生空着没有画，或者是个数画错；层次二：学生画出了实物图，比如说气球、花朵等等；层次三：学生画出了点子图、小棒图。

逆向检测试题算理表征层次划分如下所示：

层次一：学生没有作答，或者作答出现错误；层次二：学生选择的答案为①②④⑥；层次三：学生选择的答案为①②④⑥⑦。

3.“算理迁移的通用性”检测样例与水平划分。算理迁移的通用性，即借助未学先试加以考查检测的，所考查的内容为学生是否具备将算理迁移到之后数学内容的学习和理解中，帮助教师更加准确地掌握学生对知识点的理解程度。“20以内进位加法”教学之后的下一章节内容是“两位数加一位数的进位算法”，这两个知识点的算理都为十进制，因此教师在实际算理迁移通用性的检测中，可以模仿9+4这道习题展开改变，例如：将19+4这道习题的计算过程通过画一画、圈一圈的方式表达出来，从而实现学生算法迁移通用型水平的考查。

19+4这道习题算理迁移通用性水平划分如下所示：

层次一：学生空着没画，或者是画错；层次二：学生正确画出了实物图；层次三：学生绘制了点子图、小棒图，展现出了十进制位值制算法原理。

二、“20以内进位加法”理解算理水平区域调查分析

通过对近1200名小学生的“20以内进位加法”理解算理水平区域调查，笔者总结出来学生的算理能力水平特点如下：其一，算理表征表述的正确性总体相对较差，且城乡学生差距较低；其二，算理表征层次性的总体水平相对较低，其中顺向表征能力高于逆向能力；最后，算理迁移通用性与算理表征层次性紧密相关。

1.算理表征的层次性不明显，材料缺乏结构性。根据相关统计调查显示，针对算理表征物化手段而言，选择苹果、花朵等实物图的学生占60%左右，而选择点子图的学生则占了30%，选择小棒图的学生只有5%左右。此外，还有5%左右的学生采用的是文字、算式的方式完成。其中一所农村小学的所有学生都采用了苹果来完成算法表征的物化。

算理表征物化材料包括点子图、小棒图以及实物图，而其中点子图和小棒图、实物图归类于齐性材料，计数器、数位筒则归类于结构性材料。实际的调查数据显示，在“20以内进位加法”这一内容的教学过程中，教师更多采用整齐性材料，表征方式呈现单一化的特点。此时，教师应该加以适当的调整和改善，即选择结构性的材料，使学生对于十进制位值制能够有更早一点的认识。

最后，教师也需要注意算理的表征，除了要注重层次性，也应该重视逆向、顺向表征的融会贯通，促进学生对于算理更深层次的理解。

2.算理点状教学，导致算理迁移的通用性水平较低。“20以内进位加法”所涵盖的关键算理为十进制位值制，也正是基于这一算理之上，才诞生了凑十法。对于9+4这道计算题的表征算理的过程，更多的学生仅仅只是通过点数计算出结构，或者是直接基于运算意义的角度之上绘制出9+4的含义，却没有体现十进制思想，直接造成该部分内容的教学中十进制思想教学的缺失，进而导致在计算19+4这道计算题中，学生也没有意识到圈十的含义和重要性。分析学生的画画作品可以看出，很多教师在教学中没有意识到整体性思想的重要性，算理的点状教学是导致算理迁移的通用性水平低的主要原因。

“20以内进位加法”这一部分数学内容的教学过程中，尽管教学重点不是位值制思想，但是位值制思想在教学过程中的渗透对于学生今后的数学学习具有重要的作用和意义。在实际教学中，教师主要可以通过直观图、计数器这种简单的方式直接渗透位值制思想即可。

在小学数学教学以及对学生测评中，教师需要将算理作为主要的教学内容，加深学生对算理的理解，并通过算理表述的正确性、层次性以及迁移性三个方面的策略，使学生对算理的理解更为显性，这对于学生数学运算能力的提高而言有较大的帮助。