关于几何“定角定高”模型的解读探究

石爱棒

[摘  要] “定角定高”模型可用于求解含有定角、定高、动点的最值问题，通过作辅助圆的方式可确定动点轨迹和动线段的变化情形. 文章对“定角定高”模型进行解读，并结合实例开展应用探究，提出相应的教学建议.

[关键词] 定角定高;数学模型;几何模型;最值;隐圆;面积

背景介绍

近几年一些中考几何问题涉及了“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解. 实际上，这样的问题中隐含了几何的“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形. 教学中教师需引导学生合理利用轨迹思想来解析问题，总结模型的解析方法和特殊结论.

模型探究

模型呈现  “定角定高”模型又称之为探照灯模型，如图1所示，已知点P为直线l外的一点，点A，B为直线上两点，点P到直线l的距离为定值h（定高），∠APB的大小为定值（定角），我们将具有这样几何特征的模型称之为定角定高模型.

问题思考  对于该模型我们需要思考以下问题：①在定角定高的条件下，AB的长是如何变化的？②△PAB的面积如何变化？③什么条件下AB和长和△PAB的面积可取得最小值.

探究解读  解析“定角定高”模型需要绘制“隐圆”，利用圆的特性来加以探究. 作△APB的外接圆⊙O，由于∠APB和h（点P到直线l的距离）为定值，所以点P的轨迹为平行于直线l且距离为h的直线，如图2. 当点P运动时，△APB的外接圆⊙O的半径也会随之变化，故弦AB的长度也会变化，△APB的面积为S= AB·h，故也会变化，当AB取得最小值时三角形面积即为最小.

实际上，当△APB为等腰三角形，即PA=PB时，AB长和△APB的面积取得最小值. 证明过程如下：连接OA，OB和OP，过点O作直线l的垂线，垂足为点M，显然有PD≤OP+OM，当且仅当点P，O，M三点共线时可取等号. ∠APB为定值，且为⊙O的圆周角，故其对应的圆心角∠AOB也为定值. 设⊙O的半径为R，则OM=Rcos∠AOM=Rcos∠APB，因为PD≤OP+OM，则h≤Rcos∠APB+R，即当Rcos∠APB+R=h时，R可取得最小值 ，此时AB取得最小值为2Rsin∠APB.

策略总结

“定角定高”模型常用于三角形边长最值、面积最值问题的求解，从上述分析可知突破的关键是作动三角形的外接圆，然后根据“半径+弦心距定高”来确定外接圆的最小半径. 在实际解题时需要关注解题策略中的以下两点：

1. 对于问题中的“定角定高”模型，动三角形为等腰三角形时三角形的面积可取得最小值，三角形的定高位于底边的垂直平分线上，同时过该三角形的外接圆圆心.

2. 模型中的定角可以视为三角形外接圆的圆周角，故对应的圆心角的大小不变，因此可以结合圆心角所在的三角形，以及垂径定理来求解直角三角形，从而确定最值情形下线段的长.

“定角定高”模型问题的形式较为多变，题目一般不会直接指明“定角定高”模型，更不会直接给出相应的“隐圆”，故解题时需要准确提取模型，合理构建模型，可以按照如下步骤求解：

第一步，提取问题中的“定角定高”模型，若没有直接给出，可考虑作图构造;

第二步，作“定角定高”三角形的外接圆，可利用外接圆圆心到定角对边的距离即弦心距与圆半径的关系来确定;

第三步，由“半径与弦心距的和大于等于半径”构建不等关系，进而确定半径r的取值范围;

第四步，用含有r的代数式表示动三角形的面积，一般动三角形为等腰三角形时满足面积最小值情形.

典例分析

问题提出：如图3所示，已知在边长为10的等边△ABC中，点D位于底边BC上，BD=6，则△ACD的面积为___________.

问题探究：如图4所示，正方形ABCD的边长为6，点E和点F分别位于BC和CD边上，且∠EAF=45°. 如果EF=5，试求△AEF的面积.

问题解决：图5是某城市的中心大道的一部分，由于工程抢修需要在矩形ABCD的区域内开挖一个△AEF的作业面，矩形中AB=4米，AD=6米，点E和点F分别位于BC和CD边上（不与B，C，D相重合），并且∠EAF=45°. 为减小对道路拥堵造成的影响，需要尽量确保作业面△AEF的面积最小，问：是否存在一个面积最小的△AEF？如果存在，请求出面积的最小值，如果不存在，请说明理由.

解析：第一问计算△ACD的面积，其面积与底边长有关，底边上的高与等边△ABC一致. 等边三角形ABC的边长为10，作BC边上的高AM，如图6. 则AM=AB·sin60°=5 ，所以S = CD·AM=10 ，也就是，△ACD的面积为10 .

第二问在正方形中构建了△AEF，考查的是半角模型，可通过旋转转化来简化，将△AFD绕着点A顺时针旋转90°，得到了△AMB，如图7. 由旋转特性可知AF=AM，∠FAD=∠MAB，所以有∠BAE+∠FAD=45°，∠MAB+∠BAE=45°，可证△MAE≌△FAE，则EF=ME=5，S =S ，则S =15.

第三问求△AEF面积的最小值，探究型问题的设问具有一定的内在联系，故第三问的突破方法可以参考第二问. 类比第二问的构图方法，首先将△ADF绕点A旋轉90°，同时将其缩小 ，可得到△ABQ，如图8. 由上述过程知△ ADF∽△ ABQ，则∠FAD=∠QAB， = = ，从而∠ QAB+∠ BAE=∠ DAF+？摇 ∠ BAE=45°=∠ QAE，显然∠QAE为定角.

后续解析可分如下两步进行.

第一步：探究△AEF与△QAE之间的面积关系.

过点E作AQ的垂线，垂足为点T，再过点E作AF的垂线，垂足为点P. 分析可知四边形ATEP为正方形，则ET=EP，所以 = = ，所以当△AQE的面积取得最小值时，△AEF的面积也为最小.

第二步：构建“定角定高”模型，确定面积最值.

分析图形，可知∠QAE=45°（定角），AB=4（定边），求△AQE面积的最小值，满足“定角定高”模型条件，利用模型的解析思路求解. 作△AQE的外接圆⊙O，连接OA，OQ，OE，过点O作QC的垂线，设垂足为点R，如图9所示，则∠QOE=90°. 设⊙O的半径为r，则OR= r，QE= r，分析可知OA+OR≥4，即 r+r≥4，所以r≥4（2- ）=8-4 ，当A，O，R三点共线时等号成立，即此时△AQE为等腰三角形，此时S =2 r=16 -16，则S = S =24 -24，即作业面△AEF的最小面积为24 -24平方米.

教学反思

1. 重视阅读分析，洞悉问题真相

上述在探究模型问题时，对问题的图像特点、设问形式进行了分析、梳理，发现其实际上就是关于一定角、一定高、一动点的线段最值问题. 确定了问题中的关键要素后就可以将其提炼为一个简洁的数学模型，后续引导学生探究模型的解决思路即可使其掌握该类问题的解法. 教学中教师应引导学生细致阅读问题信息，理解领悟问题本意，然后结合关联知识洞悉问题真相，为后续的模型提炼打下基础. 因此，教学中需要逐步培养学生读题识题的能力，提升学生的理解能力.

2. 强化数学建模，掌握建模技巧

对几何问题的图形进行总结归纳可以提炼对应的几何模型，几何模型所隐含的性质特点、研究方法对于复杂几何问题的突破有着一定的帮助. 以上述“定角定高”模型为例，其解析思路、研究方法可有效用于对应的线段、面积最值问题. 教学中教师需要强化学生对基本模型的探究，培养学生的归纳总结、模型提取能力. 通常在研究模型时需要借助辅助线，教师需要指导学生掌握添加辅助线的技巧，关注图形中的特殊点、特殊性质，以此为基础作辅助线搭建模型.

3. 重视分析推理，提升数学思想

近几年中考特别注重对几何图形探究的考查，对学生的分析思维和推理能力有着较高的要求. 学生的思维方式和推理能力将直接影响解题效果，因此需要教師在教学中培养学生的分析推理能力. 教学中可有意识地变换问题的条件或结论，重组图形结构，让学生逐步剖析，结合所学知识推理得出结论，拓展学生的数学思维. 同时，教学中可合理渗透数学思想，如上述探究中的模型思想、化归转化思想、数形结合思想等，利用思想方法教学来提升学生的综合素养.

写在最后

积累几何模型对于几何综合题的突破有着一定的帮助，几何模型往往是对几何图形中性质特征、解法思路的高度总结，教师在平时的教学中需有意识地引导学生提取模型. 往往涉及模型的综合型问题中含有一些特殊条件、特殊性质，可通过模型联想的方式直接确定所需的模型，因此关注模型特点，深入解读模型是十分必要的. 另外，开展模型教学可以有效提升学生的综合素养，课堂教学应大力提倡.