怎样由浅入深探究“鸡兔同笼”

刘爱霞

【摘  要】  探究经典名题“鸡兔同笼”，感受古代数学问题的趣味性。尝试用数形结合、以画促思、情景设置、化繁为简等方法解决问题，促进数学思想的建成。从数学活动中体会数学知识在日常生活的广泛应用，激发学生学数学、用数学的乐趣，感受数学文化。

【关键词】  鸡兔同笼;数学思想

大约在1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。求笼中鸡和兔各有几只？

我想借此经典名题的探究，鼓励学生用自己喜欢的方法来探索数学问题，引导学生在推理中发现数字差异，主动调整数据，从而推出数学结论，在运用多样化方法的探索过程中感受数学的乐趣和数学文化的魅力。

一、激活经验，引发思考

学生的学习要以丰富的生活经验为基础，教师通过引导使学生善用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”，使数学变得简单。由于学生生活经验的缺乏，教师要了解孩子的生活，课前通过游戏让孩子了解动物的腿数。如设计游戏：一只小鸡，一只兔，两个头，六条腿。两只小鸡，两只兔，四个头，十二条腿。三只小鸡，两只兔，五个头，十四条腿。五只小鸡，五只兔，十个头，三十条腿。同学们数得很准确，会发现在动物身上有许多数学信息是值得研究的。游戏导入让学生的头脑中有个初步的鸡兔腿数的计算意识。然后再引入《孙子算经》，目的是为了给数学课堂带来了浓厚的数学文化气息，让学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情。

开课前，教师可以先从较小的数入手，如鸡兔头共5个，腿共有14条。鸡兔各几只？这句话的意思怎样理解，要鼓励学生说出自己的想法，怎样用画图的方式来探索。著名数学教育家赖登塔尔说过：“儿童是天生的数学家。”当学生用熟悉的图画来表示时，自然就经历了数学探索的过程。学生在研究中发现先画1只鸡1只兔，再画1只鸡1只兔，再画1只鸡，正好14条腿，所以是3只鸡，2只兔，或者先画1只兔，再画1只鸡，接着画的过程中发现腿多就去掉，得出鸡的只数;或者全部画成鸡，少了几条腿，再给1只鸡添上2条腿，得出兔的只数。在添或去的过程中，学生初步构建了假设法的推理模式，但是教师先不要急于给出假设法的算式，要给予学生自我完善的时间。

作为教师，我们只是孩子学习的引路人，不能只是指点学生进入“现成的大厦”，而是要促使他们去“搬砖砌墙”，一同来建筑大厦，即教师的任务不仅是告诉学生真理，更重要的是引导学生探求真理。学生在“小马过河”的试探中，感受水深水浅，不断地调整自己的方法，不断地修正自己的方法，才能形成自己的数学思路和数学方法，才能真正培养学生自我学习的能力，掌握数学技能。

二、设置障碍，自我完善

学生在初步的画图过程中已经掌握了简单的推理方法，怎样趋于完善，需要教师设置障碍让孩子去跳跃。此时，教师可以增加数量，出示鸡兔共12个头，32条腿，鸡兔各多少只？问笼中各有几只鸡和兔？试问学生会选择画图的方式吗？为什么？你会选择什么更快捷的方法？此时鼓励学生列表从数字中找答案，比画图更节省时间。逐一列表法：逐一列出，不重复不遗漏。跳跃列表法：估计范围，减少列举次数。取中列表法：取中列举，缩小列举范围。为了快速找到，可以用折中法来算脚数，再调整。直取中间数，验证后调整幅度缩小，更为简便快捷，这种方法叫做取中列举法。有的学生会在列数字中发现每减少1只兔，增加1只鸡，腿数会减少2，兔子要减少多少只，腿才能减少到32条呢？在计算中学生会很快找到相应的鸡兔数。在列表过程中纵观发现腿数多说明兔子数多了，就减少一只兔，增加一只鸡;腿数少说明兔子数少了，就增加一只兔子，减少一只鸡。学生从图形模式过渡到数字推理，经历了猜测、验证、调整的数学活动，经历了一次数学思维的飞跃，感受到演绎推理带来的数学乐趣。

三、优化方法，丰富思想

学生经历了画图、列表，已经掌握了基本的解题技巧，初步感受到探索的乐趣。但是怎样由此及彼、以不变应万变，还需要优化方法、优化解题步骤、形成数学思想。“假设法”和“抬腿法”是破解鸡兔同笼最常用的方法，也是最便捷的方法。针对“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”画图太繁琐，列表也冗长。如果把它们变成一种动物去求解就简单多了。怎样把它们变成一种动物，激发学生思考，最好从故事引入，比如大灰狼夜晚想要偷袭鸡和兔，一群鸡、兔受到惊吓就会抬腿求饶，鸡两条腿一抬就飞走了，兔抬起两条腿，每只兔还有两条腿着地，用剩余的总腿数除以2就能求出共几只兔。

思路总结：

1.抬光腿少的：35×2=70（条）

2.剩下腿多的：94-70=24（条）

3.除以腿数差：24÷2=12（只）

4.求出另一类：35-12=23（只）

这种让一种动物抬腿消失的方法也可以延伸为假设法。假设全是鸡或兔，相信学生会迎刃而解。为了辅助落后生，假设法的推理过程中可以先从简单问题入手。先画8个圆圈表示8个头，再为每条动物画两条腿，8只动物只用完16条腿，还多出10条腿。把剩下的10条腿用完，要给其中的5只动物各添2条腿，这5只就是兔子，另外的3只就是鸡。根据每一步的推理写出相应的算式：8×2=16（条），26-16=10（条），4-2=2（条），10÷2=5（只），8-5=3（只）。以上两种方法，重在意思的理解和数学语言的表述，学生能够完整叙述解题过程，就能准确领会题意。学生在比较中发现快速的方法，在优化数学方法里自我完善。

四、深化感悟，拓展延伸

“鸡兔同笼”的数学思想，可以带给学生无限的想象。怎样从“鸡兔同笼”里找到更多类似的数学问题，需要学生去挖掘资源，鼓励学生自我编题。教师可以给孩子收集相关素材。

例如：（1）某校四（3）班共计48名学生，一同出去郊游，租船时出现每条船只能坐2人、3人、4人，价格分别为10元、12元、15元，问怎么样安排租船更划算？

（2）體育课组织跳绳接力比赛活动，参赛人数为30人，全班分为男生组和女生组两个组，男生组每分钟跳105个，女生组每分钟跳95个，整个过程每人都要参与一次，整个过程需要15分钟，问所有人员共计跳多少个？

（3）一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？

以上数学题都属于“鸡兔同笼”，学生触类旁通，才能真正掌握这种数学思想。打开学生的视野，提升数学思维，是我们每个数学教师为之努力和研究的课题。我们不是为了研究数学题而去做题，更多的是能从中学到一种数学方法，带给学生更多的是演绎的快乐和探索的乐趣，让每个学生在数学里发现自己具备的数学才能，点点滴滴地掌握数学推理的小技巧，从不会到会，从一道题到数道题，从数学题走进生活，从生活里又发现数学，带着一颗好奇心感悟数学，从数学家的思想里受到鼓舞，从古代数学名题里找到自我挑战的乐趣。

探究古代名题，学生从最初的无从下手到大胆地猜测，再到积极开动脑筋，研究解决问题的方案和策略，在这个过程中不仅逐步体会到数学学科独具的逻辑性、抽象性，还感受到数学与生活的密切联系，这正验证了数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学！”数学文化源远流长，数学思想博大精深。让我们以更加饱满的热情和精巧的设计，让课堂焕发生命的活力和无穷的智慧，去努力打造幸福课堂。

【参考文献】

[1]吴正宪.听吴正宪老师上课[M].上海：华东师范大学出版社，2019.