数学核心素养理念下解析几何的高考分析与教学思考

蔡开拓

【课题项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》（立项批准号：FJJKXB18-353）的研究成果之一。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）44-0013-02

笔者就近几年高考考查方向及2019年的部分试题分析数学核心素养下，解析几何的考查方向，并对此提出教学思考与建议。

1.试题分析

表1 2017～2019年高考数学全国卷（理）解析几何考查内容

在近几年高考中，从考查内容上看，解析几何基本题型分布为两小一大，覆盖三种常见的圆锥曲线，解答题以椭圆与抛物线为主。从考查难度身上看，基本属于中难题，主要考查定点定值，最值等问题。

2.真题再现

2.1选填问题

例1（2019全国I卷10）已知椭圆C的焦点为F1（-1， 0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A、B两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为_____。

解析：设AF2=2F2B=2m，则AB=BF1=3m

因为A、B位于椭圆上，因此有2a=AF1+AF2=BF1+BF2=4m

可得AF1=2m，又AF2=2m，由对称性可知A位于上顶点。

在△AF1F2中：

小结：解析几何选填题在高考中的考查对于数学运算素养的要求较低。更多的是对于直观想象素养的考查。主要有以下几个方面：（1）能够根据题目画出正确的示意图;（2）掌握圆锥曲线的定义，能够利用定义转化点在曲线上的条件;（3）能够结合平面几何知识，发现几何图形中的几何关系。常见的几何模型为焦点三角形，双曲线渐近线，抛物线准线与焦点弦以及相关垂线段构成的直角梯形等，而后利用解三角形的有关知识或者中线、角平分线等平面几何知识解题。

2.2解答题

例3（2019全国III卷21）已知曲线C：y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点。

解法一：

分析：（作图方法）根据题目描述进行画图：①在y=-上取点D;②过D做切线，获得切点A，B;③连接AB发现定点。

（以数解形）将作图过程用代数进行描述：①设点Dd，-;②设切点，求出切点（这边切点难求，借助韦达定理）;③由A，B得直线AB的方程。

解法二：

分析：（作图方法）重新构图：①画出直线AB与抛物线相交;②过A，B做抛物线切线;③切线交点在y=-上。

（以数解形）将作图过程用代数进行描述：①设直线AB与抛物线联立得到A，B坐标（方程难解，借助韦达定理）;②由切点，求出切线方程;③切线方程联立，解得纵坐标为-。

小结：解析几何解答题在高考中对于数学运算素养与直观想象素养的考查都较难。对于直观想象素养的考查有以下几个方面：（1）能够根据题目画出正确的示意图;（2）能够利用平面几何知识化简题目中的条件与几何量，简化运算;（3）能够利用代数方法刻画几何中的元素。对于数学运算的考查在于以下几个方面：（1）能够把平面中的位置关系转化为运算问题，例如垂直，可以用向量点乘，可以转化为斜率乘积等;（2）解析几何中对于问题的解决有较多的思路，要求能够针对题目中的条件合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题;（3）在方程的运算中，除了直接求根以外，要求能够根据方程特征，利用韦达定理解决问题，包括得到两根关系，或是知道一根求另一根。

3.教学思考与策略

3.1直观想象素养的培养

（1）能够利用图形描述、分析数学问题。高考在考查解析几何时，往往不给几何图形，要求学生能够独立作图，在平时教学中应重视作图能力的培养。首先，教师应当发挥示范作用，在做解析几何题目时，引导学生一起读题，并在黑板上根据题目条件呈现作图过程，指导学生进行作图;其次，尝试构图时，不一定每次都能准确画出题目图形，经过适当的分析后往往需要对图形进行调整。因此讲解分析部分题目时，不应当直接给出准确图形，而应当展示图形的调整过程，引导学生进行分析思考。最后，为保证学生作图的准确性，在初学阶段要求学生利用尺规作图，避免学生因为作图随意而影响后续对图形的观察。学生能够熟练作图后再进行徒手作图的指导，提高作图速度。

（2）建立數与形的联系，探索解决问题的思路。在解析几何解答题中，需要将几何问题代数化，其方法和角度是多种多样的。在教学中，应当引导学生积累常见的数与形的转化，例如：直角条件的转化，可以转化成点在圆上，点到斜边中点的距离等于斜边的一半，斜率之积为-1，向量点乘为0等等。积累并加以适当的总结，拓展学生从几何到代数转化的路径。同时教学中要引导学生尝试根据不同的顺序进行作图，通过多角度构图的方式，加深对图形结构的理解;讲解时，逐步讲解作图顺序，体现其形与数的转化过程，构造解题思路。让学生体会解析几何的解题思路，来自于对于图形的转化。

3.2数学运算素养的培养

（1）对于运算法则与运算顺序的指导。小学的算术及初中的多项式运算已经教授了数学运算的有关知识点。在此基础上，对于数学运算素养的培养，高中不单单是对法则的强调，更多是对细节的指导。例如在椭圆+=1与直线y=kx+1联立时，由于分式运算较为复杂容易出错，教师指导其先进行通分，利用方程x2+2y2=4进行运算;再例如对于向量点乘的结果x1x2+（y1-2）（y2-2）是先进行括号展开，还是先将直线方程代入消元，还是先代入韦达定理等等，这些细节问题都是导致学生运算速度慢，运算容易出错的原因。因此教师在解析几何教学中，应当重视对解析几何的运算讲解，多进行板书的展示与运算方法选择的提问。

（2）对于常见几何量与运算过程总结形成固定的运算程序，从而提高运算速度，减少错误率。在解析几何中常见的几何量包括弦长，面积，常见的运算包括向量点乘，斜率之和，方程之间的联立等等。可以让学生多次进行单一运算的练习，例如只考查弦长的运算，一方面深入讲解，让学生形成算弦长的步骤算法，另一方面简单的解析几何题目能够培养学生运算信心，熟悉了弦长的运算，在遇到与弦长有关问题时不容易产生畏惧心理。

（3）指导选择合适的方式将几何问题转化为运算问题。在解析几何中强调，先思后算，多思少算。解析几何问题代数化的方向往往很多，部分学生不考虑运算量，有所思路便闷头运算，浪费时间，后期也算不出来。因此在解析几何的讲解中，可以先将多种思路进行罗列，让学生进行选择，并尝试运算，从而养成先思后算的习惯，同时学会对各种方法的运算量进行判断。

3.3素养培养的阶段分解

核心素养的培养不是一蹴而就的，什么環节培养什么素养，培养到什么程度，如何培养需要进行整体的规划与设计。在这里笔者提出一些想法与建议。

在直线与圆的位置关系中，由于圆有许多性质，更多培养学生能够通过圆的性质进行化简运算，体现出数形结合的优越性。同时也不应该规避一些简单的运算问题，对于向量点乘以及简单的弦长问题，可以逐步渗透，避免由圆过渡到圆锥曲线时，因运算难度的突然提升而产生的畏惧心理;在圆锥曲线的初步教学中，不应刻意强化运算，应当依旧以简单的弦长，面积或是简单的数量积问题作为练习，知识点相对单一一些 ，运算量小一些。一是不断重复，强化对于常见运算的熟悉熟练程度，二是逐步提升运算量，让学生慢慢接受解析几何的运算量，提高做题信心。

最后，直线与圆锥曲线的位置关系以及后期练习中再逐步引入定点定值以及最值问题等运算量较大的问题，如果前期问题掌握不到位也不建议加大难度。

4.结语

解析几何作为高考热点，是直观想象素养与数学运算素养的重要载体。然而其考查难度往往较大，学生容易丧失信心。在教学中，做好统筹规划，做好素养的渗透，步步为营，不可故意加大难度。教学过程中引导学生合理作图、运用图形、用代数解决几何问题逐步培养其直观想象与数学运算素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.