线性代数“实践-理论-实践”教学模式研究

（洛阳师范学院数学科学学院，河南 洛阳 471022）

《线性代数》是高校理工科专业的重要基础课程，不仅是学习后继课程的基础，还是解决许多实际问题的工具。但由于线性代数概念性强、内容高度抽象以及逻辑推理繁多的特点，一直以来，沿用传统的教材和教法，缺少人文主义精神和趣味性，也缺少理论与实际的联系。学生对所学知识没有兴趣，不是主动学习的探索者，学生普遍只会套用解题、不能真正理解、不知用在何处。而到后继课程或者实际中用到的时候，又不能灵活运用，学生的学习效果并不理想，更谈不上创新能力和实践能力的培养。

教育学研究表明，为了有效地学习，学生应对所学的内容感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣。否则，学习将是枯燥的、被动的、低效的。而通过实践引入知识，再把知识用于实践，能够很好地激发学生的兴趣和动力，从而改变理论知识枯燥无味、学生被动学习的局面，提高学生的学习效果以及实践能力。因此，为了使学生能够主动、有效地学习《线性代数》这门课程，并能够熟练掌握并灵活运用，我们尝试探索“实践—理论—实践”的教学模式：先举实例归纳特点，然后抽象为严谨的代数概念并探索性质，最后介绍推广领域及实践应用实例。

一、线性代数“实践-理论-实践”教学模式

本课题的研究通过以下四个方面来进行。

（一）与几何相结合，通过几何直观背景引入抽象的代数概念

代数和几何，前者抽象严谨，后者形象直观；在内容上，它们有着密切的联系，代数为几何提供解决方法，几何为代数提供背景。几何的很多问题用代数的知识来解决，而代数的很多概念用可以从几何中抽象而来。在讲解抽象的代数概念时，如果能用几何解释或者给出几何模型，将对理解抽象的概念非常有帮助，然后再反过来把代数概念运用到解决几何问题上，并通过数学软件作图进行直观展示，这样在很大程度上消除线性代数课程的抽象感，同时提高学生用代数知识解决几何问题的能力。

行列式、线性方程组、向量的线性相关性、线性空间、线性变换以及二次型等很多概念都可以从几何引入并应用于几何。针对这些问题，我们制作了ppt 课件《线性代数概念的几何引入及直观展示》《二次型与二次曲线和二次曲面》、设计讨论课《三个平面的相对位置》，我们及时将这些设计应用于课堂教学，取得了良好的效果。

（二）渗透建模思想，结合其他学科，合理运用教学软件

《线性代数》的内容虽然比较抽象，但都是来源于实际问题、为解决实际问题而引入，其中涉及的多数概念和方法都有很强的实际背景。另外，随着计算机技术、社会的信息化、定量化的不断发展，使得过去一向被认为抽象的代数学，今天的应用范围之广出乎人们的意料。例如，计算机代数，代数方法在生物、物理、化学、语言学上的应用，代数编码理论，代数图论、矩阵方法在决策、网络上的应用等，因此《高等代数》课程具备极其丰富的数学模型题材。线性代数的很多概念如多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间等还可以找到相应的实际问题，作为概念的实例引入，反过来又可以用代数概念和方法来解决实际问题。这样，不但能提高学生的学习兴趣，使他们更好的理解代数概念，而且能体验到探索、发现和创造的过程。在实际教学过程中，无论是在数学概念的讲解中，还是在对问题的分析以及思维的拓展上，不断的，反复的强调数学建模的思想，并适当的运用matlab 和mathematics 等数学软件，将数学建模思想融合到每一个教学细节上，对我们学生掌握好数学知识，在实践中熟练运用数学知识，培养创新思维能力，都具有很大的帮助。

针对这一思想，我们在课堂上讲授矩阵概念的时候，通过城市之间的航班情况、石头剪刀布的零和问题等来引入；讲授行列式时，通过货物交换的经济模型和费用分摊问题来引入；讲授特征值和特征向量的时候，通过昆虫繁殖产卵的问题来引入；讲授线性方程组时，结合我们熟悉的交通问题，设计了一节讨论课《线性方程组和交通流量问题》；设计行星轨道计算问题，这个可以用线性方程组理论和最小二乘法来解决；在讲授矩阵对角化时，设计动物数量的按年龄段预测问题，提示学生用该知识点解决。

（三）结合历史背景和人物介绍以及前景介绍

线性代数不仅是中学数学的延拓，而且也是现代数学的基础，其理论方法可被广泛应用于处理和解决各种实际问题。但几乎所有的线性代数教材都是系统、抽象的理论的介绍，很少提到其发展历程，使得学生很难感到高等代数作为现代数学基石的地位、作用与影响。因此，我们在教学中，根据课程内容适当增加了一些代数发展相关背景知识以及历史人物的介绍，专门制作了课件《线性代数发展简介》，以备使用。比如：介绍集合相关理论时，穿插介绍集合论奠基人康托尔的生平事迹，集合论的发展历程，使学生了解集合论是现代数学的基础；数学归纳法是线性代数中非常重要而常用的一种理论证明方法，为了让学生熟练掌握，我们为此专门设计一次讨论课《数学归纳法》，介绍第一第二归纳法的背景、原理、证明和使用；学习行列式时，介绍行列式的最早提出者行列式的发展过程，与中国数学的关系；在讲授代数基本定理时，可给学生介绍数学史上关于代数方程求根的探索，费马大定理的故事等以及由此对代数学产生的深远影响等。这样可以在枯燥的数学推导中增添一些情趣调节课堂节奏、活跃课堂气氛、提高学生学习兴趣。

（四）注重教学延伸，引导学生深入思考

在一些理论的学习中，如果仅仅停留在教材表面，不做深入探索与思考，那么对知识的理解也不够深刻，知识点之间的联系也不清楚，解决综合问题就会很困难。因此，我们应注重教学延伸，引导学生对问题深入思考，多挖掘各理论之间的联系。比如在学习初等变换求矩阵的逆时，启发学生探索一个矩阵做初等变换之后，相应矩阵的逆矩阵发生什么变化，为此我们设计讨论课《初等变换对逆矩阵的影响》；后面学习特征值，矩阵对角化时，启发学生探索相应的反问题，比如已知一个矩阵的特征值和特征向量，如何反过来求该矩阵，该矩阵是否唯一，这个问题的讨论还要用到“初等变换对逆矩阵的影响”的相关结论。

二、实施效果总结

通过不断的探索、尝试以及课堂实施，这种“实践—理论—实践”的教学模式初步形成，我们的研究取得了很好的效果：

通过几何直观和数学模型引入概念，注重知识的来源与应用，很大程度上消除了线性代数课程的抽象感；引入发展背景和人物介绍、与其他学科的关联及前景展望，提高了学生的兴趣和积极性；注重知识的延伸和应用，通过实际案例，设计讨论课，建立模型并用软件解决，加深了学生对所学知识的理解，让学生认识到这门课程的价值，并有助于掌握严格的代数思想与方法，培养学生解决实际问题的能力，锻炼学生严密的逻辑推理能力。

关于线性代数的实践教学改革，今后还有待进一步研究。包括建立比较完善的课件资料库，形成一整套实践教学方案，针对各种典型的知识点提供比较好的支持，从引入、理论学习到实践都有系统的有效的课程设计，都需要持续地进行。