数学史在高等数学教学中的应用探讨*

苏倩倩

郑州商学院，河南 巩义 451200

一、前言

数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展，也是与社会政治、经济和一般文化联系的学科［1］。HPM最早提出在数学教育教学中融入数学史的观点，旨在通过将数学史融入数学教学中来提高数学教学水平。世界各国数学家在不同时期都相继认可了数学史在数学教学中所发挥的作用。自此，该观点被越来越多的人所熟悉，已有大量对其探索和研究的成果。但更多成果旨在谈论数学史在数学教学中的意义，而对于数学史在数学教学中的应用的研究仍在不断发展中。事实上，能真正把数学史高效的运用到课堂教学中的老师并不多，这就需要我们共同努力、共同探讨。鉴于此，在这里笔者将自己多年的教学经验和想法与同仁们进行分享讨论。

二、数学史在概念中的应用

（一）极限的概念

极限方法是高等数学中的一种基本方法，它是为求某些实际问题的精确值而产生的。在讲解极限的概念时，我们不能直接给出极限的符号定义，这样不便于学生理解记忆。如果我们在极限概念的教学中引入数学名题就能大大的提高教学效果，同时还能够帮助学生形成正确的数学观。如：我国古代庄子的名句“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”即：一尺长的木棍，每天截掉一半，把每天截掉的长度按照天数可排成一个数列，然后将这个过程无限制的进行下去，当截取的天数无限增加趋于正无穷时，截掉的木棍长度无限接近于零，那么零就是这个数列的极限。再如：我国古代数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，即用正多边形来逼近圆，当正多边形的边数不断增加时，正多边形的周长就无限的接近圆的周长，进而得到比较精确的圆周率。通过这样的设计，能加深学生对极限概念的理解。

（二）导数的概念

微分学是高等数学的重要组成部分，而导数又是贯穿整个微分学的一个基本概念。在讲授导数概念时，我们可以先介绍牛顿的贡献，他通过研究做变速直线运动的质点的瞬时速度得到了点导数的概念。即把“平均速度”的时间间隔选的较短时，这个平均速度就近似于质点在初始时刻的瞬时速度，时间间隔越短，近似程度就越好，当时间间隔无限趋于零时，就得到了质点在初始时刻的瞬时速度，进而引出导数的概念。然后再介绍数学家莱布尼茨的贡献，他通过求平面曲线上一点处的切线，进而得到了导数的概念。我们发现虽然两位伟人研究问题的背景不同，但他们的实质是一样的，即他们都是从实际问题出发得到了相同的数学概念和数学模型。由大家熟悉的导数和切线的问题逐步引出导数的概念的方法，导数的概念用学生可以理解的方式表达出来，加深学生对导数概念的理解。

（三）定积分的概念

在学习定积分概念时，我们可以先讲如何求曲边梯形的面积。阿基米德用穷竭法将曲边梯形分成多个矩形组成的阶梯图形，小矩形的个数越多，得到了小矩形面积之和就越接近曲边梯形的面积，当小矩形的个数趋于无穷大时，小矩形面积和的极限就是曲边梯形的面积。另外，我们也可以从黎曼测量一块形状不规则的土地面积说起。为了精确的测量这块土地的面积，黎曼采取了和阿基米德类似的方法，即将这块土地分割成一个个小长条，把每个小长条近似看成长方形，分别计算这些长方形的面积，然后再求和，这个和就可以近似看成这个土地的面积。采用这样的教学方法，可以提高学生的学习兴趣，加深学生对定积分概念的理解。问题产生的背景和数学家各不相同的思考过程要让学生充分了解，只有这样学生才能获得有效的学习方法，得到的知识也是长期持久的。

三、数学史在符号上的应用

莱布尼茨（1946-1746）是德国数学家、自然主义哲学家、自然科学家，也是历史上最伟大的符号学家。他曾说“要发明，就得挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用简明的少量符号来表达或比较忠实的描绘事物内在本质，从而最大限度减少人的思维劳动”［2］。因此，他发明了一套适用的符号系统，如微分符号dx，dy和积分符号 都是莱布尼茨引进的，符号d是“差”的英文deviation的首字母，体现了微分“差”的本质，符号 是“和”的英文sum的首字母拉长得到了，充分体现了积分“和”的本质，dnx表示n阶微分等等，这些符号进一步促进了微积分学的发展。另外，函数符号f（x）、求和符号、虚数符号i、自然对数底e等是另外一位符号大师欧拉引进的。通过这些故事的讲解，一方面可以让学生熟悉记忆这些符号，另一方面可以增加课堂气氛。

四、数学史在几何图形中的应用

在讲解定积分在平面图形的应用中，我们会碰到很多陌生的图形，如：阿基米德螺旋线、心形线、双纽线等。如何让学生记住这些图形呢？下面以心形线为例说明。

水中贵族——百岁山是大家非常熟悉的一个产品，百岁山的广告讲述的是一个凄美的爱情故事：故事的主人公笛卡尔于1596年生于法国，黑死病爆发时他离开法国流浪到了瑞典，在街头认识了瑞典18岁的小公主克里斯汀，并成为了她的数学老师，长期的相处使得他们彼此产生了爱慕之心，国王知道后很生气，把笛卡尔赶出了瑞典，同时公主也被囚禁了起来。笛卡尔回到法国后给公主写了很多信都被国王拦下了，后来染上黑死病的笛卡尔给公主寄出第13封信后就死了。笛卡尔给公主的第13封信中只有一个公式r=a（1-sinθ）。国王和瑞典的数学家都看不懂这封信，于是把信交给了小公主，公主看后立马明白了，因为这个公式在坐标系里画出来是一个心形的图形。这封享誉世界的另类情书，现在还保存在欧洲笛卡尔纪念馆里，纪念着这段凄美的爱情。

五、数学家的榜样作用

数学家欧拉的命运是坎坷的，28岁时他的一个眼睛失明，56岁时双目失明、妻子逝世。但是这样的打击并没有阻止他追求数学真理，他在数学方面仍保持着高度的创造力。欧拉是历史上写论文最多的数学家，他的论文长且多，曾被科学院限制篇幅。在他去世之后的10年内，他的文章还在科学院的院刊上持续发表。由于欧拉拥有百折不挠的毅力、孜孜不倦的精神以及无与伦比的贡献，后人把他誉为“数学英雄”。阿贝尔的一生也是多舛的，27岁时他便与世长辞，但是他在方程论方面的贡献无人能比，同时还被后人誉为椭圆函数的创始人之一。数学家阿基米德在敌人破城而入、生命垂危的关键时刻还在研究数学问题，他的墓碑上没有一个文字，只有一个漂亮的几何图形。通过讲解数学家在成长过程中所遭遇的挫折，可以帮助学生正确对待学习中所碰到的困难，培养他们勇于挑战难题，攻克难关的勇气。

六、作业中融入数学史

上完每次课都要给学生布置作业，除了课后作业以外，还要布置和数学史有关的作业。即要求学生通过网络、图书馆或者其他参考书籍搜索和本次课有关的数学文化内容，从而主动了解所学知识发生和发展的过程。这样不仅可以加深学生对本次课内容的了解，还可以培养学生自主学习的能力。

七、结语

通过学习数学史，不仅可以建立学生独立思考意识，还可以培养学生研究问题的良好习惯，学生通过对问题的思考与分析，更能对问题产生深刻印象，熟练掌握数学知识，进一步应用于解决数学问题中。学生不断的在学习、思考、探究过程中进行循环，久而久之形成一系列的解决数学问题的思维能力，让学生对数学产生兴趣，培养学生自主学习的能力［3］。