高速动车组运动模型永磁涡流制动解析方法研究

苑一祥 周文祥 孔振文 祝向阳

摘 要：高速动车组运动模型车穿越制动装置时，其铝合金侧板与固定的 Halbach 永磁阵列发生相对运动并产生涡流制动力，从而使车辆快速制动。文章建立涡流制动系统二维模型，推导制动力和法向力解析表达式;根据系统实际参数计算出制动力和法向力随速度变化的特性曲线，并用 Maxwell 有限元计算结果进行比对;采用制动曲线拟合方法，得到忽略摩擦力及风阻时运动模型制动距离的解析式和算例;用有限元仿真结果进行比对，大幅度提高涡流制动系统设计校核、气隙调整计算效率。

关键词：高速动车组;运动模型;Halbach 永磁阵列;涡流制动;有限元分析

中图分类号：U260.357

1 引言

西南交通大学采用缩尺比为1 ： 10的3节编组模型车进行动车组空气动力学试验。试验台线路长146 m，包括加速、测试及制动区段。鉴于涡流制动有高减速、短距离、无磨损特点，在法国、德国及日本的高速动车组均有应用[1]。Halbach永磁阵列体积小、简单可靠，双边布置还可利用法向排斥力导向，因此，速度高达100m/s的运动模型车采用了永磁涡流制动。

当运动模型车涡流制动力及导向力不足，或制动力、法向挤压力过大时，其有撞毁或损坏危险。因此，必须对运动模型车与固定的永磁阵列构成的涡流制动系统进行可靠设计校核、优化分析，分析涡流制动力及加速度、涡流法向力随速度而变的特性曲线，以及进入初速与制动距离的关系。

目前，永磁涡流制动的工程设计还依靠对具体电磁场的分析。Aldo Canova为得到永磁涡流制动力随速度变化的特性曲线，采用了解析和有限元方法[3];文献[4]探讨了混合励磁的直线涡流制动（包括气隙在内的参数）对制动性能的影响;文献[5]利用有限元计算，按需要设计制动装置长度，但模型制动距离仅2 m。当1 ： 10动车模型制动距离超过10 m后，有限元方法所需计算时间很长，效率不高。

本文针对1：10运动模型试验台特定的Halbach永磁阵列涡流制动系统建立简化模型，推导了制动力和法向力解析表达式;按实际参数得到制动和法向力随速度变化的特性曲线，并用Maxwell软件结果进行比对;用拟合制动特性曲线方法得到运动模型制动距离解析式，并通过仿真验证了制动距离解析计算结果。

2 永磁涡流制动系统物理模型

缩比为1 ： 10，总重约190 kg、全长约8 m的3节模型车采用的永磁阵列涡流制动系统如图1所示。图1中龙门架两侧均固定3行磁化强度相同、尺寸相同的永磁体，每1行永磁体呈Halbach阵列布置，磁化方向如图2所示。永磁涡流制动系统参数如表1所示。

模型车两侧的非导磁铝合金板在制动过程中产生涡流和电磁力，且车体其他部分不产生电磁力。因此，只需分析1行永磁阵列及其对应铝合金板的磁场和受力分布，即可得知整个模型车的运动规律。

为简化计算，进行如下假设[6]：气隙的磁感应强度在z方向上为0，忽略端部效应;非导磁铝合金板与Halbach阵列均为无限长;忽略摩擦阻力和气动阻力。

通过以上假设和简化，可以将复杂的三维电磁场计算问题转化为二维，简化后的物理模型如图2所示，其中黑色箭头为永磁体磁化方向。

3 永磁涡流电磁力解析

3.1 磁场与电磁力

根据材料电磁特性的不同，可以将计算区域划分为5个部分[7]，如图3所示。

设μ0为真空磁导率，i为虚数单位，Br为永磁材料中的剩磁，τ为极距，ω = π / τ，以图2所示位置为坐标原点，根据图2中永磁体的磁化方向，对永磁体中磁化强度M的x轴分量Mx，y轴分量My进行傅里叶变换，可得：

图3中区域Ⅰ、区域Ⅱ、区域Ⅲ、区域Ⅳ、区域Ⅴ中的矢量磁位A方程为：

式（5）中，μⅣ为区域Ⅳ介质的相对磁导率;σ为铝合金板电导率，v为铝合金板运动速度。

边界条件为[4]：

式（6）、（7）中，n为方向垂直边界的单位向量;Bj、Bk为磁感应强度;Hj、 Hk 为磁场强度;j，k为相邻2个区域的编号。

由分离变量法，可将矢量磁位A表示为：

将边界条件公式（6）、（7）带入公式（9）～（13），解得待定系数C和D，即可得各区域内的矢量磁位A，从而求得各个区域内的磁场[8]。

由麦克斯韦应力张量法可得，长度为2τ的非导磁铝合金板所受涡流切向制动力和法向挤压力为[9]：

式（15）、（16）中，w为永磁体的宽度;BIVyn、BIVxn分别为计算区域Ⅳ磁感应强度在x、y向n次谐波分量。

3.2 制动力和法向力的算例与比对

（1）将表1的具体参数代入式（15）、（16），通過MATLAB编程计算得到不同气隙下的涡流制动力及涡流法向力曲线，如图4和图5所示。制动力随速度的降低而增加，在15m/s时达到峰值，约为90m/s时的3 倍，随后减小至0;涡流法向力随速度降低缓慢减小，并在速度降至小于30m/s时加速减小。最大制动力约为最大法向力的0.6倍。

（2）为比对解析计算结果，按图2建立Maxwell2D有限元计算模型。设铝合金板以100m/s的初速度运动，记录不同速度的涡流制动力和法向力，其结果绘制于图4和图5中。整体而言，涡流制动力解析计算结果与仿真计算结果一致。因此，可在解析计算结果的基础上，对涡流制动距离进行计算。

（3）作为工程项目，调整气隙是调整涡流制动力及涡流法向力的主要手段。为此，图4和图5也列出了当气隙为6 m、8 m、10 m、12mm时的涡流制动力及涡流法向力与速度的关系曲线，可以看出，随着气隙的增大，电磁力逐渐减小，且变化幅度逐渐减小。

（4）计算气隙6 mm、8 mm、10 mm和12 mm时的涡流制动力与气隙6 mm时的涡流制动力之比，计算气隙6 mm、8 mm、10 mm和12 mm时的涡流法向力与气隙6 mm时的涡流法向力之比，可得到电磁力随气隙变化的规律，如表2所示。这可为通过气隙调整制动加速度及法向力提供依据。表2表明，气隙从6 mm开始，逐渐增大到8 mm、10 mm、12 mm过程中，气隙每增大2mm，制动力减小约10%，法向力减小约9%。

（5）图4、图5是单行永磁体对2倍极距（2τ）长度的铝合金板产生的电磁力。实验装置两侧永磁阵列共6行，3节模型车质量为190 kg，侧面铝合金板总长度为5 752 mm，不计空气阻力及摩擦力，最大的制动加速度将达到950 m/s2。如果在适当的制动区段将气隙增加到12 mm，则最大加速度降低到约700  m/s2，降低约 27%。

4 涡流制动距离研究

4.1 制动距离计算方法

制动力的解析计算公式较为复杂，不利于计算制动距离，因此对制动力-速度曲线通过公式（17）进行拟合：

式（17）中，q1，q2，q3为待定系数。

设铝合金板总长为L，单节模型车质量的1/6为m0，制动装置最左端为原点，x为铝合金板位移，v0为初速度，其分析模型如图6所示。

当0

当初速度较小时，铝合金板全部进入制动区域前速度已经减为0，将公式（17）代入公式（18）并对两边积分，可得 时制动距离x0表达式为：

4.2 制动距离算例与比对

（1）将气隙为6 mm的制动力数据代入公式（17），用最小二乘法算出待定参数q的值，得到制动力-速度拟合曲线的均方根误差为4.95，测定系数R-square为0.999 8，表明拟合效果良好。

（2）根据公式（19）和（23）可求出不同气隙的不同初速度v0下的制动距离，如图7所示。由于采用有限元法计算不同气隙下的制动距离需要大量的计算，本文仅对铝合金板长度为2476mm的单节模型车、气隙为6mm时的制动距离进行比对。结果表明，随着气隙的增大，所需制动距离迅速增大;对初速度为100m/s的单节模型车，气隙为6mm时所需制动距离为10.66m，气隙为12mm时所需制动距离为13.91m。

（3）以上为单节模型车的计算结果，实际试验中采用的3节模型车，铝合金侧板总长约5.7m，总重约190kg，初速度为100m/s。根据公式（23）可以算出，气隙为6mm时所需的制动距离为15.14 m，如果气隙整体调整到12mm，制动距离则增加到19.3m，现有的制动单元长度为26m，能够满足试验需求。

5 结论

（1）永磁Halbach涡流制动的解析方法可以解决有限元计算量过大的困难。

（2）气隙不变的情况下，涡流制动力是速度的有理函数，制动距离是初速度的三次曲线。

（3）涡流制动力和涡流法向力随着气隙长度的增大逐渐减小，气隙从6 mm开始，气隙每增大2 mm，涡流制动力减少约10%，涡流法向力减小约9%。

（4）速度为100 m/s的3节模型车试验，现有的制动单元数量能够满足需求。

参考文献

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收稿日期 2020-05-29

责任编辑 朱开明