考虑梗腋影响的箱形梁剪力滞效应分析

张玉元，余剑搏,2，张元海

(1. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 四川公路桥梁建设集团有限公司勘察设计分公司，四川 成都 610041)

箱形梁的剪力滞效应是翼板产生纵向位移时，由于面内不均匀剪切变形引起弯曲正应力沿横向呈曲线分布的一种力学现象[1-3]。在设计计算时，该效应引起的应力峰值应得到足够重视，否则将无法保证结构的抗裂性能，甚至引发安全事故。为此，国内外学者基于能量变分法[4-12]开展了大量研究，这些研究工作主要体现在：改进的剪力滞翘曲位移模式分析[5-8]、剪力滞剪切效应的联合求解方法[9]、考虑剪切变形影响的翘曲位移修正模式研究[10]、基于弹性力学方法的翘曲位移函数合理形式探讨[11]、考虑翼板变厚度影响的剪力滞效应变分解析方法[12]等，但这些研究均未考虑箱形梁梗腋加劲的影响。箱形梁设计时为改善截面的受力特性，在翼板和腹板的连接处均设有梗腋。已有文献对考虑梗腋加劲影响的剪力滞效应分析很少。文献[13]通过建立MIDAS模型，分析了梗腋对波形钢腹板预应力混凝土刚构桥剪力滞效应的影响。文献[14-15]运用ANSYS有限元法分析了梗腋对直线和曲线箱形梁静力特性的影响。可见，梗腋对箱梁剪力滞效应的理论分析还较缺乏，需要进一步研究和完善。

本文在引入梗腋特性参数的基础上，选取剪力滞效应引起的挠度变化为广义位移，运用能量变分法建立考虑梗腋影响的剪力滞效应控制微分方程，导出集中和均布荷载作用下简支箱梁的剪力滞效应解析解。基于某一预应力混凝土简支箱梁算例，进一步揭示梗腋及其参数变化对箱梁剪力滞效应的影响规律。

1 考虑梗腋的剪力滞控制微分方程

如图1所示，考虑梗腋影响时箱形梁在任意竖向分布荷载q(z)作用下发生挠曲变形，其横截面上任一点的纵向位移u(x,y,z)表达为

u(x,y,z)=u0(x,y,z)+uω(x,y,z)=

( 1 )

图1 考虑梗腋的箱形梁截面简图

图1中，bi(i=1,2,3)为各翼板的宽度，hu和hb为上、下翼板中面到形心轴的距离，h为顶、底板中面之间的距离，tu为上翼板厚度，tb为下翼板厚度，tw为腹板厚度，θ为腹板俯角。

选取余弦函数[7-8]来描述翘曲位移模式，将各翼板剪力滞基本翘曲位移函数ω选取如下

( 2 )

式中：α为悬臂板翘曲位移修正系数，α=(b3/b1)2；β为底板翘曲位移修正系数，β=(b2/b1)2·(hb/hu)。

由式( 1 )可知，第一项变形在材料力学中已解决，现仅对第二项变形(即剪力滞翘曲变形状态)进行分析。根据几何方程及胡克定律，结合式( 1 )可得箱梁横截面任一点的翘曲正应力σω(x,y,z)为

( 3 )

箱形梁发生翘曲变形时，其截面翘曲正应力满足自平衡条件，即翘曲正应力在面内不合成轴力和弯矩

( 4 )

( 5 )

将式( 3 )分别代入式( 4 )、式( 5 )，经积分运算可得

( 6 )

( 7 )

式中：A为箱形梁横截面积；Ai为各翼板的横截面积；Ix为箱梁横截面对x轴的惯性矩；Ii为各翼板对x轴的惯性矩。

为了描述梗腋对箱形梁剪力滞效应的影响，特引入梗腋特性参数ξ

( 8 )

假设腹板服从平截面假定，运用能量变分法建立考虑梗腋影响的箱形梁翘曲变形总势能，即

( 9 )

式中：

(10)

(11)

其中：

对总势能泛函进行一阶变分运算，并令δΠ=0，化简可得考虑梗腋影响的剪力滞挠度变化控制微分方程

(12)

式中：k为考虑梗腋影响的Reissner参数，即

(13)

由微分方程式(12)可得考虑梗腋影响的箱形梁剪力滞挠度变化通解

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*

(14)

式中：f*为仅与q(z)荷载分布有关的特解；其余待定系数由具体边界条件确定。

确定上述4个常数的边界条件为

(1)固定端：f=0，f′=0。

(2)简支端：f=0，f″=0。

(3)自由端：f″=0，f‴-k2f′=0。

2 考虑梗腋的简支梁剪力滞效应解答

图2为跨中受集中荷载P作用的简支箱梁，对该结构求解剪力滞效应时，根据对称性，可取左半部分进行分析。

图2 简支箱梁跨中作用集中荷载简图

由考虑梗腋影响的箱形梁剪力滞挠度变化表达式(14)可知，与分布荷载q(z)相关的特解f*=0。为确定式(14)中的待定系数，可利用以下4个边界条件求解，即

(15)

联立上述4个条件确定C1～C4后，代入可得集中荷载作用下考虑梗腋影响的简支箱梁左半跨挠度变化计算公式

(16)

易知，截面上任一点的纵向应力由初等梁正应力σ0和翘曲正应力σω构成，则集中荷载作用下简支箱梁左半跨的纵向应力表达为

(17)

根据挠度和应力表达式，可导出箱梁的挠度剪力滞系数λf和应力剪力滞系数λσ表达式

(18)

(19)

图3为受均布荷载作用的简支箱梁，由式(14)可知，其挠度变化的特解f*为

(20)

图3 简支箱梁作用均布荷载简图

为确定式(14)中的待定系数，可利用以下4个边界条件求解，即

(21)

联立上述4个条件确定C1～C4后，即可求得均布荷载作用下考虑梗腋影响的简支箱梁挠度变化计算公式

(22)

均布荷载作用下考虑梗腋影响的简支箱梁截面任一点纵向应力表达为

(23)

均布荷载作用下考虑梗腋影响的简支箱梁挠度剪力滞系数λf和应力剪力滞系数λσ计算公式为

(24)

(25)

3 算例分析

以某30 m预应力混凝土简支箱梁为例，其截面尺寸及计算点位置见图4。材料为C50混凝土，弹性模量E=3.55×104MPa，泊松比μ=0.167。跨中截面作用集中荷载P=2×800 kN和满跨均布荷载q=2×80 kN/m；经计算该箱梁的梗腋特性参数ξ=0.133。

图4 箱梁截面尺寸及计算点位置(单位: m)

3.1 梗腋对剪力滞效应的影响分析

运用Ansys-Solid45单元建立箱梁实体模型，共划分133 182个节点、114 156个单元，计算并提取跨中截面计算点的纵向应力值；利用本文方法计算考虑和不考虑梗腋时两种荷载工况下简支箱梁跨中截面计算点的纵向应力，连同有限元解一同列于表1以便对比；同时列出跨中截面关键点的翘曲正应力，如表2所示。

表1 跨中截面纵向应力比较 MPa

由表1可知：集中和均布荷载作用下考虑梗腋的计算结果与有限元数值解吻合更好；集中荷载作用下考虑梗腋影响的箱梁上翼板纵向应力减小了17.0%～20.0%，下翼板纵向应力减小了6.4%～6.7%；均布荷载作用下考虑梗腋影响的箱梁上翼板纵向应力减小了18.4%～19.2%，下翼板纵向应力减小了6.3%～9.0%。

由表2可知，梗腋对箱梁上翼板翘曲正应力的影响较显著；集中和均布荷载作用下，考虑梗腋影响时顶板肋处的翘曲正应力减小了27.6%和27.1%。

图5为均布荷载作用下考虑和不考虑梗腋影响的箱梁跨中截面应力剪力滞系数横向分布图。由图5可以看出，梗腋对上翼板剪力滞系数的影响明显大于下翼板；考虑梗腋时顶板肋处的剪力滞系数减小了0.2%，顶板中点处的剪力滞系数增大了0.3%。

图6为均布荷载作用下考虑和不考虑梗腋影响的箱形梁挠曲线纵向分布图。由图6可以看出，考虑梗腋加劲使箱形梁挠度显著降低；考虑梗腋影响的箱梁跨中截面初等梁挠度、挠度变化及总挠度减小了11.2%、12.4%和11.3%。

图5 均布荷载作用下跨中截面应力剪力滞系数横向分布

图6 均布荷载作用下箱形梁挠曲线纵向分布

图7为两种荷载工况下，考虑和不考虑梗腋影响的箱形梁挠度剪力滞系数纵向分布图。由图7可以看出，考虑梗腋影响时两种荷载作用下各截面的挠度剪力滞系数均减小；集中荷载作用时，挠度剪力滞系数由跨中向两侧支点递减，均布荷载作用时挠度剪力滞系数的分布规律与之相反。

图7 箱形梁挠度剪力滞系数纵向分布

3.2 梗腋参数变化对剪力滞效应的影响分析

以图4为例，在保持截面基本参数、跨度、荷载及材料特性不变的情况下，改变上翼板梗腋尺寸。梗腋高度取25 cm，腹板外侧梗腋宽度由120 cm减小至50 cm，步长为10 cm，腹板内侧梗腋由75 cm减小至40 cm，步长为5 cm，计算得到相应梗腋特性参数为0.133、0.122、0.110、0.099、0.088、0.077、0.066、0.054。利用本文方法，计算均布荷载作用下跨中截面挠度变化及顶板肋处应力剪力滞系数影响分布，见图8、图9。

图8 梗腋特性参数对应力剪力滞系数的影响分布

图9 梗腋特性参数对剪力滞挠度变化的影响分布

图8为均布荷载作用下梗腋特性参数对应力剪力滞系数的影响分布图，可以看出，应力剪力滞系数与梗腋特性参数近似呈线性关系；随着梗腋特性参数的增加，顶板肋处的剪力滞系数逐渐减小；梗腋特性参数由0.054增大至0.133时，顶板肋处的剪力滞系数减小了0.13%。

图9为均布荷载作用下梗腋特性参数对跨中截面挠度变化的影响分布图，可以看出，挠度变化与梗腋特性参数之间近似呈线性关系；随着梗腋特性参数的增加，跨中截面挠度变化逐渐减小；梗腋特性参数由0.054增大至0.133时，挠度变化减小了5.3%。

4 结论

(1)本文在定义梗腋特性参数的基础上，应用能量变分法分析了梗腋对箱形梁剪力滞效应的影响，算例分析表明，考虑梗腋的计算结果与有限元数值解吻合更好，进而验证了本文方法的正确性。

(2)梗腋对箱形梁剪力滞效应有一定的削弱作用；考虑梗腋的挠度和应力剪力滞系数均小于未考虑的计算结果；梗腋对上翼板应力影响较显著，均布荷载作用下跨中截面顶、底板肋处的纵向应力减小了19.2%和6.4%，翘曲正应力减小了27.1%和5.4%。

(3)考虑梗腋影响的箱形梁挠度显著降低；均布荷载作用下箱梁跨中截面剪力滞挠度变化和总挠度降低了12.4%和11.3%。

(4)梗腋特性参数对剪力滞效应的影响近似呈线性分布；随着梗腋特性参数的增加，跨中截面顶板肋处的剪力滞系数减小幅度较小，挠度变化幅度较大。