一类扰动五次哈密顿系统的双尖点极限环

洪晓春，张 伟，杨春妮

(1.云南财经大学 统计与数学学院,昆明 650221;2.新东方学校 西安市雁塔区培训中心,西安 710000)

对于希尔伯特第16问题,平面多项式向量场极限环的个数及分布问题得到了广泛研究,获得了大量优秀成果.为了解决这个难题,V.I.Aronld提出了弱化的希尔伯特第16问题[1],即扰动系统的Abel积分零点个数上界与极限环个数的关系问题.

(1)

其中a,b,c∈R且c≠0.

系统(1)是一个超椭圆哈密顿系统,文献[2]证明了系统(1)在(a0+a1x+a2x2)y,ai∈R(i=0,1,2)扰动下的极限环个数不超过3个.文献[3]证明了系统(1)在任意n次多项式扰动下的极限环个数不超过5n-3.

(2)

文献[4]应用判定函数方法和数值模拟方法[5]给出了系统(2)有3个极限环.

(3)

文献[6]应用判定函数方法和数值模拟方法给出了系统(3)有3个极限环.

(4)

文献[7]应用判定函数方法和数值模拟方法给出了系统(4)有3个极限环.

(5)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+ky4-λ.文献[8]应用判定函数方法和数值模拟方法给出了系统(5)有15个极限环.

(6)

(7)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+kx2y2-λ.文献[9]应用判定函数方法和数值模拟方法给出了系统(6)及系统(7)均有8个极限环.

(8)

文献[10]对系统(8)的相图情况进行了分类，分为a,b,c,d,e,f,g7种情况，并且证明了系统(8)在任意n次多项式扰动下的极限环个数不超过54n-13.

(9)

其中q(x,y)=a0+a1x2+a2y2,ai∈R(i=0,1,2),0<ε≪1.

应用判定函数和数值计算方法,得出系统(9)有3个极限环,而且出现双尖点极限环的情况.当a1=-1,a2=0.95,ε=0.001时，分别取a0=-0.02,a0=-0.041 145 8,a0=-0.06,使用数值模拟方法[11]给出了3个极限环的具体位置.

1 对非扰动系统的分析

(10)

图1 非扰动系统(10)的相图Fig.1 Phase diagram of the unperturbed system (10)

(11)

(12)

当y=0时,由式(11)可得：

x6-3x4+3x2-6h=0.

(13)

对于任意的h(0

2 判定函数和判定曲线

文献[5]中研究了如下扰动系统：

(14)

其中p(0,0)=q(0,0)=0.令Abel积分A(h)=0,得到：

(15)

(16)

则函数λ(h)称为扰动系统(14)的判定函数.

定理1[5]对于任意给定的λ0,

1) 如果(h0,λ(h0))是直线λ=λ0与判定曲线λ=λ(h)的交点,且λ′(h0)>0(<0),系统(14)在Γh0附近当λ=λ0时有一个稳定(不稳定)的极限环.

2) 如果直线λ=λ0与判定曲线λ=λ(h)没有交点,则系统(14)当λ=λ0时没有极限环.

同理,如果随着h的增加,Γh向内收缩,极限环的稳定性与之相反.

为了简洁,此处略去定理的证明.

图2 当a1=-1,a2=0.95时,扰动系统(9)的判定曲线Fig.2 Detection curves of the perturbed system (9) when a1=-1 and a2=0.95

3 扰动系统(9)的极限环分支

对于扰动系统(9),可得其Abel积分：A(h)=∮Γh(a0+a1x2+a2y2)ydx.

(17)

对式(17)使用格林公式得：

A(h)=-∬Γh(D)(a0+a1x2+3a2y2)dxdy.

(18)

令A(h)=0,由式(12)、(13)、(18)，可得两个判定函数如下:

(0

(19)

(1/6

(20)

当a1=-1,a2=0.95时,由式(12)、(13)、(19)、(20)，可得判定函数如表1所示.

由表1表示的函数,可以得到系统(9)的判定曲线，如图2所示.

表1 当a1=-1,a2=0.95时,扰动系统(9)的判定函数Tab.1 Detection functions of perturbed system (9) when a1=-1 and a2=0.95

续表1

由定理1及系统(9)的判定曲线(图2),可以得出以下定理.

定理2 对于系统(9),当a1=-1,a2=0.95,0<ε≪1时,由系统的判定曲线,可得到以下结果.

1) 当a0<-0.082 477 6或a0=0.171 66 5时,系统(9)有1个极限环.

2) 当0≤a0<0.171 665或a0=-0.082 477 6时,系统(9)有2个极限环.

3) 当-0.082 477 6

大、小极限环分别通过点(1.490,0)和(0.216,0)，它们 都是不稳定的;中极限环通过点(1.087,0)，它是稳定的图3 当a0=-0.02,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001时,系统(9)的3个极限环及它们的位置Fig.3 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.02,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001

大、小极限环分别通过点(1.495,0)和(0.327,0)，它们都是不稳定的;中极限环(双尖点极限环)通过点(1,0)，它是稳定的图4 当a0=-0.041 145 8,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001时,系统(9)的3个极限环和它们的位置Fig.4 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.041 145 8,a1=-1,a2=0.95,and ε=0.001

大、小极限环分别通过点(1.503,0)和(0.423,0)，它们都是不稳定的；中极限环通过点(0.842,0)，它是稳定的图5 当a0=-0.06,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001时,系统(9)的3个极限环和它们的位置Fig.5 The 3 limit cycles and their locations of system (9) when a0=-0.06,a1=-1,a2=0.95,ε=0.001

4 结语

本文运用判定函数方法[5]给出了系统(9)的极限环分支情况.研究表明,在特殊三次扰动下,当a1=-1,a2=0.95,-0.082 477 6