高等数学课堂教学模式的研究与实践*

钟德寿 （中国社会科学院大学）

一 引言

高等院校非数学专业的数学类课程教学中，课堂教学是学校教学的主要形式，是完成教学计划、提高教学质量的重要环节。学生学习知识的过程、探索和解决问题的思维过程都是有一定规律的，因此，研究掌握大多数学生对知识的学习、理解的规律性，探索课堂教学的规律、教学方法，提升教学质量和效果是教育者必须面对的课题。

教学方法、教学结构和教学模式的定义有很多，这里我们采用以下定义：教学方法是指为达到教学目标，完成教学内容，运用各种适合的教学手段而进行的师生相互作用的活动。教学结构是教学过程各阶段、环节、步骤等要素的组合。

教学模式是指在一定的教学思想、教学理论、学习理论指导下，由特定的教学目标、主题内容、教学方法、教学程序等组成的相对稳定的系统化结构。它是教学理论在教学过程中的具体化，又是教学经验的系统总结，并在实践中不断被优化和改进。探索和应用教学模式对于提高教学效果和学习效率有很大的促进作用。

二 数学课堂教学模式的探讨

（一）基于主题内容的传统数学课堂教学模式

新概念引入类型：一般是以例子或是问题为引导，逐步引出要讲授的新的数学概念。选择的例子或问题具有代表性和指向性，学生根据所具备的知识和能力可以部分或者从本质特征上给出答案，可能不完整或不完全正确。教师在引导的过程中，做好辅助作用。充分发挥学生的能动性，多给学生思考的余地。通过讲解，让学生透彻的理解和掌握新概念。在教师的引导和讲授中潜移默化地影响学生观察问题、分析问题和解决问题的思想方法，提高思维能力。

在教学中，新的数学概念的引入是非常关键的。学生第一次接触到新的概念，一定会有很多的问题和好奇。如何调动学生的兴趣和积极性，以及按照科学发现的规律，去培养学生探索未知的精神和发现新事物的能力是教学的首要任务。发现法主要是学生依靠自己的力量去寻求问题的解决从而发现新规律形成新的概念，而不是依赖于教师的讲授。学生学习的最终的目的不仅仅是掌握知识的结论，而更重要的是要掌握发现知识的规律和过程。新的数学概念的引入这类教学内容比较适用于发现法教学。发现法教学的一般操作程序是：问题—假设—推理—验证。

数学教学理论认为学生数学学习的过程是学生的自我建构、自我发现和进行再创造的过程。教学中进行发现教学法的目的就在于培养学生发现问题、解决问题的能力，掌握探究的思想方法，并在教师的引导下，通过对数学发现过程的学习和体验，进行学习新知识的活动。

发现教学法，必须将方法与内容相结合，把数学发现的过程进行重新加工、整理，使其成为学生学习的可行路径。教育的目标是培养有创新能力的人才，这不仅需要掌握系统的科学知识，更主要的是提高其探索和发现新事物、新问题的能力。

发现式教学由于从思想、方法上，把开启自主学习、探索研究之门的钥匙交给了学生，从而有利于学生思维品质的培养和提高。教师的引导必须能够从学生的实际出发，激发学生的学习兴趣。一个完善和发展的教学不仅要使学生掌握知识与技能，还要教会学生学习，促进学生身心发展。必须调动起学生学习的内在动力，学习没有“内驱力”，教师无论怎样下力气，也很难收到良好的教学效果。

应用概念进行计算的类型：高等数学大部分内容都是需要通过计算解决问题的，纯数学的证明和推导往往也需要抽象的运算。面对运用所学概念和原理进行计算时，很多同学仅仅注重计算中的技巧，忽视了对概念本身的理解和深化。课堂上尽管有时也经常举一些恰当的例子用以解释和巩固对已学概念的理解。然而当一个例题难度较大，隐含着概念的综合运用时，对例题的讲授和计算就要进行分解，以利于学生的理解和学习。在讲解例题和进行计算时，最重要的还是对知识、概念的消化和理解，不能忘记初衷。

基于这类主题内容的课堂教学模式，一般采用以问题为导向的讲授式。一般的讲授式突出了教师的主导作用，目标是在较短的时间内使学生尽快系统地学习基础知识和基本技能。而以问题为导向的讲授式是在高等数学课堂教学中运用最多的一种教学模式，讲授式不是简单的满堂灌模式，而是教师根据教学目标，提出一系列的问题，通过问题的解决达到最终目标。在相对固定的程序中教师要运用适当的教学方法，以问题为导向调动和激发学生的学习热情来提高教学的效率。它的基本程序是：复习旧知识引出新问题——分析问题——分解问题——解决问题——归纳总结。

综上所述，急性葡萄膜炎可能是唑来膦酸注射液引起的一种APR，在临床使用唑来膦酸时，应告知患者可能会出现眼部不良反应，一旦发生急性葡萄膜炎，有必要采取糖皮质激素治疗。唑来膦酸相关性急性葡萄膜炎的发病机制以及减少其发病率的具体有效措施，仍然有待进一步研究。

在课堂教学中复习旧知识环节主要是从已学知识中选择与本节课相关的知识进行复习，并对本节课讲授的知识应用和计算类型提出的问题。例如在讲授微分概念的应用时，我们通过复习微分法的发现和创造过程，认识微分概念的基本应用是复杂问题的线性化和近似计算。在数学概念的应用中，多数是以问题为导向，通过对问题的层层剖析，寻找已有概念和目标问题之间的联系，启发学生构建数学模型。在解决问题的过程中，学生要运用已经掌握的数学知识，通过分解、转化等方法，由繁至简给出问题的解答。在课堂的结尾，教师要归纳总结本节课所遇到的问题的类型，思考方法，数学的基本概念，计算中的技巧方法等。

定理公式的证明类型：大学数学课堂里最常见的教学类型，一堂数学课常常以定理公式的证明开始，以定理公式的应用而结束。这是大学数学课堂教学不可回避的一个重要内容或教学形式，这也是最能体现教师的数学修养、数学思维能力和教学能力的一个环节。教师对数学定理和公式的释义、定理中的逻辑思想、定理证明方法的一般性和特殊性、定理内容与相关概念的联系、由定理引发的联想和展望，以及在日常生活工作中的体现与应用等方面的讲授，都不同程度反映了教师对定理、公式理解的深度和广度。在讲授这部分内容时教师要清晰准确地表达定理的内容、证明的思路和逻辑特征。

演绎法、反证法、同一法、归纳法等方法都是数学证明经常运用的。在证明数学命题时，首先要明确数学命题的本质和意义，要用最容易理解的语言去描述数学命题。并要启发学生运用已经学过的知识去理解命题，用通俗的语言描述自己理解的数学命题的内涵，寻找证明命题的方法和思路。在证明的初期我们要运用形象的语言和图示积极引导学生的发散思维，找出证明的途径。这类内容的教学一般采用启发式教学。启发式教学是在教师的直接讲授模式下进行的，直接讲授突出了教师的主导作用，在教师的主导下运用启发式直接找准目标，在较短的时间内使学生尽快寻找到正确的解题方法和解题途径。这是在高等数学课堂教学中运用最多的一种教学模式，我们不能简单地把它理解为照本宣科，而是在相对固定的程序中教师要运用适当的教学方法，调动和激发学生的学习热情来提高教学的效率。它的基本程序是：在已有知识里提炼引入新知识的问题———通过图示和形象描述启发学生思考新问题——总结新问题的本质特征——寻找证明问题的途径——确定采取证明的方法——给出问题的证明——归纳叙述命题。

在已有知识里提炼引入新知识的问题，这需要教师在学生已学知识和未学知识之间建立一个问题桥梁。这是教师先学一步的优势，以教师先入为主，启发学生的思维，其方向更加明确。这与研究性教学有不同的地方，对学生的创新思维和独立探索能力的培养有一定的损失，但是对于提高课堂教学的效率是大有益处。

构建问题桥梁，可以用归纳、类比、推理、猜想等方法，为启发式教学构造一系列问题，让学生在问题中寻找规律和差异，为最终问题的解决找到可行途径。在师生的互动中完成定理的推导证明，最后不可忽视的是定理的叙述和证明的语言描述要准确，证明过程要严密，书写要工整。

习题归纳总结类型：在数学基础课教学中，通过适当安排专门的习题课可以帮助学生梳理一段时间学习的知识，从宏观上提升学生的整体理解水平。并通过典型习题的分类讲解，有针对性地纠正学生在学习中的错误，包括知识内容、思想方法、书写表达等方面。

高等数学的学习需要不断地总结所学的知识、概念、方法、技巧、思维方式、学习习惯等各方面的经验。只有经常性的反思和总结才能提高数学的思维能力和学习能力，因此，阶段性的习题课作为阶段学习的总结也是必要的。习题课不能简单地理解为讲解难题、综合题等，而是要将习题课当成一次梳理、总结、提高的训练课。习题课的内容安排也是紧紧围绕着本阶段学习的主要概念、知识要点、重要方法、特性思维等开展的总结、归纳和提高。

这类教学内容和形式的课程适合由教师和学生共同设计问题，由学生相互探讨完成。教师在每一阶段学习完成之前，要求学生归纳总结本阶段学习内容中的基本概念、基本方法和思维方式，以及重点、难点问题。教师也会根据学生的学习状况和教学内容挑选具有代表性的题目交给学生。学生在课下组成学习小组讨论课程内容和题目的关系、解题方法、解题思路、解题技巧等。

习题课上，由学生对本阶段学习的内容给予概括性总结，并对习题给出解答。教师发挥辅导、启发、纠错、归纳、总结的作用。课堂的授课形式适合自学———辅导式。

自学—辅导式的基本程序是：教师在一阶段教学结束前应向学生布置本阶段学习内容中必须掌握的基本概念、基本方法和思维方式；学生和教师共同给出本阶段学习的典型问题、典型方法、基本习题和综合习题；学生在课前通过讨论、查阅资料完成习题课上要求的内容和总结，以及习题解答；课堂上由教师补充引导完成对本阶段学习内容的总结，对习题解答中出现的问题给予纠错，提出多种方法的解答，提高学生的思维能力；在解题过程中，对学生存在的数学语言不准确、不规范的情况给予纠正；教师最后作本节课小结，提纲挈领，归纳本阶段必须掌握的习题类型、思想方法、基本技巧。

针对上述四个方面的教学内容和教学形式，我们可以采取的教学模式有：发现法、直接讲授、以问题为导向的教学法、自学辅导式等。但是由于数学课堂教学的课时有限，教学内容较多，大多数教师还是采取了几种教学模式的混合形式。如何在大学高等数学教学中，尽量地提升学生主体地位，又能够完成教学任务。这是摆在每一位希望成为一个好的大学数学教师面前的重要课题。

（二）以问题引领的数学课堂教学模式

近来，北京市高校数学教学发展研究中心在北京市高等学校数学基础课教学研究课题中，倡导数学建模思想融入工科数学基础课，以及面向问题的研究式教学模式和以问题为导向的探究式教学模式，为我们提供了解决大学数学基础课学时有限、内容多、学生多的一个有效的方法。

面向问题的研究式教学是指教师数学教学内容以问题为中心，通过问题组织教学。数学的知识来源于两个方面，一是人类的生产实践，二是数学本身的发展需要，两者都是由问题构成的。我们在教学中往往是按照教材的顺序组织教学，这与数学的发现不尽相同。按着教材的顺序照本宣科会阻碍学生对数学本来面目的认识和对数学的理解。因此，我们回归数学的本源，重走数学的发现之旅就成为数学教学的一个好的方式。

面向问题的研究式教学模式的程序：根据教学内容选择发现发明本部分数学内容的原始问题；以此问题出发，沿着数学家发现发明的足迹一步步引导学生解决此问题；用规范的数学语言表达此问题；用演绎推理的逻辑顺序归纳整理本部分教学内容。

以问题为导向的探究式教学模式是指教师从学生的实际出发，创设问题情境，设置疑问，在引导中不断挖掘学生潜能，鼓励学生进行探究解决问题，建构知识。教师的主导作用是按照教学的目的和要求，创设问题情境，设置疑问，由学生去发现问题，提出具体实施程序，学生解决问题、习得知识和技能的教学模式。

以问题为导向的探究式教学模式基本程序是：以实际存在的问题出发，由教师创设问题情境；学生在教师的指导下，对问题进行探究，查阅资料、分组讨论；由学生整理归纳提出问题，由教师引导用数学语言表达出问题；由学生提出初步解决问题的方法和途径，教师给予必要的提示；教师总结给出问题的规范表述和严格的逻辑证明或解答。

上述两个教学模式既有共同点又有侧重，面向问题的研究式教学更强调教师的主导作用，以问题为导向的探究式教学更多地强调学生的主体作用。无论哪一种教学模式都体现了教师为主导，学生为主体的现代教学理念。上述两个模式都是以问题为引导的，通常需要从一个能够引起学生深思和兴趣的源问题出发，通过对问题的不断深入研究，引发出一系列问题，凭借这些问题的解决，有效地引导和启发学生的思维，特别是创造性的思维。这一过程就可以有效地化解数学教学中的难点；有效地引导数学概念与定理的创立；有效地促进学生新的思维体系的生成，使学生获得必要的知识，而且逐步培养发现问题的意识，训练提出问题、凝练问题、辨析问题、解决问题的思路和方法。

以学生为主体的教学其本质就是“以学生为中心”的学习，他的真正目的是促进学习者的个性化、全面发展。教师在其中从知识的传播者、灌输者转变为设计者、协助者、指导者，辅助学生制定学习路径和更多与学生进行情感沟通和鼓励。学生也必须凭借自己的努力完成这一过程，是一个主动的学习过程，教师不能替代。教师在这一过程中必须培养学生的自主学习能力。这一教学模式核心的评价指标是学生的参与度和投入程度。这与学习的动机和目标有关，更与问题的设计和教师的引导有直接关系。

在高等数学的教学中，学生必须从高中数学教学的模式逐步适应大学的教学形式和学习强度。公共数学课的教学多数是大班上课，不能保证教师能够照顾到每一个学生，而且教学内容多，难度大，不是教材中的每项内容都要详细讲解，所以更强调学生的学习能力和学习的主动性。在大学数学课堂探索以问题为导向的探究式教学模式有一定的难度，主要问题是学校教学计划规定学时数偏少，用于探索新的教学模式就会打乱教学秩序，影响教学进度。我们的做法是在教学内容中选择部分内容，构建问题模式。选定内容引出的问题具有相对独立、比较完整，能引起学生强烈的好奇心，在平凡中见新意。要抓住这少有的机会训练学生的分析问题能力和解决问题的能力。可以举一反三的部分内容，以学生自学、教师辅导为主，有些教学内容以教师讲授辅以启发式教学。所以，一门课的教学是多种教学模式的综合运用，不能强调统一模式，而是以最终的教学效果来选择。

三 结论

数学是人脑思维的体操，学习数学除了要掌握数学知识外，还有训练人脑思维的重要任务。在高等数学的学习中，就是要在学习知识的同时，提高学习者的思维能力，培养良好的思维习惯。因此，数学教学的目的就在于通过数学知识的教与学来培养学习者的数学思维习惯，即思维的逻辑性、严密性、科学性。

本文阐述的教学模式各有侧重，但是我们提倡的是面向问题的研究式教学模式和以问题为中心的探究式教学模式，都是需要教师深挖教学内容，从数学研究者的高度去设计教学过程。教师就要不断地加强自己的科研工作，以科研促进教学，并有意识地提高自己的教学研究水平。国家提倡的创新能力的培养，在基础课的教学中也是大有可为的。在高等数学的教学中就是要有问题意识，以发现问题、分析问题、解决问题为核心的教与学，才能达到培养具有创新意识和能力的学生。