立足整体，构建解决问题策略系统——以『假设的策略』教学为例

钱建兵

苏教版教材编排的“解决问题的策略”的教学，旨在让学生掌握数学思想和方法，提升学生解决问题的能力。解决问题的过程是一个复杂的心理过程，解决问题的能力也是一种整体的能力。“专家的知识是条件化的，它包括对有用的情境的具体要求……专家不但获得知识，而且能熟练提取与具体任务相关的知识。”策略的理解与习得，是有情境指向的，需要基于策略的整体，致力思路与方法联结因素之间的协调与联系，让学生对策略有整体的认知。只有将策略置于学生已有的方法结构体系中，才能提升学生解决问题的能力。

一、着眼整体，瞻前顾后认识策略

“任何解题者都会积累起一定的解题策略，尽管他本人未必自觉地意识到这一点。”教材编排的解决问题策略的教学，是基于学生已有的数学学习经验，旨在引导学生将一些无意识的、不自觉状态下所运用的解决问题的方法，转化为具有较强目的性的解题活动。因此，策略教学在一定程度上讲是对学生原有方法的一种提炼或再认识，是对原有的具有个性化方法的进一步系统认识和扩展。在教学某一策略时，需要让学生对这一策略有一个整体性的认识。整体的认识可以帮助学生从策略的本质上去把握策略，而不是简单地模仿。

从数学问题解决的基本过程把握策略。有学者研究表明，数学问题解决心理过程具有多步化归、多层结构、多元表征、多种背景、知识丰富等特点。六年级上册教材编排的是《假设的策略》。何谓假设？波利亚在他的“解题表”中提出了解决问题的四个步骤：第一，你必须弄清问题；第二，找出已知数与未知数之间的联系，找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划；第三，实现你的计划；第四，验算所得到的解。纵观“解题表”，假设的策略是“拟定计划”中的一步，即找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接联系，就考虑一个辅助问题。辅助问题是解题方向，是“好念头”。从本质上讲，假设的策略应该是“好念头”与实现这一“好念头”的操作方法联合起来的一个完整过程。即不仅提出一个目标状态（一个未知量），也包含实现假设的方法（替换），实质是化归思想。

从教学编排的整体看策略。从学生经验上追溯，学生有着一些零散的假设策略的经验，但对策略的价值没有很深的体验，经验中的假设是假设之后就直接解决问题。如估算就是把接近整十数、整百数看成整十数、整百数，转化成另一个算式的过程。除法中的试商，不是整十的看成整十数试商，转化成除数是整十数的除法。往之后的学习前瞻，六年级下学期继续学习假设的策略，用假设法解决鸡兔同笼问题。因此，本课的教学要让学生对假设有一个系统的整理和整体的认识，经历完整的“假设——替换——解决问题”全过程，不仅知道为什么要假设，而且能有实现假设的方法，这也是教材在改编时为什么例题没变，而将原来的替换改成了假设的原因。替换是实现假设的方法，假设的内涵更加丰富。

在教学中可从学生的经验引入，唤起学生假设的意识。

1.估算：302×19≈，你是怎么估算的？

2.竖式计算192÷39，你是如何试商的？解决这些问题运用了哪种策略？

在学生应用假设解决问题之后引导学生进行反思：解决今天的问题，为什么要进行假设？通过什么方法实现假设想法的？仅有假设能解决问题吗？

学生经验中的假设认知是表面的，而在解决问题之后对假设策略的反思，则会对假设有进一步的认识。再如，画图的策略，学生经验中的示意图用得比较多，而抽象的线段图则相对少一些，在教学时要引导学生体会画图在整理条件使数量关系直观化的共同本质。策略教学要从整体上对策略有高位的把握，就是从战略的高度，从思想方法的高度，从学生长远发展的高度去看某一课的教学，这样才能掌握知识。

二、着力过程，关注全局与本质

解决问题是一种复杂的心理活动。影响问题解决的因素可以分为内部因素与外部因素。内部因素包括知识基础、解题策略、元认知、信念、动机等。而实际上，这些内部因素之间也是相互影响、相互渗透的。如解题策略的形成有赖于知识基础，而动机、信念、元认知水平等深层次的因素也影响参与策略的水平。因此，策略的教学要充分整合各因素之间的相互影响，构建完善的策略系统及各子系统。目前的大多数教学只关心正确地运用策略，而对策略系统中的各因素的整合程度关注不够。

1.监控反思全过程，提升元认知水平。

很多解题能力欠缺的学生，是因为不能很好地掌控解题计划，对自己解题过程中的行为没有清醒的认识，不能在解题过程中恰当地评估解题策略及自己的思路与目标之间的差距。元认知可以帮助解题者监控和调整自己的认知过程，评估不同的解题思路，理解各种解题策略。元认知对数学问题解决的影响，主要涉及以下三个方面的元认知成分：一是个体对自己认知特点的认识；二是个体的自我调节程序，包括对认知过程的监督和即时做出决策；三是个体对认知过程的反思和评价。元认知是策略水平的重要因素，促进对策略系统的形成，而策略的教学过程也是形成元认知的过程。

如在《假设的策略》的教学中，假设本就是思路，是一种方向，解题时需要解题者对这一方向进行监控。首先在出示例题后，引发思路：960毫升果汁倒入两种杯子，你有什么想法？要是能把这两种杯子变成同一种杯子，该多好啊！你们有这种想法吗？在学生拟定计划之后，接着在实现假设的过程中让学生对思考过程进行监控：我们把这种想法记录下来：我想假设960 毫升果汁全部倒入（ ）杯。请你借助这些关系图，在作业纸上画一画，你是如何实现你的假设的？最后交流反思：通过什么方法实现假设想法的？从哪里看出实现了假设？在教学中，需要让学生对解题的计划可视化，也可将一些中间问题记录下来，从而引发学生对目标的关注，紧盯目标，随时调整思路。对过程的反思，是元认知培养的重要策略。研究表明，一个成熟的解题者，就是在过程中不断通过自我反省，从而获得对于自己所积累的解题策略的自觉认识，并用明确的语言对此进行刻画。

2.思想方法统摄全局，提升策略水平。

策略与方法的上位概念是数学思想。数学思想对策略具有统领全局的作用。

以《假设的策略》教学为例。假设实质上是化归，替换实质是消元，等量代换是实施化归策略的重要手段与过程。把两个未知量通过消元转化为只有一个未知量的问题，是解决多元方程组的基本思想。在此过程中，利用数量关系进行推理，是学生思维发展的过程。策略的能力体现在对替换的目的、依据、方法要有清晰的把握上。

在用两种方法完成假设目标之后，形成板书（如下表），引导学生进行比较：

小杯 大杯 总量 未知量 数量关系假设前： 6 2 960 2 个 复杂假设全小杯 6+3×2 960 1 个 简单假设全大杯 6÷3+2 960 1 个 简单

解决这个问题，为什么用假设的策略？两种方法从哪里看出实现了假设？假设前两个未知量，而假设后一个未知量，数量关系由复杂变简单。无论是假设全倒进大杯或是小杯，有什么共同的地方？都是把“两个未知量”看成“一个未知量”，假设后杯子的数量变了，但总容量是不变的。通过对策略的深度追问及反思，使学生对策略的理解由其包含的事实性内容及其表述形式，转向其“深层结构”——策略内在的数学结构，对策略的价值有了深刻的认识。

元认知关注全局，对绝大多数学生而言，假设策略的掌握并不难，困难的是“辨认有效使用假设策略的条件”和“从几条策略中选择特殊的策略”。思想方法关注本质，对策略具有整体的统领作用。

三、着重关联，形成策略系统

在解决同类问题时，将解决该类型问题所用的知识、方法和手段，联结成一种较为固定的模式，其联结方式就成为思路、方法。到一定程度时，模式就演化为一种代表一类客体的概括性的内部表征——原型。新手不能形成原型，只能解答与例题没有变化的题目。策略的教学，就是要以思维把握思路、方法之间的联系，促进原型表征的形成。

在《假设的策略》教学中，首先出示一个不完全题目：一瓶果汁300 毫升，倒入两个杯子里，正好倒满，你知道每个杯子的容量是多少？引发平均分的原型。当出示“大杯容量比小杯容量多30 毫升”时，冲突引发假设：如果倒入的是同一种杯子，该多好啊！你们有这种想法吗？其实，这种想法就是一种解题的策略——假设。例题的原型是平均分，而要形成新的原型，即如例题含有“两个未知量”及“两个未知量之间关系原型”，需要对方法、思路的本质有所理解。对于两个未知量的问题，实践证明，有的学生擅长列方程解答，方程解法也特别容易与中学接轨。在本课的教学中，方程解法该处于何地位？仅是将设未知数中的“设”理解为假设这样字面上的联系吗？显然不是，暗含着的消元的思想是相通的。在教学中，此时展开交流，利用线段图展示等量代换的过程。学生结合线段图，能不能列出方程？比较：两个未知量，为什么列方程时只假设了一个字母表示未知数？把另一个未知量替换了。虽然用的方法不一样，但想法是一样的，两个未知量转化为一个未知量。沟通联系，使学生对假设策略适用的情境与实施方法容易建立起原型。

不同领域往往有不同的解题策略。一个良好的解题策略的形成取决于三个因素：知识结构，信息加工方式和非智力因素。知识背景不同，同样的问题也会有不同的策略，即使是使用同样的策略，其表现形式、层次等也有差异。此时，需要尊重差异，学习并不是让学生被动接受哪一种方式，而是让学生看到各种形式、层次之间的差异与相同之处，产生联系，生成结构。再如，画图的策略，每个学生所画的图都带有很强的个性特征，关键在于让学生对自己的图有清晰的表达，不同图的比较，关键在于对数量关系的清晰表达。再如列表，横向与纵向，虽然不同，但一一对应，内在思维是一致的。关联，就是生成策略的“知识包”，促进学生知识结构生成的同时，协调其信息加工方式与非智力因素。