高考数学计数问题面面观

■安徽省宿州应用技术学校 张 刚

高考数学计数问题是每年高考的重点考查内容之一，题型多样，方法多变，但无外乎涉及的就是“元素”和“位置”的关系问题，或是两者综合起来一起考虑，这是计数问题处理策略与方法的关键所在。只要我们掌握处理此类问题最基本、最常见的方法，就能够以不变应万变有效破解这类问题。

一、优先法

例 1（2020年湖南师大附中高三月考理14）安排A、B、C、D、E、F，共6名义工照顾甲、乙、丙3位老人，每2位义工照顾1位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有____种。

解析：6名义工照顾3位老人，每2位义工照顾1位老人，所以共有其中，优先考虑义工A照顾老人甲的情况有优先考虑义工B照顾老人乙的情况有再考虑义工A照顾老人甲同时义工B照顾老人乙的重复情况有所以符合题意的安排方法共有90-30-30+12=42（种）。

评注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用的基本方法，若以元素分析为主，需要安排特殊元素，再处理其他元素。若以位置分析为主，需要优先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。“特殊元素，优先考虑”或“特殊位置，优先排列”。

二、捆绑法

例 2（2020年郑州市高中毕业班第一次质量预测理9）第十一届全国少数民族传统运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有____种。

解析：分两步进行分析：第一步，先整体考虑，将5项工作分成1、1、3三组，其中最后一组3份捆绑一起作为大元素计算有=10（种），若分成1、2、2三组，其中最后两组每2份捆绑一起作为大元素计算有15（种），则将5项工作分成3组，共有10+15=25（种）。第二步，考虑大元素内部元素的排列问题，将分好的三组再进行全排列，对应3名志愿者，有=6（种）情况，则共有25×6=150（种）不同的分组方法。

评注：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排列，然后再考虑大元素内部元素间顺序的解题策略就是捆绑法。运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。

三、隔板法

例 3（2020年全国高考Ⅱ卷理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法有____种。

解析：由题意，可以考虑用4个隔板间的空隙代表3个小区，而用*表示学生人数。如|**|*|*|，表示第一、二、三个小区分别有2、1、1个学生。若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“|”，故不同的分配方法相当于4+2=6（个）位置（两端不在内）被2个“|”占领的一种“占位法”。而“每个小区至少安排1名同学”相当于在4个“*”空隙中选出2个空隙插入“|”的全排列问题，即36，所以不同的安排方法共有36种。

评注：n个同学分配到m个小区（m≤n），要求每个小区至少分配一名同学的安排方法等价于n个同学站成一排从空隙里插入m-1个隔板，再进行全排列的问题，即种方法。需要注意的是：①学生不用区分，但有编号；②每个小区至少分配一名同学，因此每次隔离时不能踩空，即两个隔板不能同时插入一个空隙中。

四、穷举法

例 4（2020年合肥市高三第二次教学质量预测理8）为了实施“科技下乡，精准扶贫”战略，某县科技特派员带着A、B、C三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶。经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A、B、C三个扶贫项目的意向如表1：

表1

若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（ ）。

A.24种 B.16种

C.10种 D.8种

解析：（1）当甲选A项目，乙也选A项目时，丁只能选C项目，丙可选B或C项目，此时选法有2种。（2）当甲选A项目，乙选B项目时，丁可能选A或C项目。当丁选A项目时，丙可能选B或C项目；当丁选C项目时，丙可选A或B或C项目，此时选法有2+3=5（种）。（3）当甲选B项目，乙选A项目时，丁可能选A或C项目。当丁选A项目时，丙可选B或C项目；当丁选C项目时，丙可选A或B或C项目，此时选法有2+3=5（种）。（4）当甲选B项目，乙也选B项目时，丁可能选A或C项目。当丁选A项目时，丙可选A或C项目，当丁选C项目时，丙可选A或C项目，此时选法有2+2=4（种）。所以不同的选法共有2+5+5+4=16（种）。

评注：所谓穷举法就是将所有可能的情况进行分类讨论依次逐一排出，然后再把所有可能的种类依次累加即可。这种方法思路清晰，但有时比较烦琐，需要仔细认真。

五、排除法

例 5（2020年全国高考名校名师原创卷理10）天干地支，简称干支，源自中国远古时代对天象的观测，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十大天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支。十大天干和十二地支按顺序依次相配（天干在前，地支在后，天干由甲起，地支由子起，第一个组成甲子，第十个组成癸酉，然后天干再从头开始，第十一个组成甲戌，从第十三个起，地支再从头开始，以次类推），组成六十个基本单位（简称干支），用来计时，称为干支纪元法。在这六十干支中，从含“甲”或“子”的干支中任取3个，则“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法种数为（ ）。

A.72 B.112

C.420 D.1520

解析：含有“甲”的干支有6个，含有“子”的干支有5个，含有“甲”或“子”的干支个数为6+5-1=10（个），其中“甲子”“丙子”各有1个，所以“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法种数为。

评注：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。本题若从正面考虑，需要分类讨论，但是若从问题的反面考虑，即“甲子”或“丙子”都被取到的取法种数为=8（种），那么问题就是直接从含“甲”或“子”的干支中任取3个的问题，因此，只需要直接从总体中剔除这种情形即可。

总之，高考数学计数问题往往都是以实际问题为背景，考查分步、分类计数原理，同时运用排列组合数公式进行计算。而解决问题的关键是要明确分类还是分步，是考虑元素还是考虑位置，都要灵活处理。同学们平时多留心、总结，就可以综合运用以上各种方法解决问题。“世上无难事，只要肯登攀！”只要坚持一步一个脚印，成功很快就会到来。