建模二次函数， 巧解初中数学图形规律观察题

杜艳丽 国煜

摘要：纵观近几年的中考，图形规律观察题是一个高频考点。在教学中，教师可以引导学生利用建模“二次函数”，通过数形结合的方法来解决图形规律观察题。

关键词：初中数学;建模;图形规律观察题

初中数学中的探索规律问题，是指发现数学对象所具有的规律，从而探索出规律性的问题。其特点是：给出一些数、一些等式或一些图形的前几个，然后通过观察、分析、综合、归纳等方法探索出其规律性。课标提出：通过数学的学习，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。学生这些能力的培养，必须以数学知识为载体，立足基础问题，引导学生对数学对象的本质和规律进行探究，从而促进每个学生的发展和数学能力的提高。这就必须提高学生探索具体问题中的数量关系和变化规律的能力。纵观近几年的中考，图形规律观察题是一个高频考点，现在我们利用建模二次函数，通过数形结合的方法来“计算”图形中的规律，从而巧解初中数学图形规律观察题。

例1：若按如图方式摆放桌子和椅子：

（1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐       人。

（2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

桌子张数 3 4 5 6    n

可坐人数

解：（1）1张桌子可坐6人，2张桌子可坐   10   人。

（2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

解析：通过观察可以看出：1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人，3张桌子可以坐14人…我们把“桌子张数n”作为自变量，“可坐人数y”就是“桌子张数”的函数。

即把（1，6）（2，10）（3，14）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=4n+2。所以，n张桌子可坐4n+2人。

把桌子的数量n代入上式，完成表格

桌子张数 3 4 5 6 n

可坐人数 14 18 22 26 4n+2

例2：下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案由         个基础图形组成。

解析：第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……

我们把“图形序号n”作为自变量，“基础图形个数y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（1，4）（2，7）（3，10）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=3n+1。所以，第n（n是正整数）个图案由  y=3n+1 个基础图形组成。

例3：下图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要       枚棋子，摆第n个图案需要

枚棋子。

解析：摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子……

我们把“图形序号n”作为自变量，“棋子个数y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（1，7）（2，19）（3，37）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即：y=3n2+3n+1

按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要的棋子数就是：把n=6代入解析式得： 127  枚棋子，摆第n个图案需要  3n2+3n+1  枚棋子。

例4：如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是         。

解析：三角形有3个棋子，四边形有8个棋子，五边形有15个棋子……

我们把“图形边数n”作为自变量，“棋子个数y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（3，3）（4，8）（5，15）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=n2-2n，

则第n个图形需要黑色棋子的个数是  n2-2n  。

例5：下图都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第n个图案所需花盆的总数是           。

解析：我们通过观察发现：第1个图形有3盆花，第2个图形有6盆花，第3个图形有10盆花……

我们把“图形序号n”作为自变量，“花盆数量y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（1，3）（2，6）（3，10）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即                           。所以，第个图案所需花盆的总数是

。

例6：用同样规格的黑、白两色的正方形方块铺成下图模样，用n的代数式表示出第n幅图中黑色正方形块数                  ，白色正方形塊数                    。

n=1      n=2       n=3

解析：第1幅图有12个方块，其中黑色的有10块;第2幅图有20个方块，其中黑色的有14块;第3幅图有30个方块，其中黑色的有18块……

我们把“图形序号n”作为自变量，“方块总数y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（1，12）（2，20）（3，30）作为点的横、纵坐标，代入二次函数y=an2+bn+c中，得：

解得：

即y=n2+5n+6。所以，第个图形方块总数是（n2+5n+6）块。

我们把“图形序号n”作为自变量，“黑色方块个数y”就是“图形序号n”的二次函数。

即把（1，10）（2，14）（3，18）作为点的横、纵坐标，代入y=an2+bn+c二次函数中，得：

解得：

即y=4n+6。

用n的代数式表示出第n幅图中的黑色正方形块数是y=4n+6，白色正方形块数就是总数减去黑色块数  n2+n。

总之，解决初中数学的图形规律观察题的方法很多，可谓仁者见仁、智者见智。笔者是从函数的角度，利用数形结合的思想来“计算”其规律的，希望对广大教师有所启示。

（责任编辑：韩晓洁）