阿达马不等式的证明

王子晗 黎雄

【摘要】本文给出了阿达马不等式的代数证法以及利用拉格朗日乘子的分析证法，同时讨论了阿达马不等式取等号的充要条件.

【关键词】二次型;矩阵;条件极值

一、引言

该不等式不仅描述了行列式的一个代数性质，也具有更为直观的几何意义.我们知道，n阶行列式的几何意义是该行列式的所有行向量所张成的平行2n面体的n维有向体积.阿达马不等式的左边就是这个有向体积的平方，而右边就是组成该2n面体的每个行向量长度的平方的乘积.也就是说，n个向量所张成的平行2n面体的n维有向体积的绝对值小于或等于这n个向量长度的乘积.n≤3的结论是明显的，而n≥4的结论几何上不太容易想象.

取等号的情形在这一几何角度来看也很明显.一种情形是n个基向量两两正交，其张成的是n维长方体，其体积等于这n条边长度的乘积;另一种情形是基向量包含零向量，张成的平行体的维数小于n，其n维体积当然为零.

本文从《简明数学分析》中证明该不等式的一道例题入手，不仅给出了原书中利用拉格朗日乘子的方法证明阿达马不等式取等号的充要条件，也利用高等代数中的二次型相关知识证明了阿达马不等式.

因此矩阵A-的所有行向量两两正交.

【参考文献】

[1]藍以中. 高等代数简明教程（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2007.

[2]郇中丹，刘永平，王昆扬.简明数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2018.