新疆维吾尔族小学生解决小数除法问题错误的个案调查

范文贵 迪丽努尔·亚森

（天津师范大学教育学部,天津 300387；新疆喀什地区泽普县赛力乡中心小学，新疆 喀什 844800）

国家很重视新疆的教育事业的发展，在党的优惠政策下新疆的教育蓬勃发展。“少数民族教育事业对于坚持教育公平，促进区域、城乡和各级各类教育均衡发展，以教育现代化支撑国家现代化具有非常重要的意义。”[1]为了提高新疆维吾尔族学生数学问题解决能力，我们设计试卷进行调查研究，探索维吾尔族学生解决小数除法问题出现的错误，缩小少数民族地区与发达地区数学教育的差异，有助于提升中国西部少数民族地区数学教育质量。

一、研究内容与研究设计

（一）研究内容

（1）维吾尔族小学生完成小数除法运算出现的错误？

（2）维吾尔族小学生出现的错误原因？

（3）为了提高维吾尔族学生小数运算能力，教师如何教学？

（二）研究设计

通过查阅相关的文献，进行整理、分类、分析。通过给五年级维吾尔族小学生发放小数除法测试试卷，分析学生答题结果。预调查选取一个班的43名学生，作为调整试题的依据。最后确定22个实测问题，选取5个班进行实测。实测一共发了332份，收回了323份，即收回率为97.28%，测试时间是一节课（40分钟）。为了深入调查且更快更直接的了解学生对小数除法问题中存在的疑惑、困难和难点，对教师和学生进行访谈，为后期的结果分析做好铺垫与补充。

表1 试卷信度

在试测以后，根据学生的作答，与小学数学老师讨论，我们对试题进行了修改，所以本测试试卷有一定的效度。利用IBM SPSS Statistics 23.0对统计的数据进行信度分析。分析结果如表1所示：试题的克隆巴赫Alpha系数为0.838，所以本试卷的信度较高。

二、错误类型的相关分析

小数除法竖式运算过程基本上都要经历小数点移动（对齐）、基础计算（乘法、减法）、估商、文字题理解过程，不管这几个过程出现的频率大小，其中任一过程出错必然导致整个除法计算的错误，而根据测验结果也确实证明这几点是维吾尔族小学生小数除法计算时经常出现错误。为了了解维吾尔族学生解决小数除法问题的错误类型之间的相关密切程度，对它们进行了皮尔逊相关分析。具体结果见表2：

表2：小数除法总失分与各错误类型之间的相关性

结果表明：小数除法错误与各错误类型之间均呈现显著正相关（p＜0.01），其中学生完成除法的基础计算相关性 最强（系数 为0.829），说明基础计算是小数除法计算过程中的难点，对小数除法错误率贡献最大；与其他三种错误类型之间呈现中低度相关，相关性从高到低依次为依次为文字题理解（系数为0.612）、估商（系数为0.508），小数点移动（系数 为0.396），各错 误类型之间也存在一定的相关，但相关程度低。

三、错误类型质性分析

（一）小数点移动的错误

如图1，当遇到被除数13小于除数25时，学生在被除数补了“0”却没有在商写“0”。当试商为5时，5×25等于125，这时商5应该跟“13.0”的“0”对齐，但是学生没有对齐数位，导致商出错。学生没有深刻理解小数点移动的目的，没有真正理解小数基本性质以及商不变的基本性质。学生不能灵活地处理小数点，根源在于不理解小数除法计算法则。由于维语与国家通用语言文字互译差异。这是导致维吾尔族学生理解“小数点对齐”存在困难的原因之一。

图1

图2

图3

有的学生在对齐小数点时出现错误（如图2），在估商时，当30不够34除时学生没有学会用0占位，此题错误率较高。有的维吾尔族小学生把“3.05”读作“三点五”，把“3.50007”读作“三点五十千七”。[2]维吾尔族学生过去的小数读法影响他们进行除法运算时商中补0.

从图3可看，把除数3.5扩大10倍，再把被除数695.8扩大10倍。学生进行竖式计算时，商1跟5对齐了，因此数位没对齐而导致小数点的位置点错。所以该学生主要是在计算时小数点的位置不对，导致整个运算结果是错的。学生在学习数学时，常常需要同时接触数学符号与自然语言，他们必须在这两种语言交互作用的复杂数学活动中进行思考与诠释。[3]我们访谈教师，他们认为：维语从右向左写的顺序影响学生解决竖式除法数位从左向右对齐。

（二）估商错误

如图4，考查学生解题过程，发现：商的第一位是4的学生忽略了余数30大于除数25，这是由于估商错误导致解题出错。由此判断学生缺乏除法余数不可以比除数大的概念。学生往往在用5以上数字（图5）试商时存在困难较多，试商数字越大，出错可能性越高，而且还与除数大小有关。试商的数字偏大时，学生在估商时出现错误，说明学生的口算和估算能力需要提高。除法运算中，估商一步的错误就会导致整体的错误。

图4

图5

图6

（三）基本计算技能错误

Henrietta Holland研究发现，学生在除法竖式计算上的困难主要是由于计算过程本身的困难，以及学生对乘法减法、甚至加法的理解及应用有困难而造成的。[4]学生在完成商和除数相乘时出现错误，主要原因是他们不能熟记乘法口诀与简单的口算。除法运算涉及连续进位或者不连续进位乘法，如（图6），第二步，学生错误地给出8×28=204，乘法运算涉及乘法口诀计算，还需要灵活地进行加法计算，特别是进位加法，这个错误说明学生没有掌握进位加法技能。

图7

图8

除法运算还涉及减法运算，特别是连续退位减法，如（图7），第三步，有的学生给出210-196=114，计算百位时忽视退位，直接用被减数减减数，导致错误。David,M.M.研究结果表明：学生解决退位减法最频繁出现的错误模式来自于缺乏对位值制数字系统的意义理解。[5]学生虽然知道被减数不够减要借位，但是却忘记退位，导致出错。在解题时，学生在认知负荷较大的步骤上产生较多的错误，其错误的原因并非没有掌握有关的解题规则，而是其工作记忆的容量有限的缘故。[6]

如图8，通过对商得4.2的学生访谈发现，他不是粗心而在商中丢“0”，而是就觉得商中不应该有“0”，该学生只知道当余数不够除时在余数后面填“0”，而对商中补“0”的情况学生还是没有掌握清楚。

问题“（0.54+2.4）÷0.6=？”错误案例分析.

基本运算错误。如图9，例如，0.9+4误算成1.3，影响视觉因素可能是0.9在加号前面，4在加号后面，所以受数据的影响，将答案写成1.3。图10，学生虽然算对了2.94，但是当2.94÷0.6时误算得了49。这是属于计算方面的错误类型。

图9

图10

图11

如图11，虽然商没错，但是把1.04545......的循环节表示为第二个45，并非是第一个，还有其他学生犯的也是这种错误。循环小数是无限小数，小数部分重复出现的数字是循环节，循环节的表示方法有两种，一种可以写出几组循环节加上省略号；一种可以写出一组循环节，在循环节首位末位数字上加上小圆点。测验发现，学生或者不表示循环节，或者出现两种表示方法混用，或者小圆点的位置表示错误。

（四）数学文字题理解错误

所有形式的知识都是透过语言传递的。解决文字题关键环节是把文字语言的表述翻译成潜在的数学符号关系。数学文字题包含数学词汇、多种语义结构。维吾尔族学生的母语和国家通用语言文字在小数的语法、阅读以及书写顺序上都存在不同程度的差异，这种差异导致了学生数学概念理解错误的发生。

1.学生不理解一些数学词汇

问题1：一只蓝鲸的体重是一头大象体重的35倍，一只蓝鲸的体重是198.29吨，求这头大象的体重是多少吨？（结果保留两位小数）

如图12，学生错误表现主要是不懂题目中倍数的意义，乱用四则运算，用35除以198.29，因此出错。

图12

图13

课堂教学中的数学语言根植于学生在现实世界上的首次经历以及人们与学生交流的方式。数学教育始于语言，发展于语言，它因语言而向前推进，也因语言而受阻，而其成果也藉由语言来评鉴。[7]我们访谈新疆维吾尔族老师：由于语言、海洋地域环境等因素，学生不理解“鲸”；不知道蓝鲸与大象的大小，所以可能出现没有分明哪个大哪个小；这道题大部分学生一看35倍，尤其是“倍”字，他们就用乘法来计算。

问题2：老师带250元去买足球（如图13），他可以买几个足球？

有的学生阅读题目、分析问题和解决问题能力不足，不能有效地认识条件和结论。有的学生不理解题意，看不懂图片的意思和跟文字的联系，导致错误。

该题蕴含着“舍尾法”。从图14可知，虽然学生求对了商，但是最后的结果却是错的。

由于学生受四舍五入的影响，因8大于5，所以进1得了6（个足球），学生忽略了结果的客观现实，没能正确的运用“舍尾法”。利用“舍尾法”解决问题，体现考察学生运用数学基础知识探索解决实际问题的能力，学生将所学数学基础知识与生活实际现象相结合，考虑到客观现实的需要，使得数学结果更有实际意义。

图14

图15

2.学生不理解题目的语义结构

问题3：有7人在果园里摘苹果，他们用3.5个小时一共摘了695.8千克苹果，求1人每小时摘了多少千克苹果？

题目语义结构由多种成分组成关系结构。语义结构是造成学生理解困难的主要原因，且其影响远大于数学词汇造成的影响。[8]面对这个问题，学生的错误：（图15）学生只读题目前半段直接习惯性的3.5×7=30.5，不明白30.5表示的意思。学生不理解题意，不会审题（不理解1人每小时是什么意思）而出现错误。

数学语言讲求简洁,将许多信息在短短的语句中全部呈现出来，因此，也造成了数学语言的另一个特征：浓缩（condense）。双语学生学习数学困难包括：理解复杂的问题结构，澄清嵌入的概念，理解教师教学，词汇理解或情感认同等。[9]数学语句的简约特征，使得学生在理解语句的历程中，必须自行补充省略的部分，才能得到理解。

小学生在理解文字题目的国家通用语言文字意思时，他们在断句方面出现问题。不理解题意，不会审题（例如，语言因素：学生不理解1人每小时是什么意思）而出现错误。维语语序和国家通用语言文字语序不同，有的学生理解数学语言存在误解。[10]学生要具备学科中的数学语言间进行转译的能力；教师必须知道学生在课堂中不易理解的数学语言。这是因为课堂教学中，学生将国家通用语言文字表述的数学问题翻译成维语来理解的学生占相当大的比例。翻译数学语句的困难在于某些意义的流失，即使是最显而易见、最直截了当的翻译，它的含义在不同的文化中也可能存在根本的差异。

问题4：小头爸爸的身高为1.71米，大头儿子的身高为9.5分米，求小头爸爸的身高是大头儿子身高的多少倍？

学生混淆题目中长度单位。已知量与未知量之间关系的描述方式和明确程度，以及各项信息的出现顺序，会影响学生理解语句。数学语句中各语词与对象用语透过某些联系与排列构成一个具有意义的语句。数学语句中，复杂的语法结构是造成学生理解语句之困难的重要因素。[11]

如图17，学生没有注意单位的不同而直接列式：1.71÷9.5。有的学生换算米与分米之间的单位出现错误，误将9.5分米=0.095米。数学教材中所使用的数学语言，往往每个语句中都含有更多的概念。学生没有看清楚长度单位不同。学生不能理解语句之间的关系、语意理解力不足。学生读题不够细心，没有弄清楚题目给的信息就容易造成解题失败。

图16

（五）马虎（粗心）的错误

学生解决问题过程中出现马虎大意错误，如抄错题、誊错答案、漏抄数据、忘记点小数点等。这一类错误是由学生的不良学习惯所导致的。学生在解题时往往慌张，甚至没有看清题目便开始答题，有时随意浏览一下题目便开始下笔，在答题过程中出现多写、漏写等错误，从而降低了题目的正确率。

四、讨论

有的学生由于缺乏国家通用语言文字能力，解决数学问题遇到困难。教师必须考虑到每个学生以前的经历；教师的教学方式必须促进学生国家通用语言文字与他们的数学同步发展。

1.关注学生特点，调整教学方法。维吾尔族小学生用国家通用语言文字学习数学，教师要关注学生的生活经验，教师认真备课，预测学生会出现的错误。为了胜任语言方面的学习困难，尽一切办法排除语言的阻碍。

2.培养学生计算能力。计算能力的基础是乘法口诀，若计算基础出现问题，学生在学习数学的过程会遇到许多麻烦，所以老师重视提高学生口算能力。

3.学生理解概念性知识。数学是需要理解的学科，而不是死记硬背。对维吾尔族小学生来说，数学概念部分的理解有一定的困难，所以教师应该充分了解学生已有知识的情况，不要忽略概念部分的讲解，用简单易懂的术语给学生讲清楚概念的含义。除此之外，教师要注意：让学生理解“倍、循环节、四舍五入、进一舍尾”等概念的含义。