一类线性随机时变系统的采样控制

刘厚良，吴小太

(安徽工程大学 数理金融学院，安徽 芜湖 241000)

时变系统在自然界与工程界中广泛存在，需要建立时变的系统模型，并分析其性质特征。时变系统的稳定性研究受到了专家学者们的广泛关注。由于系统的时变特征导致现有文献中时不变系统稳定性的相关研究方法不能被应用到时变系统上来,这给时变系统稳定性的研究带来了极大的挑战。近年来,线性时变系统的稳定性与稳定化研究取得了一定的进展，例如：Zhou[1]给出了线性时变系统渐近稳定性、指数稳定性和一致指数稳定性的充要条件。Yu[2]等总结了研究时变系统的几个关键问题,随后给出了两种不同的时变系统模型描述方法并分析讨论了不同的时变系统控制方法,最后就时变系统研究趋势及核心问题探讨了时变系统控制问题的研究方向。Date[3]等研究了一类线性时变控制系统,并且给出了一种设计线性状态反馈控制器和Luenberger观测器的方法。Zhou[4]等在Razumikhin定理和Krasovskii定理条件下对时变时滞系统进行稳定性分析,并推广了经典Razumikhin和Krasovskii条件下时滞系统的稳定性定理。

由于对系统的所有状态进行连续时间的观测反馈非常困难,近年来离散时间的反馈控制受到了广大学者们的重视。例如:Krishnasamy[5]等在Wirtinger不等式的基础上,构造分段Lyapunov-Krasovskyii泛函,研究了基于采样-数据控制的切换中立型系统的镇定问题。Briat[6]将确定性脉冲系统的结论推广到随机集上,利用驻留时间的工具给出了系统的稳定性条件,并将所得结果应用于随机采样数据系统的分析与控制。Wang[7]等通过构造一类分段Lyapunov-Krasovskii泛函，解决了基于状态量化的采样数据神经网络系统的镇定问题。Zhao[8]等研究了具有异步切换与量化输入的切换中立系统的采样控制问题，并最终设计了一种基于采样数据的具有传输延迟的控制器。Zhang[9]等研究了一类线性时变系统的采样数据控制问题，首先将Halanay不等式扩展到时变采样数据系统，然后基于比较原理和扩展的Halanay不等式，给出了相应闭环系统的全局一致指数稳定性和全局一致渐近稳定性的新判据，接着提出了一种求解增益矩阵问题的算法，最终给出了一个例子以证明所得到结果的有效性。

在现实中系统往往会受到随机因素的干扰，需要建立随机微分系统对随机扰动进行建模分析。例如：Wu[10]等研究了具有时变时滞的切换随机神经网络的全局指数稳定性。利用数学归纳法、分段李雅普诺夫函数和平均驻留时间方法研究了具有稳定子系统的切换随机时滞神经网络的稳定性。Florchinger[11]利用LaSalle不变性原理，设计出随时间变化的反馈定律，证明了系统依概率渐近稳定。

综上所述，虽然对于连续时间系统采样控制的研究取得了丰富的成果，但对于随机时变系统采样控制的研究仍需进一步完善。文献[9]对确定性时变系统的采样控制问题进行了深入地探讨，而对随机时变系统的采样控制问题有待于进一步去探索。同时，文献[9]中的方法并不能被直接应用到随机时变系统的采样控制研究。对于随机时变系统的采样控制，需要使用随机分析的方法进行研究，其分析方法远比确定性系统复杂。因此，研究了一类线性时变系统的采样控制问题，相关理论结果可以拓广文献[9]的部分结论。

1 模型构建

研究如下线性随机时变微分系统：

dx(t)=[A(t)x(t)+B(t)u(t)]dt+C(t)x(t)dW(t)。

(1)

式中，x(t)∈Rn为系统的状态向量；A(t)∈Rn×n以及B(t)∈Rn×m为时变矩阵；W(t)是一个标准的布朗运动；u(t)∈Rm为控制输入；记系统初值x(t0)≐x(0)。假定采样控制器满足

u(t)=K(tk)x(tk),t∈[tk,tk+1)。

(2)

式中，K(tk)为控制增益矩阵。样本序列tk(k=0,1,2,…)满足t0

将系统(2)代入系统(1)，可得到如下离散时间采样的闭环系统：

dx(t)=[A(t)x(t)+B(t)K(tk)x(tk)]dt+C(t)x(t)dB(t)。

(3)

下面将对系统(3)的稳定性进行讨论。在此之前，需要一些相关定义。对于每一个V∈C1,2，针对系统(1)，定义算子LV:[t0,∞)×Rn。

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))[A(t)x(t)+B(t)u(t)]+

(4)

在证明主要结论前需要给出一些相关定义和引理。

定义1[9]假定函数β(·，·)为KL函数，对于∀t≥t0满足

‖x(t)‖≤β(‖x(t0)‖,t-t0),

则称系统(2)满足全局一致渐近稳定性。进一步，如果存在两个正常数M0和α满足

‖x(t)‖≤M0e-α(t-t0),

则称系统(3)满足全局一致指数稳定性。

引理1[9]若l(t)为[t0,+∞)上的全局一致稳定函数，则存在3个非负常数c,d与T，使得对∀t≥t0有

(5)

假设1 对于线性随机时变系统(3)，存在可导对称矩阵值函数P(t)，全局一致稳定函数l(t)以及一个常量0≤p1≤p2满足

(6)

和

p1In≤P(t)≤p2In。

(7)

(8)

证明由常数变易法可知：

2 主要结果

下面将使用引理2来研究线性时变系统的稳定性。

定理1 设l(t),h(t)为[t0,+∞)上的连续函数，|l(t)|≤γ。若存在函数y(t)∈R+满足

y(t)≤l(t)y(t)+h(t)y(tk),t∈[tk,tk+1)。

(9)

记

②若u(t)为全局一致稳定函数，则

这里c,d为非负常数,如引理1定义。

证明首先，构造方程

(10)

这里y1(tk)=y(tk),k∈N。注意到系统(9)与系统(10)的形式，由比较定理可得：

y(t)≤y1(t)。

(11)

此时根据引理2可得：

也即

(12)

由式(12)有

(13)

与

(14)

将式(14)代入(13)可得：

(15)

(16)

结合式(11)，有

(17)

由式(12)，有

(18)

以及

(19)

推论1 设l(t),h(t)为[t0,+∞)上的连续函数，|l(t)|≤γ。若存在函数y(t)∈R+满足

(20)

记

②若u(t)为全局一致稳定函数，则存在常数c,d使得

证明注意到ln(1+x)≤x,对于x>0,可得：

ln(1+ak)

(21)

(22)

同理，由定理1的证明可知推论1成立。

注1：由推论1可知，定理1拓广了文献[9]中定理1的假定条件，可以有效降低文献[9]中结论的保守性。

定理2 在假设1成立的条件下，

①存在一个正常量η使得：

②若存在一个正常数η使得l(t)+η+h(t)e(γ+η)h为全局一致稳定函数，则系统(3)满足全局一致指数稳定。

证明①对于系统(3),由依藤公式可得：

(23)

对上式两边同时取期望可得：

(24)

于是，对于t,t+Δt∈(tk,tk+1)，有

(25)

注意到LV(x,x(t))的连续性，可得：

ELV(t,x(t)),t∈[tk,tk+1)。

(26)

假定V(t,x(t))=xT(t)P(t)x(t),t∈[tk,tk+1)。注意到xT(t)cT(t)P(t)c(t)x(t)是一维变量，由于

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))((A(t)x(t)+B(t)K(tk)x(tk))+

xT(t)cT(t)P(t)c(t)x(t)，

代入可得：

xT(tk)KT(tk)BT(t)P(t)x(t)+xT(t)P(t)B(t)K(tk)x(tk)≤l(t)V(t,x(t))+

(27)

有

由定理1可知系统(3)满足全局一致稳定。

②参考定理2的证明可以很容易得出该结论。

注2:根据文中定理2的结论，结合文献[9]中的时变系统采样控制器设置的方法，可以类似给出相应系统(3)的采样控制器。由于文章篇幅有限，不再对控制器的设置进行赘述。