基于新型混合滤波函数的滤波反投影重建算法

（中北大学 信息与通信学院，太原030051）

随着计算机断层成像（computed tomography，CT）在医疗诊断、工业无损探伤和食品安全检测等领域广泛的应用，其对重建后的图片质量要求也越来越高，进而对软硬件特别是重建算法的要求也越来越高。在众多算法中，大致分为解析算法和迭代算法两大类，其中在解析算法中，滤波反投影（filtered back projection，FBP）算法简单方便易于实现，而在实际工业应用中最为普遍。在FBP 算法中，常见的滤波函数有R-L滤波函数和S-L滤波函数。R-L滤波函数采用矩形窗，该滤波函数实现简单、计算方便，用它完成的重建图像，具有较清晰的轮廓，而且空间分辨率高，但是却伴随着严重的Gibbs 现象。S-L滤波函数采用sinc 函数来抑制投影中的高频成分，很好地抑制了Gibbs 现象，对于含有噪声的投影数据，它的重建图像质量比R-L滤波函数的好。滤波器的选取对图像重建质量的影响非常明显。

至今，重建算法中所使用的滤波器一直以来都是研究的热点，例如，文献[1]提出一种R-L-NEW 混合滤波器，获得了较好的结果；文献[2]利用多点平均和混合滤波的思想，提出R-L-MS-L 混合滤波器对火箭发动机模型进行仿真，得到较好的结果；文献[3]对指数函数进行了研究并取得成果；本文利用混合滤波的原理，通过NEW 滤波函数和S-L滤波函数混合成新的NEW-SL 混合滤波函数，通过实验仿真数据的验证，得到了NEW-SL滤波函数所重建出来的图像质量更接近于原始图像。

1 新型混合滤波器设计思路

1.1 FBP 算法

FBP 算法因其高效简单而被大量应用在CT 图像重建上。本文以平行束滤波反投影重建算法为研究对象，其计算公式如下[4]：

式中：Pθ（t）代表采集到的投影数据；代表一维滤波器。

可见，影响重建结果好坏的关键在于滤波函数的选取，滤波函数能直接影响到反投影重建的结果。所以，选取合适的滤波器是实现高质量重建图像的关键因素之一。

1.2 滤波器

1.2.1 R-L滤波器

R-L滤波器计算公式如下：

与滤波函数HR-L（ρ）相对应的卷积函数hR-L（R）为

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

其离散表达式为

R-L滤波函数形式简单、实用，所重建出来的图像轮廓清晰，但有明显的Gibbs 现象，即振荡响应。另外，当重建图像过程中存在噪声时，所重建的结果就会较差。

1.2.2 S-L滤波器

S-L滤波器计算公式如下：

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

与滤波函数HS-L（ρ）相对应的卷积函数hS-L（R）为

其离散表达式为

S-L滤波函数有效地减轻了R-L滤波的振荡响应，更好地补偿了混迭现象；但由于HS-L（ρ）在低频段偏离了所以重建的图片质量不如R-L 的好。

1.3 构建新混合滤波函数NEW-SL

NEW 滤波器[5]的表达式是从理想滤波器的定义及性质推导出来的，其相应的采样序列为

满足正负值相加后，代数和为零。即满足：

NEW 滤波器设计简单，并对噪声有抑制作用，极大地减少了Gibbs 现象。基于此，本文参考RL-SL混合滤波器与RL-NEW 混合滤波器，提出NEW-SL混合滤波器。其离散形式为

式中：k1≥0，k2≥0，且k1+k2=0。显然，当k1=0时，就是S-L滤波；当k2=0时，就是NEW 滤波。

2 实验仿真与结果分析

实验仿真是对尺寸为256*256 像素的Shepp-Logan 二维头模型[6]分别用R-L、S-L、RL-SL、RL-NEW进行重建，并观察其纵向第128 行的灰度曲线图，结果如图1所示。

图1 原始模型图像与NEW-SL滤波后图像Fig.1 Original model image and NEW-SL filtered image

实验是在处理器为Inter（R）Core（TM）i5-3230M CPU@2.60GHz，RAM为4.00 GB 的电脑设备上通过Matlab2016a 来完成。

想要对比图像重建后的质量如何，首先要进行图像重建后的灰度值是否与原始图像相符或是接近。各个滤波器所重建出结果的灰度曲线如图2所示。

图2 原始模型及各种滤波函数下的图像灰度曲线图Fig.2 Image gray scale curves of the original model and various filter functions

图像的灰度曲线图可以显示出不同滤波函数重建后的图像与原始图像的差异，灰度曲线波动的越大，说明图像越粗糙。由图2可见，NEW-SL滤波函数重建出的图像灰度曲线相比较于R-L、S-L 等滤波函数所重建出来的灰度曲线更为平滑，曲线更接近与原始图的灰度曲线，所以，NEW-SL滤波函数所重建出来的图像相较于R-L、S-L 等滤波函数重建出来的图像更接近于原始图像。

但仅通过图像的灰度曲线图这一项来定义重建图像的好坏是不科学的，还需要对比各滤波函数的归一化均方误差d 和归一化平均绝对误差r 来进行分析[7]。d、r 的公式如下所示：

归一化均方误差d 反映的是少数点的大误差，d 越小表示误差越小，体现为重建后的图像更接近于原始图像；归一化平均绝对误差r 反映的是多数点的小误差，r 越小表示误差越小，误差越小，重建的结果越接近于原始图像。

表1为各个滤波函数重建图像后的归一化均方误差值和归一化平均绝对误差值。

表1 重建图像后的误差对比Tab.1 Comparison of errors after image reconstruction

通过表1可知，利用NEW-SL 混合滤波函数重建后的d值和r值相比于R-L、S-L 等滤波函数均有所下降，说明利用此混合滤波函数所重建出来的图像效果更接近于原始图像。

对实验室中采集到的128*128 的固体火箭发动机模型投影数据进行重建。为了能不引入其他因素而影响到实验数据的对比，选取RL、S-L 及NEWSL滤波函数进行直接对比。图3为重建结果图像。

可以看到，R-L滤波函数重建出来的图像相较于S-L滤波函数重建出来的有些许伪影，影响到了图像质量。而NEW-SL滤波函数重建出来的图像相较于S-L滤波函数内部结构相对清晰，相对于R-L滤波函数没有产生伪影，即NEW-SL滤波函数兼顾了空间和密度分辨率，相较于R-L 和S-L滤波函数重建出了相对较好的结果。

图3 原始图像及各个滤波函数重建结果图Fig.3 Original image and the reconstruction results of each filter function

3 结语

CT 重建中所使用的滤波器多种多样，选择滤波器的原则是主瓣高而窄，最大旁瓣相对主瓣尽可能小，本文结合混合滤波函数的原理所提出的NEWSL 混合滤波函数，通过实验仿真与R-L、S-L 等其他滤波函数从灰度曲线图和归一化均方误差及归一化平均绝对误差这两个方面进行对比，发现此滤波函数可以在保持原有的空间分辨率的情况下，使密度分辨率更高，重建结果也更平滑。此外，当在实际应用中使用NEW-SL 混合滤波函数时，可以根据实际情况来适当的调整参数k1和k2的值，使重建结果能够达到预期的结果。