铸造工业的感应加热第十讲 导电坩埚感应熔炼电炉的设计与感应器参数的计算

李韵豪

应达（中国） 供图

编者按：本刊从2020年第1期开始连续12期连载李韵豪撰写的《铸造工业的感应加热》系列讲座，主要涉及目前铸造工业应用最多的中频无心感应电炉，介绍各类铸铁、钢，以及有色金属中铝、铜及其合金感应熔炼炉和保温炉的选型，电炉的设计以及感应器参数的计算；金属坩埚、石墨坩埚的设计以及感应器参数的计算；专题讨论感应电炉的供电系统及变频电源主电路的计算、谐波治理和功率因数提高问题；各类无心感应电炉的耐火材料、筑炉工艺、感应电炉循环水系统的设计；感应电炉的环境因素、电气电磁安全防护、环境保护问题等，内容浓缩了作者几十年的宝贵从业经验，对铸造工厂感应电炉熔炼设备的规划、选型、操作、维修和管理，提供非常实用的参考与借鉴，敬请关注。

1 概述

无心感应炉，又称为坩埚式感应炉。按坩埚类型可分为两种：一种是耐火材料制成的坩埚，电磁感应直接作用于炉料之中；另一种是在装有炉料的导电坩埚中产生热能，该炉型称之为导电坩埚感应熔炼电炉。

导电坩埚由导电材料制成坩埚，并对其进行感应加热。导电坩埚作为盛装被熔炼炉料的容器，还受电磁感应而产生热，而成为感应器的主要负载。

1.1 导电坩埚的分类及应用范围

（1）导电坩埚的分类 导电坩埚按材料分为两类：一类是铸铁、钢类。由普通铸铁、含硅耐热铸铁、含铝耐热铸铁、含铬耐热铸铁、低碳钢、奥氏体或其他类型不锈钢等铸造或卷制而成；另一类是石墨坩埚类。石墨坩埚按成形方式不同分为塑性成形、等静压成形；根据炉料不同分为I类、II类坩埚。熔铜、贵金属、稀土合金类坩埚为I类坩埚，熔铝及低熔点金属为II类坩埚。根据坩埚外形，又分为标准型坩埚、异型坩埚。标准型坩埚以容量数字和号的组合表示，简称“号”（也可用数字加“#”表示）。将能够盛满1kg液态黄铜的坩埚容量称为1号（或1#）。

（2）导电坩埚的应用范围 用铸铁、钢制成的坩埚作为发热体熔炼非磁性、低电阻率的金属材料是非常有利的。但铸铁、钢的居里点一般为220～770℃，因此只适用于熔炼铝、镁、铅、锌等种类低熔点有色金属材料。铸铁、钢从材质稳定性考虑一般取该材料到达熔点50%～60%的温度作为该材料长期使用的温度。因此，铸铁、钢坩埚只能熔炼800℃以下的有色金属材料。只有部分耐热铸铁、钢坩埚最高可长期工作在900℃。铸铁、钢坩埚按温度划分为三类。低温类：工作温度为500℃，用于熔炼铝、锌、锡及其合金；中温类：工作温度为700℃，用于熔炼镁、铝及其合金；高温类：工作温度900℃，用于熔炼某些牌号铝合金。表1介绍了不同材质的铸铁、钢坩埚长期使用温度。

表1 铸铁、钢坩埚及其长期使用温度[1]

石墨是热的良导体。石墨的电阻率比一般铸铁、钢要高很多，与有色金属炉料的电阻率比更是高出几个数量级。石墨坩埚感应熔炼电炉特别适合熔炼铝、镁、铅、锌等有色金属，有较高熔点的铜合金、稀土合金、贵金属等也往往用石墨坩埚炉子熔炼。石墨可以在高温下长期工作，在保护气氛中使用温度可在3000℃以上，机械强度在高温区段随温度提高反而增加，电阻温度系数小，相对磁导率恒为1，故炉子运行工况稳定，熔炼的全过程几乎可做到恒功率。但石墨坩埚炉目前主要还是应用于有色金属领域。铸铁、钢直接用石墨坩埚熔炼会使炉料增碳。

1.2 导电坩埚感应熔炼电炉的特点

1）铸铁、钢具有较高的导电能力。石墨坩埚是以结晶型鳞片状或针（块）状石墨为原料，添加耐火脊料、结合剂（黏土、碳化硅等），经塑性成形或等静压成形，经高温烧结的发热体。我国生产的石墨坩埚普遍采用中碳石墨，wC为85%～93%。根据熔化金属不同，炉子容量不同而选择不同的石墨粒度。石墨是一种非金属材料，但它却具有金属的某些特性。它的导电能力不亚于某些金属，如比碳素钢大两倍、比不锈钢大4倍。

2）铸铁、钢坩埚是热的优良导体，它可以非常均匀地把热传递给整个坩埚。石墨虽然是非金属，其导热性并不比金属逊色。之所以用鳞片石墨制作坩埚就是利用其各向异性的特点，即沿鳞片表面的热导性好，而垂直鳞片表面的热导性就大大降低，因此将鳞片石墨定向排列，使坩埚有最大的热导性。

根据电磁场理论，感应器的电效率ηu跟感应器线圈铜管的平均电阻率与导电坩埚材料（铸铁、钢或石墨）作为线圈负载的平均电阻率之间有如下关系[2]：

式中ηu——不包括供电系统损耗功率，感应器与导电坩埚的电效率，即导电坩埚吸收的有功功率与输入感应器功率的比值；

D1——感应器线圈的内径（m）；

D22——导电坩埚的外径（m）；

ρ1——感应器线圈的平均电阻率（Ω·m）；

ρ2——导电坩埚材料的平均电阻率（Ω·m）；

μr——导电坩埚的相对磁导率。

由此可见，铸铁、钢在居里点温度以下时，相对磁导率较高，感应器有较高的电效率。导电坩埚材料的电阻率相对感应器线圈铜管的电阻率越高，感应器电效率也越高。这也是我们为什么要通过合理设计电流频率、坩埚壁厚等，尽可能地将两种介质的感应加热转化为单一介质的感应加热，不仅是为了简化参数计算，更是为了提高电效率。

3）在感应器线圈内径D1与导电坩埚外径D22之间填充的耐火材料，隔热层和绝缘层的厚度比耐火材料打结的炉衬要薄，因此漏抗较小，炉子有较高的功率因数。用耐火材料打结的炉子熔炼有色金属时，其功率因数在0.15左右。同样是熔炼有色金属，铸铁、钢坩埚在居里点以下的功率因数高达0.55，而温度超过居里点时，其功率因数也有0.30。

4）铸铁、钢及石墨材料的热膨胀系数低。这一特点使得这些材料制成的导电坩埚具有热稳定性能，能抗急冷急热的变化。

5）导电坩埚存在氧化、腐蚀问题，除了根据被熔金属特性选择合适的坩埚外，制作坩埚时，应采取适当的防氧化、抗腐蚀的措施。例如，熔化镁合金的坩埚表面喷铝扩散处理形成铝铁合金层，经氧化生成含有Al2O3的结晶体，从而增强坩埚的抗氧化、耐腐蚀能力。石墨虽然在常温下有较好的化学稳定性，但高温时非常活泼。500℃时开始氧化，700℃时就不能抵挡高温水蒸汽的侵蚀。900℃时就连不活跃的CO2气体对其都有侵蚀作用。因此，调整石墨坩埚的成分，研究坩埚表面抗氧化、耐腐蚀涂层是提高石墨坩埚性能的主要课题。

2 导电坩埚感应熔炼电炉的设计

导电坩埚的上述特点决定了铸铁、钢坩埚以及石墨坩埚主要还是应用于有色金属的熔炼。2019年我国10种常用有色金属（指有色金属中生产量大，应用比较广的10种金属包括铝、铜、铅、锌、镍、镁、钛、锡、锑、汞等）全年总产量5842万t，其中铝占10种有色金属全年总产量近2/3。其余9种占1/3稍强。根据我们对有色金属感应熔炼行业的了解，使用导电坩埚熔炼铝和其他有色金属也大致是这个比例。导电坩埚感应熔炼电炉的设计，熔炼的炉料就用产量最高、应用最广的铝来举例。

2.1 导电坩埚感应熔炼电炉设计要点

1）导电坩埚是感应器的主要负载。虽然导电坩埚感应熔炼电炉是一种双层存在于电磁场中，但由于坩埚壁厚（δ）大于坩埚内的电流透入深度（Δ），大部分能量消耗于坩埚中。因此，往往将炉料部分略而不计。基于这种考虑，可以把坩埚作为发热体（负载）进行设计计算，计算程序与无心感应熔炼电炉基本相同[1，2]。

2）多数情况下，被熔金属的电阻率比导电坩埚材料的电阻率小很多，导电坩埚作为感应器的主要负载，考虑到电磁波在坩埚与液态炉料界面的反射效应，当导电坩埚内的电流透入深度大于坩埚壁厚时，作为实际用于计算的电流透入深度应取为（0.8～0.9）Δ2，反之就按Δ2计算[3]。

3）具有两种介质的感应熔炼电炉，可利用电磁场理论坡印亭poynting定理中的电磁场能量守恒及置换关系，导出了复合介质感应电炉的电阻、电抗计算公式。复合介质电阻电抗的计算公式与单一介质的公式形式相同，只是系数不同[4]。

2.2 炉子额定容量和结构尺寸

（1）炉子额定容量 导电坩埚炉子额定容量的确定也是根据铸造工厂生产纲领规定的铸件金属种类、冶金要求规划年产量、班制、生产性质（是间断生产还是连续生产，如果是连续生产，又分短期连续还是长期连续、全年连续）、可能出现的最大铸件的浇注量——导电坩埚在确定变频电源功率时了解这些指标尤为重要。导电坩埚炉子的额定容量一般都不会很大，因此炉子设计时多参照有色金属小型炉子的设计数据。

（2）炉子容积及几何尺寸

1）炉子液态有效容积VG：

式中VG——导电坩埚液态炉料容积（m3）；

GL——炉子额定容量（kg）；

γy——液态炉料密度（kg/m3）。

2）导电坩埚平均直径D21和炉料高度H2：

导电坩埚平均直径即液态炉料平均直径。

导电坩埚按底部形状分为两种形式：一种是半球形（底部内面为半球形，底部外表面为平底，内腔有上大下小约1%的锥度，外壁为圆柱体；另一种为平底形。感应熔炼电炉用的石墨坩埚适合于平底形，底部内面半球形的坩埚感应加热电效率和功率因数都偏低。

底部半球形坩埚的平均直径D21q：

底部平底形坩埚的平均直径D21p：

式中D21q——底部为半球形坩埚的平均直径（m）；

D21p——底部为平底形坩埚的平均直径（m）；

Y—— 导电坩埚的液态炉料高度与平均直径之比，即Y＝H2/D2。

底部为半球形的导电坩埚的H2分为两部分：下半部分高度为球的半径，即D21q/2，上半部分为H2-D21q/2（炉料总高H2）。关于Y的取值，参考文献[1]中给出的是1～2，参考文献[2，3]中给出的是1～1.5。我们按1～1.5取值。确定Y值一般考虑下列因素：

第一，在大气条件下熔炼，某些有色金属熔液中的气体（如氢等）容易逸出，一般取下限。

第二，导电坩埚单位表面功率在40～80kW/m2。单位表面功率不宜超过80kW/m2。过高的功率密度会使导电坩埚使用寿命缩短。但若小于40kW/m2则会影响炉子的熔化率，熔炼时间过长，也会加剧液态炉料氧化和吸气。

第三，如果仅从感应器的电气参数和炉子的技术经济指标考虑，小容量炉子取上限，较大容量炉子取下限。但实际上现场考虑更多的是炉子结构是否适合装料、浇注的问题。

3）导电坩埚的高度H3：

式中H2——导电坩埚内炉料高度（m）；

KH—— 导电坩埚最大允许超装量为额定容量的10%，故KH＝1.1；

Kf—— 导电坩埚在使用时应预留足够的安全容量余量，炉料液面与坩埚顶部的距离系数，一般取Kf＝1.1；

Δgd'——导电坩埚底部厚度（m）。

实际应用中，将石墨坩埚满型号的0.64倍作为安全操作的容量范围。这里把0.64指定为标准石墨坩埚的使用容量系数，其偏差为+0.05、－0.04。异型坩埚的使用容量系数由用户向坩埚生产厂家协议确定。所谓满型号表示坩埚盛满液态黄铜的容量，即坩埚溢满水的容量乘以8.3g/cm3的结果来表示（水的体积密度为1.0g/cm3），黄铜在液态下的体积密度这里按8.3g/cm3。根据有色金属炉料液态密度与黄铜液态密度的比值，可计算出同型号坩埚熔化不同金属的重量[5]。

4）感应器线圈的内径D1：

式中Δg—— 导电坩埚炉衬总壁厚（m）。Δg包括导电坩埚壁厚Δgd、保温层和绝缘层的厚度。炉衬总厚度可按表2选择。

表2 导电坩埚感应熔炼电炉炉衬总厚度Δg的选择

导电坩埚壁厚Δgd确定的原则：

坩埚壁Δgd过厚，自身热焓增加，间断作业的炉子能耗将增加。如果每次仅熔化一炉，坩埚升温所需热能可能要超过被熔炉料所需的热能。如果炉子间断作业，坩埚壁厚Δgd过厚显然是不经济的。但过薄，坩埚材料电流透入深度Δ2超过壁厚Δgd，使部分电磁波进入低电阻率的炉料，感应电流便通过由导电坩埚与炉料熔液形成双层介质，使炉子的电效率、功率因数下降。过薄的壁厚也会影响坩埚的刚度，并降低其使用寿命。

过热温度低于500℃有色金属的炉子，导电坩埚壁厚Δgd主要从结构刚度上考虑，一般取Δgd为15mm即可。但对熔炼某些合金，如镁合金，为了适当抑制电磁搅拌和防止熔态炉料渗透，可适当增加坩埚壁厚Δgd。

同样频率条件下，单层介质加热，炉料的电磁搅拌较轻；双层介质加热，炉料的电磁搅拌较重。炉料的电磁搅拌程度高低，也是确定坩埚壁厚必须考虑的因素之一。

铸铁坩埚壁厚：0.03～0.04m，多取0.03m。

钢坩埚壁厚：额定容量＜0.3t时，取0.012～0.02m；额定容量1t以下时取0.02～0.025m；额定容量＞1t时，取0.03～0.04m。

石墨坩埚壁厚：额定容量＜0.5t时，取0.03～0.04m；额定容量0.5～3.0t时，取0.04～0.05m。

炉衬厚度Δg，减去导电坩埚的壁厚Δgd，导电坩埚与感应器线圈之间的间隙可用耐火材料填充。填充的耐火材料只要膨胀系数小，具有一定的绝缘电阻，热稳定性好，价格低廉即可。一般酸性耐火材料都可以满足这些条件。为提高炉子的热效率，填充的耐火材料与感应器之间再隔一层保温材料。可用高铝硅酸铝纤维毡或碳毡等。感应器线圈涂覆绝缘漆，为加强绝缘，在感应器线圈与保温层之间还可以加一层云母薄膜。

耐火材料在这里还有一个重要作用，就是为使导电坩埚与感应器线圈同心而起到定位作用，以避免因偏心而造成靠近线圈一侧坩埚局部过热，产生不均匀膨胀使坩埚变形。过热的温度会使坩埚内金属液温度不均匀，而且会缩短坩埚的使用寿命。

导电坩埚与感应器线圈之间耐火材料、隔热层、绝缘层的厚度一般取0.05～0.08m。

5）感应器线圈高度H1：

导电坩埚感应熔炼电炉的感应器线圈高度的确定及布置，应注意整体坩埚温度均匀问题，其实耐火材料打结炉衬的炉子里面的炉料在不同区域，在熔炼开始阶段一段时间内不同位置，炉料温度也是不一致的。熔炼后期由于电磁搅拌作用，炉料温度会趋于均匀。导电坩埚炉子也存在这种问题，但坩埚中部温度比两端温度高，造成局部氧化、腐蚀加剧，影响坩埚使用寿命。另外，中频段导电坩埚炉子炉料的电磁搅拌往往较差，坩埚的局部过热对炉料熔炼也会产生不利影响。化工、医药、食品行业的反应釜加热，液体、气体、导电坩埚的加热如设计有缺陷，更容易造成加热温度的不均匀。

为使导电坩埚沿轴向温度趋于一致，适当延长感应器线圈长度是补偿措施之一，除此之外，对并联谐振电路来说，还可以采用增加线圈两端线圈线匝密度和在线圈端部或低温区并联补偿电热电容器等方法解决。一般地，并联补偿电热电容器以提高低温段的功率使温度沿导电坩埚轴线均匀更为有效：通过改变线匝位置，可以调整温度区域；通过增减电热电容器可以改变局部功率大小而使温度高低方便可调。

2.3 功率与频率

（1）功率 导电坩埚感应熔炼电炉的功率P由以下三部分组成。

1）导电坩埚熔化炉料功率：

式中Pd—— 导电坩埚感应熔炼电炉熔化炉料所需功率（kW）；

PT—— 炉料加热、熔化的平均有功功率（kW）；

GL—— 炉子额定容量（kg）；

η——感应器的总效率；

C1——炉料的固态平均比热［kJ/(kg·℃)］；

C2——炉料的液态平均比热［kJ/(kg·℃)］；

Qr——炉料的熔化潜热（kJ/kg）；

T1—— 熔化温度与初始温度之差（℃）。熔化温度即炉料的熔点温度；

T2—— 过热温度与熔化温度之差（℃）。过热温度是由铸造工艺要求的熔液在熔炼中的最高温度。

2）导电坩埚“蓄热”功率：

式中Pc——导电坩埚“蓄热”功率（kW）；

C—— 导电坩埚热容（kJ/kg）。常用铸铁、钢坩埚材料热容见表3；

T——坩埚内炉料过热温度（℃）；

T0——环境温度（℃）；

G——炉料高度为H2的导电坩埚质量（kg）；

η——感应器总效率；

t—— 导电坩埚“蓄热”由室温到炉料过热温度的升温时间（s）。

铸铁、钢坩埚材料的在居里点温度前后的效率见表4。石墨坩埚的总效率为0.65～0.80（石墨-耐火黏土坩埚取下限，石墨-碳化硅坩埚取上限）。

表3 常用铸铁、钢坩埚材料的热容 （kJ/kg）

表4 铸铁、钢坩埚“蓄热”的感应加热效率 （%）

3）导电坩埚空载功率Pk：

导电坩埚的空载功率是指坩埚在达到（炉料的）过热温度时保持该温度所消耗的功率（kW）。这个指标反映导电坩埚炉子的保温性能。

即导电坩埚感应熔炼电炉的功率P为：

式中，Pk<

当炉子从冷炉升温时的功率P＝Pd＋Pc，但连续作业，导电坩埚已有蓄热，并忽略空载功率Pk时，P＝Pd。这就是为什么导电坩埚感应熔炼电炉的生产性质适合于连续生产（包括短期连接、长期连续或全年连续生产），而间断生产由于停炉时导电坩埚的散热、蓄热而使电耗增加。

在连续作业条件下，导电坩埚感应熔炼电炉的功率利用式（8）计算即可。我们一般不对炉子的炉壁、炉底的热损功率及坩埚口的辐射热功率进行计算，这种计算既繁琐，误差又大。我们还是引入总效率η来计算功率。由此求出熔化率和单位电耗。电炉生产厂家通过在现场依照相关国家标准规定的试验方法实测出单位电耗和熔化率，将实测数据加以整理，可制定出不同的功率密度、不同容量、不同炉料炉子的单位电耗和熔化率的范围，根据总结出来的数据推导出总效率η的范围，用η值即可计算出功率来。由于炉子的额定功率值是变频电源运行于额定功率时在整流变压器网侧测量（GB/T 10067.31—2013），炉子的机电附属设备的电耗也算在炉子的单位电耗之内（GB/T 30839.1—2014），因此，为计算方便，式（8）的总效率η将这些因素也考虑在内的。

功率P求出后，根据式（9），就可以计算出该导电坩埚由室温升温到炉料的过热温度的“蓄热”时间（顺便说一点，冷炉的这个升温过程，也是将导电坩埚吸收空气中的水分烘干的过程，这对减少有色金属熔液的气体也是非常有必要的）。

（2）频率 导电坩埚感应熔炼电炉频率选择依据的原则依然是设备运行的经济性和最小投资费用。经济性由炉子的总效率来表征。总效率是热效率ηt与电效率ηu的乘积，由于热效率与频率无关，因此只需考虑电效率ηu即可。

导电坩埚的感应加热，与空心圆柱体的感应透热有些类似。在电磁场理论里，空心圆柱体是有所特指的，即只有同时满足D22/δ2≥5和δ2/Δ2≤时，才称之为空心圆柱体。如图1所示，D22、D21分别为空心圆柱体的外径、内径，空心圆柱体的壁厚用δ2表示。D1为感应器线圈内径，H2为空心圆柱体的长度，而H1为感应器线圈的长度。Δ2为某种材质、某个温度、某个频率下空心圆柱体的电流透入深度。

图1 空心圆柱体感应加热系统

根据电磁场理论，当δ2/Δ2＞时，可将其视为实心圆柱体，在进行感应器参数计算时，按实心圆柱体的计算公式来计算，当D22/δ2＜5时，如果用空心圆柱体公式来计算，其计算误差会增大。空心圆柱体的计算直径D2为空心圆柱体的平均直径D2P。

式中Δ2——导电坩埚材料的电流透入深度（m）；

ρ2——坩埚材料的平均电阻率（Ω·m）；

μr——坩埚材料的相对磁导率。

铸铁、钢坩埚的磁导率取决于坩埚的工作温度和所处的的磁场强度：从室温至居里点温度一直为变量，坩埚由于处于非常强的磁场之中，因此μr值一般都较低，＜700℃时约为16，有时低至5～6。到达居里点温度时，μr为1，以后温度再升高，相对磁导率也不再变化。石墨坩埚为非磁性材料，其磁导率与真空磁导率相同，即μr恒为1，它与温度几乎无关，与所处的磁场强度也没有关系。

感应透热空心圆柱体的最佳频率和频率范围的确定是基于两条原则：一是感应器的电效率不低于极限值的5%；二是在沿壁厚透热的前提下，加热时间最短。作为埚这种发热体，用空心圆柱体透热感应加热选频公式是不合适的，因为它不必考虑透热时间问题。导电坩埚感应熔炼电炉频率的选择主要考虑电流透入深度Δ2与壁厚δ2的关系，以及导电坩埚内炉料的电磁搅拌强度的大小。导电坩埚的壁厚一般是根据炉容大小、坩埚结构刚度、被熔炉料对坩埚侵蚀、坩埚加工制造条件等确定的，往往是坩埚壁厚确定在先，考虑电流透入深度与壁厚关系及炉料电磁搅拌强度在后。

1）频率与坩埚壁厚的关系：铸铁、钢坩埚在居里点温度以下是铁磁性材料，随着温度的升高，电流透入深度Δ2随之增加，当温度达到或超过居里点温度时，坩埚材料失磁，电流透入深度Δ2超过δ2，电磁波部分进入坩埚内炉料，如果不考虑炉料的电磁搅拌，则通过适当调整频率，使电流透入深度Δ2不超过坩埚壁厚δ2。

2）频率与炉料电磁搅拌强度的关系：导电坩埚感应熔炼电炉的电磁搅拌相比耐火材料坩埚炉子要轻，这也恰好满足了多数情况下有色金属需要较轻搅拌的要求。当Δ2≤δ2时，液态炉料的搅拌强度类似于电阻炉和燃料炉。只有当Δ2＞δ2，电磁波进入液态炉料中，才会引起搅拌。如果需要稍强的电磁搅拌，设计较低的频率即可实现。导电坩埚一般多熔化有色金属，工程上有色金属的电磁搅拌强度由“驼峰”高度h'与坩埚平均内径D21的比值来表征。导电坩埚感应熔炼电炉的“驼峰”高度h'不但与炉料的液态平均电阻率、液态密度、熔池平均内径、液态炉料高度、感应器线圈有功功率、线圈与液态炉料相对位置及频率等诸多因素有关，而且与导电坩埚材质、电阻率、坩埚壁厚与不同频率的电流透入深度的比值、坩埚外径与壁厚的比值都有关系。当导电坩埚炉料、坩埚、感应器尺寸、感应器线圈与炉料相对位置确定以后，频率就是影响“驼峰”高度以及电磁搅拌强度的唯一因素。

一般还是由“驼峰”高度与坩埚内炉料液面的夹角α求出“驼峰”高度。

“驼峰”高度h'由式（12）估算：

式中h'——“驼峰”高度（m）；

R2——坩埚平均半径（m）；

α——“驼峰”角（°）。

根据经验，铝及铝合金α＝4°～22°，多在10°～20°之间（见第七讲）；铜及铜合金α＝8°～14°（见第八讲）。

已知预期的“驼峰”高度h'，求频率，可用式（13）计算：

式中h'——“驼峰”高度（m）；

f——频率（Hz）；

P2—— 穿过导电坩埚进入炉料的有功功率（kW）；

μr——导电坩埚内炉料的相对磁导率；

ρ2——炉料的液态平均电阻率（Ω·m)；

S—— 被感应器包围的炉料表面积（m2），S＝πD21H2；

γy——炉料液态密度（kg/m3）。

引起液态炉料搅拌的主要是进入导电坩埚内作功的功率，其大小决定着炉料“驼峰”的高低。这个功率与电流透入深度Δ2、与坩埚壁厚都有关系，而且难以测量和计算。为求频率，只有依据设计人员的经验估算出预期“驼峰”高度的频率来。由于是经验估算，式（13）计算出的频率会有误差，预期的“驼峰”高度可通过调整感应器线圈与坩埚相对位置或增减功率加以调节。

3 导电坩埚感应熔炼电炉感应器参数计算举例

导电坩埚感应熔炼电炉感应器参数计算需要考虑两层不同的介质：作为坩埚的铸铁、钢或者石墨的空心圆柱体和坩埚内被加热和熔炼的炉料。在这种情况下，由于电磁波在两种介质的交界处发生反射与折射，极大地增加了参数计算的复杂性。

无论是铸铁、钢坩埚还是石墨坩埚，电磁波在坩埚内衰减很快，大部分能量消耗在坩埚中，为简化计算，我们把炉料吸收的能量忽略不计。对于低温、中温炉子，坩埚壁厚往往大于电流透入深度，此时计算出来的结果会有较高的精度。高温类炉子通过适当提高频率，减小电流透入深度，也可得到较满意的结果。除非在有些场合为增加电磁搅拌强度，有意地通过降低频率，使更多的电磁波进入炉料中，这时如果仍将坩埚单纯作为发热体（负载）进行计算，计算出来的结果会有较大的误差。此时一般可根据经验对计算的线圈匝数加以修正与调整。

导电坩埚感应熔炼电炉多数熔炼有色金属，考虑到液态炉料中的氢等气体容易逸出，一般都将液态炉料高度H2与坩埚平均直径D22之比取1，即H2＝D22。铸铁、钢坩埚是这样，石墨坩埚也是这样设计的。由于H2/D22＝1，以空心变压器的设计原理为依据，即磁路系统的计算方法中给出的设计曲线等，已不适用。因此，导电坩埚感应器参数只能用电磁场法（贝塞尔函数法）进行计算。

如果Δg≥Δ2，且D22≥5δ2，此时可用电磁场法实心圆柱体公式计算。Δg＜Δ2、D22＜5δ2，可按电磁场法空心圆柱体公式计算。

铸铁、钢坩埚和石墨坩埚这两种不同材料的坩埚加热，熔炼不同牌号的有色金属其计算程序、公式基本相同，只是在不同温度下热物理值不同。铸铁、钢坩埚，当温度低于其居里点温度时，如线圈周围布置有磁轭，此时，坩埚和磁轭构成一完整的磁路，从而大大减弱了边缘效应，故边缘效应的影响可忽略不计。在计算时直接取其换算系数C为1即可。由于近年来石墨坩埚的应用有上升的趋势，而这方面设计资料不多，占比例最大的石墨-碳化硅坩埚的资料尤为少见，本讲用石墨-碳化硅坩埚举例，石墨-碳化硅坩埚作为感应器的主要负载，坩埚内熔化的有色金属品种对感应器参数影响不太大，由于铝及铝合金占有色金属大多数，故用铝及铝合金作为炉料来举例。

3.1 石墨坩埚的热物理参数

石墨坩埚材料分为石墨-耐火黏土和石墨-碳化硅两大类。

石墨-黏土坩埚是以天然结晶鳞片石墨和耐火黏土为主要成分。耐火黏土的理论成分是 39.5%Al2O3、46.5%SiO2和14%H2O。制造石墨坩埚的耐火黏土的耐火度在1710℃以上。它不仅起着可塑成型无机黏结剂的作用，并用在使用当中能使坩埚形成一层保护性薄膜，这种坩埚现在仅在铸铁、铸钢高温熔炼感应炉和贵金属感应熔炼炉中使用。

石墨-碳化硅类坩埚，是以天然结晶鳞片石墨和碳化硅为主要成分。碳化硅具有化学稳定性好、耐蚀性强的特点，而且碳化硅在高温下的氧化产物是SiO2，它在坩埚中能起到降低气孔率、体积密度增大、致密性提高等作用。石墨坩埚抗氧化、延长使用寿命与碳化硅含量多少有很大关系。有色金属如铜、铝及其合金等，一般都使用石墨-碳化硅坩埚。由于石墨坩埚主要用来熔炼有色金属，因此目前这种石墨-碳化硅坩埚占整个坩埚总量的95%以上。

石墨属于非金属元素矿物类，成分是纯粹的碳，元素符号为C，属六方晶系的结晶，原子序数为6。标准原子量为12.011（见国际纯粹与应用化学联合会IUPAC颁布的2019年版元素周期表）。20℃时的密度为2.25g/cm3，熔点为3727℃，沸点为4830℃，在还原或中性气氛下，石墨的最高使用温度可达2500℃。

石墨的20℃时电阻率（8～13）×10-6Ω·m，设20℃时电阻率R20为1，则从表5可求出石墨在不同温度下的电阻率RT的范围。

表5 石墨不同温度的电阻率与20℃时电阻率比值[1，2]

电阻率是表征材料导电能力的物理量，从表5可以看到石墨的导电性能还是比较好的。这也是为什么碳和石墨制品中很多用作导电材料。电阻率的单位是个复合单位，其实是Ω·m2/m，为方便，也可以用Ω·m来表示。

石墨从室温到800℃的平均电阻率为（7.772～12.230)×10-6Ω·m，与室温(20℃)时的电阻率相近，但石墨-碳化硅坩埚室温到800℃的平均电阻率高2～3倍。同一温度区间的平均电阻率，石墨-耐火黏土坩埚比石墨-碳化硅坩埚更高些。

石墨坩埚材料的平均电阻率是感应器的一个重要参数。目前，石墨坩埚感应器计算的文献很少，检索到的文献中往往几乎都是用石墨的电阻率来进行石墨-耐火黏土和石墨-碳化硅坩埚的计算，这既不合理，也会给计算带来较大误差，显然是不应该的。

石墨在不同温度下的比热容见表6。石墨的相对磁导率μr=0.999895≈1[5-7]。

表6 石墨在不同温度下的比热容

3.2 石墨-碳化硅坩埚材料的热物理参数[6-8]

（1）石墨-碳化硅坩埚的物理指标 体积密度：2.21～2.27g/cm3；热膨胀系数：（3.0～4.5）×10-6/K；热导率（24℃)：140～150W/（m·K）；相对磁导率：μr≈1。

（2）石墨-碳化硅坩埚材料的电阻率 石墨-碳化硅坩埚材料的电阻率见表7。

表7 石墨-碳化硅坩埚材料的电阻率[9]

石墨坩埚的石墨、耐火骨料、结合剂含量不同，电阻率会有差异，上述数据是石墨40%、碳化硅40%～45%、其他材料15%～20%得出的数据，1#、2#试样室温到800℃的平均电阻率分别为36.225×10-6Ω·m、29.263×10-6Ω·m。

（3）石墨-碳化硅坩埚材料的比热容 石墨-碳化硅坩埚材料的比热容见表8。

表8 石墨-碳化硅坩埚材料的比热容[9]

4 石墨-碳化硅坩埚感应熔炼电炉熔炼铝合金感应器参数计算举例

4.1 已知条件

铝合金牌号：ZL101（GB／T 1173—2013）；额定温度：进行熔炼的炉料温度。本例，ZL101铝合金过热温度为（710±30）℃；额定容量：在正常工作条件下，炉子容纳液态炉料的质量。本例炉子额定容量为0.5t；熔化率：本例45min熔炼1炉（0.5t），熔化率按0.668t/h计算。

4.2 炉子结构尺寸

石墨-碳化硅坩埚形状为平底形，工业纯铝液态密度为2400kg/m3，按式（2）求得坩埚有效容积VG为0.208m3；纯铝熔液高度H2与坩埚平均内径D21之比为1，即H2＝D21，根据式（4），求得坩埚平均内径（铝液平均直径）D21为0.642m。经数值修约D21＝0.640m。计算得H2＝0.648m。查表2得炉衬总厚度Δg＝0.140D21≈0.090m。

根据表2，500kg石墨-碳化硅坩埚平均壁厚Δgd取0.045m，得到坩埚外径D22为0.730m。坩埚最大允许超装量KH为额定容量的1.1倍，KH＝1.1。炉料液面与坩埚顶部的距离系数Kf，本例取Kf＝1.1。坩埚底厚Δgd'为0.06m，按式（5），坩埚总高度H3＝0.779m，取H3＝0.780m，根据式（6），感应器线圈内径D1为0.820m。感应器高度H1根据式（7）按1.05倍的H2，得H1＝0.680m。

4.3 功率

石墨-碳化硅坩埚炉子熔化ZL101铝合金，炉子的额定功率按式（8）计算。将以下数据代入式（8）：炉子额定容量：500kg；炉料固态平均比热C1＝0.971kJ/（kg·℃）；炉料液态平均比热C2＝1.243kJ/（kg·℃）；炉料的熔化潜热Qr＝393.559kJ/kg；炉料的熔点温度与初始温度之差T1＝（658-20）℃；过热温度与熔化温度之差T2＝（710-658）℃；加热时间：45min，感应器总效率η＝0.50～0.60，本例取η＝0.60，得P＝333kW，取额定功率350kW。

坩埚“蓄热”功率的计算：式（9）中，炉料过热温度T为710℃，坩埚比热容为0.788kJ/（kg·℃），坩埚质量140.564kg，感应器的总效率可取0.80，炉子额定功率350kW时，坩埚为唯一负载时“蓄热”时间约为270s。如果坩埚内装有待干燥、去污的炉料，则感应器的总效率会降低，且“蓄热”时间也会延长。

4.4 频率

根据式（12），求出坩埚内炉料期望的“驼峰”高度h'，坩埚平均半径R21＝0.320m，取“驼峰”角α＝10°，则h'＝0.056m，经数值修约，取h'为0.055m。炉料的相对磁导率μr＝1，炉料ZL101的液态平均电阻率ρ2为24×10-8Ω·m，D21＝0.64m、H2＝0.648m，被感应器包围的炉料表面积S＝πD21H2＝1.303m2。炉料ZL101的液态密度为2400kg/m3，额定功率为350kW，电效率取0.95，有功功率为332.50kW，根据经验，取有功功率332.50kW的0.25倍，则P2为83.125kW。这个P2为深入坩埚内参与电磁搅拌的有功功率。由式（13）求得频率为973Hz，实取频率为1000Hz。

4.5 感应器参数计算

坩埚尺寸、炉料高度及感应器尺寸整理如下。

坩埚外径：D22＝0.730m；坩埚外周半径：R22＝0.365m；坩埚内径：D21＝0.640m；坩埚空腔半径：R21＝0.320m；坩埚平均壁厚：δ2＝0.045m；坩埚总高度：H3＝0.780m；液态炉料高度：H2＝0.648m；感应器线圈内径：D1＝0.820m；感应器线圈高度：H1＝0.680m。

变频电源参数：额定功率为350kW；额定频率为1000Hz；进线电压为380V（50Hz）；中频电压为700V。按并联谐振设计。

当频率为1000Hz时，石墨-碳化硅坩埚的电流透入深度Δ2＝0.0957m，考虑到电磁波在坩埚和炉料交界面的反射效应，乘以0.8修正系数，则Δ2'＝Δ2×0.8＝0.0766m。本例，D22/δ2＝0.730/0.045＝16.222＞5，δ2/Δ2'＝0.045/0.0766＝0.588＜。故石墨-碳化硅坩埚感应器熔炼电炉感应器可按电磁场法（贝塞尔函数法）非磁性导电材料空心圆柱体感应器公式计算[10]。

（1）石墨-碳化硅坩埚的电阻r2和电抗x2m

式中m2——坩埚外周的相对半径（m）；

AY、BY—— 作为空心圆柱体坩埚材料的阻抗计算系数。

式中m1——坩埚空腔的相对半径（m）；

Δm——坩埚的相对壁厚（m）；

mcp——坩埚平均相对半径（m）。

各参数计算如下：

将各参数值代入式（14）、式（15），得

（2）感应器的电抗x0

式中k1——计算电感系数用的修正系数；

x10——无限长感应器中H1段的电抗（Ω）。

式中D1'——计算直径，D1'＝D1＋Δ1。

k1值可通过第三讲图1或第七讲表6查得。

式中Δ1—— 坩埚一侧感应器线圈铜管的电流透入深度(m）；

ρ1—— 室温至80℃时电工铜的平均电阻率，ρ1＝2×10-8Ω·m；

μr——感应器线圈铜管的相对磁导率，μr≈1；

f——额定频率。本例，f＝1000Hz；

由于D1>>Δ1，故D1'≈D1，则

式中ω——角频率，ω＝2πf（rad/s）；

μ0——真空磁导率，μ0＝4π×10-7（H/m）；

S1——感应器线圈有效截面积。

就有：

将已知各参数值代入式（18），得

（3）感应器漏电抗xs

式中S1——感应器线圈截面积（m2），；

S2——液态炉料有效截面积（m2），。

由于D1>>Δ1，故D1'＝D1＋Δ1≈D1，则

（4）坩埚电阻换算系数

式中c——石墨-碳化硅坩埚电阻换算系数；

r2——坩埚电阻（Ω）；

x0——感应器的电抗（Ω）；

xs——感应器漏电抗（Ω）；

x2m——坩埚电抗（Ω）。

将求得各参数值代入式（23），得

（5）坩埚的换算电阻r2'

将已知参数值代入式（24），得

（6）坩埚的核算电抗x2'

将已知各参数值代入式（25），得

（7）感应器线圈的电阻r1与电抗x1m

式中r1、x1m——分别为感应器线圈的电阻、电抗（Ω）；

ρ1—— 感应器线圈铜管室温至80℃时的平均电阻率（Ω·m），ρ1＝2×10-8Ω·m；

δ1—— 感应器线圈铜管坩埚一侧的壁厚（m）；

Δ1—— 坩埚一侧感应器线圈铜管的电流透入深度。本例，Δ1＝0.00225m。

kr、kx——感应器线圈电阻、电抗的修正系数。

按第三讲图2中的曲线函数选取。

感应器线圈电阻、电抗修正系数kr、kx：

感应器线圈匝间填充系数g的计算式为

式中g——感应器线圈填充系数，一般可取0.762；

b1——单匝铜管轴向宽度（m）；

c1——匝间距（m）。

（8）感应器的等效电阻r、电抗x和阻抗z

将已知各参数值代入式（29）、式（30）、式（31），得

（9）感应器的电效率ηu

将已知各参数值代入式（32），得

（10）平均有功功率P2

将已知各参数值代入式（33），得

（11）感应器的功率因数cosφ

将已知各参数值代入式（34），得

（12）感应器内的电流I'u

将已求得各参数值代入式（35），得

（13）感应器线圈匝间电压Uu'

式中—— 单匝感应器-炉料系统的电压（即线圈匝间电压，V）。

将已知参数值代入式（36），得

（14）感应器的匝数ω'

式中Ua—— 变频电源考虑到线路压降的输出电压（V）。本例，取Ua＝650V。

多数情况下，计算出来的匝数ω'不会恰好是整数，可按“四舍五入”法则取整。

本例，取整后ω'＝14匝。

（15）感应器线圈铜管外截面宽度b和高度a

式中b——感应器线圈铜管外截面宽度(m）。

将已知各参数值代入式（38），得

为减少铜管规格种类，将尾数以5为修约间隔进行数值修约，取b＝0.035m。

铜管外截面宽度b有人习惯称之为“平面”，也就是与感应器线圈高H1平行的面。铜管外截面高度a称之为“立面”，就是与感应器线圈高H1垂直的面。

a值的确定有两种方法：一是先设定水路支数再定高度；二是根据铜管生产厂家现有铜管外截面宽度b和高度a来确定水路支数。本例，已知铜管外截面的宽度b为0.035m，高度a也取0.035m，已知铜管壁厚为0.0035m，根据第三讲式（28）、式（29）、式（30）确定的水路支数：2条水路即可。

（16）补偿电热电容器容量Qc

1）品质因数：

将已知参数值代入式（39），得

将已知参数值代入式（40），得

2）变频电源频率为1000Hz，选用的晶闸管逆变触发超前角φ＝36°。

则Qc2＝Ptg36°＝350×0.727＝254.45（kVar）

3）补偿电容器容量Qc：

将已知参数值代入式（42），得

4）补偿到cosφ＝1时电热电容器台数：

式中N——电热电容器数量（台）；

Qc——补偿电热电容器总容量（kVar）；

Ce—— 电热电容器额定容量（kVar），本例，Ce＝1000kVar；

Uc—— 电热电容器额定电压（V）。本例，Uc＝750V；

Ut—— 电热电容器实际运行时的端电压（V），一般可按Ut＝675V。

若选用RFM0.75-1000-1S电热电容器，则

现场调试参考台数取1.2台。

（17）变频电源和电热电容器柜的中频铝芯电缆的选择与计算 由于篇幅所限，第四讲只介绍了感应熔炼电炉工频、铜芯电缆、中频铜母线（铜排）的选择与计算，下面以本讲实例介绍从变频电源到电热电容器柜的中频铝芯电缆的选择与计算。

1）忽略逆变器效率的中频电流基波值Ia1：

式中Ia1——中频电流基波方均根值（A）；

P—— 变频电源额定功率（kW）。本例，P＝350kW；

Ua—— 中频电压的方均根值（V）。本例，Ua＝650V；

φ—— 晶闸管逆变超前角（°）。当频率为1000Hz时，φ为36°。

将已知参数值代入式（44），得

2）铝芯电缆集肤导电有效截面积S'：

拟选用单根截面积120mm2的铝芯四芯电缆。型号VLV0.6/1kV（GB/T 12706.1—2008），导体为绞合圆形37根，φ2.03mm或紧压圆形19根，φ2.95mm绝缘及护套均为聚氯乙烯（PVC）。

式中S'——铝芯电缆集肤导电有效截面积（mm2）；

D—— 铝芯电缆直径(mm），由截面积120mm2求得D＝12.360mm；

Δ—— 电流透入深度（mm）。

已知铝芯电缆材料的电阻率ρ为2.85×10-8Ω·m，相对磁导率μr=1，根据公式Δ=，当频率为1000Hz时，Δ＝0.00269m，即2.69mm；代入式（45），得

3）单根铝芯导线承载电流ID：

式中S'——铝芯电缆集肤导电有效截面积（mm2）；

K——电流密度（A/mm2）。

大多数铸造工厂感应电炉作业都属于间断作业，两班制，依照GB/T 51266—2017《机械工厂年时基数设计标准》中工业炉窑非铁金属熔炼炉部分感应电炉的规定公称年时基数为3680h，参照第四讲表6“经济电流密度”，铝芯电缆的经济电流密度K为1.73A/mm2。

将已知参数值代入式（46），得

ID＝S'K＝81.720×1.73＝141.376（A）

4）并联导线根数n：

将已知参数值代入式（47），得

n＝Ia1/ID＝665.575/141.376＝4.708

n除以2，就是四芯电缆的根数2.35，取3根。